（完整版）人教版数学七年级下册期末几何压轴题考试题（一）

一、解答题
1．如图所示，A （1，0）、点B 在y 轴上，将三角形OAB 沿x 轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC ，且点C 的坐标为（﹣3，2）．
（1）直接写出点E 的坐标 ；
（2）在四边形ABCD 中，点P 从点B 出发，沿“BC→CD”移动．若点P 的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒，回答下列问题：
①当t= 秒时，点P 的横坐标与纵坐标互为相反数；
②求点P 在运动过程中的坐标，（用含t 的式子表示，写出过程）；
③当点P 运动到CD 上时，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，试问 x ，y ，z 之间的数量关系能否确定？若能，请用含x ，y 的式子表示z ，写出过程；若不能，说明理由．
2．如图，直线//PQ MN ，点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ，MN 上）的一个动点．
（1）如图1，若1∠与2∠都是锐角，请写出C ∠与1∠，2∠之间的数量关系并说明理由； （2）把直角三角形ABC 如图2摆放，直角顶点C 在两条平行线之间，CB 与PQ 交于点D ，CA 与MN 交于点E ，BA 与PQ 交于点F ，点G 在线段CE 上，连接DG ，有BDF GDF ∠=∠，求AEN CDG
∠∠的值； （3）如图3，若点D 是MN 下方一点，BC 平分PBD ∠， AM 平分CAD ∠，已知25PBC ∠=︒，求ACB ADB ∠+∠的度数．
3．已知，AB ∥CD ，点E 为射线FG 上一点．
（1）如图1，若∠EAF ＝25°，∠EDG ＝45°，则∠AED = ．
（2）如图2，当点E 在FG 延长线上时，此时CD 与AE 交于点H ，则∠AE D 、∠EAF 、∠EDG 之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，当点E 在FG 延长线上时，DP 平分∠EDC ，∠AED ＝32°，∠P ＝30°，求∠EKD 的度数．
4．已知直线AB //CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按逆时针方向以每秒12°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按逆时针方向每秒3°旋转至QD 停止，此时射线PB 也停止旋转．
（1）若射线PB 、QC 同时开始旋转，当旋转时间10秒时，PB '与QC '的位置关系为 ； （2）若射线QC 先转15秒，射线PB 才开始转动，当射线PB 旋转的时间为多少秒时，PB ′//QC ′．
5．已知，//AE BD ，A D ∠=∠．
（1）如图1，求证：//AB CD ；
（2）如图2，作BAE ∠的平分线交CD 于点F ，点G 为AB 上一点，连接FG ，若CFG ∠的平分线交线段AG 于点H ，连接AC ，若ACE BAC BGM ∠=∠+∠，过点H 作HM FH ⊥交FG 的延长线于点M ，且3518E AFH ∠-∠=︒，求EAF GMH ∠+∠的度数．
6．已知：AB //CD ．点E 在CD 上，点F ，H 在AB 上，点G 在AB ，CD 之间，连接FG ，EH ，GE ，∠GFB ＝∠CEH ．
（1）如图1，求证：GF //EH ；
（2）如图2，若∠GEH ＝α，FM 平分∠AFG ，EM 平分∠GEC ，试问∠M 与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M ）？请写出你的猜想，并加以证明．
7．请观察下列等式，找出规律并回答以下问题．
111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，1114545
=-⨯，…… （1）按照这个规律写下去，第5个等式是：______；第n 个等式是：______． （2）①计算：11111223344950
⨯⨯⨯⨯++++． ②若a 30b -=，求：
()()()()()()()()111111122339797ab a b a b a b a b +++++++++++++． 8．阅读下面文字：
对于5231591736342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 可以如下计算：
原式()()()5231591736342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()5231591736342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1014⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
114
=- 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，计算：
（1）115112744362⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）235120192018201720163462⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 9．探究与应用：
观察下列各式：
1+3＝ 2
1+3+5＝ 2
1+3+5+7＝2
1+3+5+7+9＝2
……
问题：（1）在横线上填上适当的数；
（2）写出一个能反映此计算一般规律的式子；
（3）根据规律计算：（﹣1）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣7）+…+（﹣2019）．（结果用科学记数法表示）
10．观察下列各式：
(x－1)(x+1)=x2－1
(x－1)(x2+x+1)=x3－1
(x－1)(x3+x2+x+1)=x4－1
……
（1）根据以上规律，则(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=__________________．
（2）你能否由此归纳出一般性规律(x－1)(x n+x n－1+x n－2+…+x+1)=____________．
（3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果．
11．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为___________，____________；
（2）请你参照上面的方法：
①把图3中51⨯的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a=___________．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
a-．（图②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及3
中标出必要线段的长）
12．2
此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用21-来表示2的小数部分，事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是2的小数部分，又例如：∵()232273<<，即273<<，∴7的整数部分为2，小数部分为()72-。

请解答
（1）11的整数部分是______，小数部分是_______。

（2）如果5的小数部分为a ，41的整数部分为b ，求5a b +-的值。

（3）已知x 是35+的整数部分，y 是其小数部分，直接写出x y -的值.
13．如图，已知()0,A a ，(),0B b ，且满足|4|60a b -++=.
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）点(),C m n 在线段AB 上，m 、n 满足5n m -=，点D 在y 轴负半轴上，连CD 交x 轴的负半轴于点M ，且MBC MOD S S ∆∆=，求点D 的坐标；
（3）平移直线AB ，交x 轴正半轴于E ，交y 轴于F ，P 为直线EF 上第三象限内的点，过P 作PG x ⊥轴于G ，若20PAB A ∆=，且12GE =，求点P 的坐标.
14．已知，如图：射线PE 分别与直线AB 、CD 相交于E 、F 两点，PFD ∠的角平分线与直线AB 相交于点M ，射线PM 交CD 于点N ，设PFM α∠=︒，EMF β∠=︒且()2350αβα-+-=．
（1）α=________，β=________；直线AB 与CD 的位置关系是______；
（2）如图，若点G 是射线MA 上任意一点，且MGH PNF ∠=∠，试找出FMN ∠与GHF ∠之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图）分别与AB 、CD 相交于点1M 和点1N 时，作1PM B ∠的角平分线1M Q 与射线FM 相交于点Q ，问在旋转的过程中1FPN Q
∠∠的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
15．如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（-3，2）．
（1）直接写出点E的坐标；D的坐标
（3）点P是线段CE上一动点，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，确定x， y，z之间的数量关系，并证明你的结论．
16．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润 = 销售收入-进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
17．在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，即S△MPQ＝1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”，解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，0）．
（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是；
（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，直接写出t的取值范围．
（3）已知点Q（1，﹣2），H（0，﹣1），点M，N是线段PQ的两个“单位面积点”，点M在HQ的延长线上，若S△HMN≥2S△PQN，求出点N纵坐标的取值范围．
18．如图1，已知，点A(1，a)，AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点
B(b，0)，其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足2
-+-=．
a b
4(3)0
（1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A(________)、B(________)、C(________)；
②直接写出三角形AOH的面积________．
（2）如图1，若点D(m，n)在线段OA上，证明：4m＝n．
（3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标．
19．李师傅要给-块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖.如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等, B款瓷砖的长大于宽.已知一块A 款瓷砖和-块B款瓷砖的价格和为140元; 3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等.请回答以下问题:
(1)分别求出每款瓷砖的单价.
(2)若李师傅买两种瓷砖共花了1000 元，且A款瓷砖的数量比B款多，则两种瓷砖各买了多少块?
(3)李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖.若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长和宽分别为_ 米(直接写出答案).
20．数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B，它们表示的数分别为-3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
（1）由题意得：点A是点B的“追赶点”，AB=1-(-3)=4(AB表示线段AB的长，以下相同)；类似的，MN=____________．
（2）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
（3）若AM=BN，MN=4
3
BM，求m和n值．
21．一个四位正整数，若其千位上与百位上的数字之和等于十位上与个位上的数字之和，都等于k，那么称这个四位正整数为“k类诚勤数”，例如：2534，因为25347
+=+=，所以2534 是“7类诚勤数”．
（1）请判断7441和5436是否为“诚勤数”并说明理由；
（2）若一个四位正整数A为“5类诚勤数”且能被13整除，请求出的所有可能取值．22．七年（1）（2）两班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均
按要求一对一连线，无多连、少连．
（1）分数5，10，15，20中，每人得分不可能是________分．
（2）七年（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七年（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数．
①问（1）班有多少人得满分？
②若（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？
23．若关于x 的方程ax +b ＝0（a ≠0）的解与关于y 的方程cy +d ＝0（c ≠0）的解满足﹣1≤x ﹣y ≤1，则称方程ax +b ＝0（a ≠0）与方程cy +d ＝0（c ≠0）是“友好方程”．例如：方程2x ﹣1＝0的解是x ＝0.5，方程y ﹣1＝0的解是y ＝1，因为﹣1≤x ﹣y ≤1，方程2x ﹣1＝0与方程y ﹣1＝0是“友好方程”．
（1）请通过计算判断方程2x ﹣9＝5x ﹣2与方程5（y ﹣1）﹣2（1﹣y ）＝﹣34﹣2y 是不是“友好方程”．
（2）若关于x 的方程3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0与关于y 的方程32
y k ++y ＝2k +1是“友好方程”，请你求出k 的最大值和最小值． 24．已知关于x 、y 的二元一次方程23,3 3.x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩①②
（1）若方程组的解x 、y 满足0,1x y ≤<，求a 的取值范围；
（2）求代数式638x y +-的值．
25．如图，数轴上两点A 、B 对应的数分别是－1，1，点P 是线段AB 上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q ，满足|PQ |＝2，那么我们把这样的点Q 表示的数称为连动数，特别地，当点Q 表示的数是整数时我们称为连动整数．
（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）
（2）若k 使得方程组321431
x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩中的x ，y 均为连动数，求k 所有可能的取值；
（3）若关于x 的不等式组263332
x x x x a -⎧>-⎪⎪⎨+⎪≤-⎪⎩的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a 的取值范围．
26．阅读理解：
定义：A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是它到点B 的时距离的n （n 为大于1的常数）倍，则称点C 是(),A B 的n 倍点，且当C 是(),A B 的n 倍点或(),B A 的n 倍点时，我们也称C 是A 和B 两点的n 倍点．例如，在图1中，点C 是(),A B 的2倍点，但点C 不是(),B A 的2倍点．
（1）特值尝试．
①若2n =，图1中，点______是(),D C 的2倍点．（填A 或B ）
②若3n =，如图2，M ，N 为数轴上两个点，点M 表示的数是2-，点N 表示的数是4，数______表示的点是(),M N 的3倍点．
（2）周密思考：
图2中，一动点P 从N 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动t 秒，若P 恰好是M 和N 两点的n 倍点，求所有符合条件的t 的值．（用含n 的式子表示）
（3）拓展应用
数轴上两点间的距离不超过30个单位长度时，称这两点处于“可视距离”．若（2）中满足条件的M 和N 两点的所有n 倍点P 均处于点N 的“可视距离”内，请直接写出n 的取值范围．（不必写出解答过程）
27．某超市分别以每盏150元，190元的进价购进A ，B 两种品牌的护眼灯，下表是近两天的销售情况．
销售日期
销售数量(盏)
销售收入(元)
A 品牌
B 品牌 第一天
2 1 680 第二天
3
4 1670 （1）求A ，B 两种品牌护眼灯的销售价；
（2）若超市准备用不超过4900元的金额购进这两种品牌的护眼灯共30盏，求B 品牌的护眼灯最多采购多少盏？
28．在平面直角坐标系xOy 中，如图正方形ABCD 的顶点A ，B 坐标分别为()1,0A -，()3,0B ，点E ，F 坐标分别为(),0E m ，()3,0F m ，且12m -<≤，以EF 为边作正方形
EFGH.设正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分面积为S.
（1）①当点F与点B重合时，m的值为______；②当点F与点A重合时，m的值为
______.
（2）请用含m的式子表示S，并直接写出m的取值范围.
29．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．
（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．
①请帮柑橘园设计租车方案；
②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
30．学校美术组要去商店购买铅笔和橡皮，若购买60支铅笔和30块橡皮，则需按零售价购买，共支付30元；若购买90支铅笔和60块橡皮，则可按批发价购买，共支付40.5元．已知每支铅笔的批发价比零售价低0.05元，每块橡皮的批发价比零售价低0.10元．（1）求每支铅笔和每块橡皮的批发价各是多少元？
（2）小亮同学用4元钱在这家商店按零售价买同样的铅笔和橡皮（两样都要买，4元钱恰好用完），共有哪几种购买方案？
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一、解答题
1．（1）（-2，0）；（2）①t=2；②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（-3，5-t）；③能确定，z=x+y．
【分析】
（1）根据平移的性质即可得到结论；
（2）①由点C的坐标为（-3，2）．得到BC=3，CD=2，由于点P的横坐标与纵坐标互为相反数；于是确定点P在线段BC上，有PB=CD，即可得到结果；
②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（-
③如图，过P作PF∥BC交AB于F，则PF∥AD，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意，可得
三角形OAB沿x轴负方向平移3个单位得到三角形DEC，
∵点A的坐标是（1，0），
∴点E的坐标是（-2，0）；
故答案为：（-2，0）；
（2）①∵点C的坐标为（-3，2）
∴BC=3，CD=2，
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
∴点P在线段BC上，
∴PB=CD，
即t=2；
∴当t=2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
故答案为：2；
②当点P在线段BC上时，点P的坐标（-t，2），
当点P在线段CD上时，点P的坐标（-3，5-t）；
③能确定，
如图，过P作PF∥BC交AB于F，
则PF∥AD，
∠1=∠CBP=x°，∠2=∠DAP=y°，
∴∠BPA=∠1+∠2=x°+y°=z°，
∴z=x+y．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，坐标与图形的变化-平移，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（1）见解析；（2）1
；（3）75°
2
【分析】
（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．
解：（1）∠C=∠1+∠2，
证明：过C作l∥MN，如下图所示，
∵l∥MN，
∴∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），∵l∥MN，PQ∥MN，
∴l∥PQ，
∴∠3=∠1（两直线平行，内错角相等），∴∠3+∠4=∠1+∠2，
∴∠C=∠1+∠2；
（2）∵∠BDF=∠GDF，
∵∠BDF=∠PDC，
∴∠GDF=∠PDC，
∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，
∴∠CDG+2∠PDC=180°，
∴∠PDC=90°-1
2
∠CDG ，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90°，∴∠AEN=∠CEM，
∴
1
90(90)
901
2
2
CDG
AEN CEM PDC
CDG CDG CDG CDG
︒-︒-∠
∠∠︒-∠
====
∠∠∠∠
，
（3）设BD交MN于J．
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC=25°，∴∠PBD=2∠PBC=50°，∠CAM=∠MAD，
∵PQ∥MN，
∴∠BJA=∠PBD=50°，
∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM，由（1）可得，∠ACB=∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB +∠ADB =∠PBC +∠CAM +50°-∠CAM =25°+50°=75°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．
3．（1）70°；（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠，证明见解析；（3）122°
【分析】
（1）过E 作//EF AB ，根据平行线的性质得到25EAF AEH ∠=∠=︒，45EAG DEH ∠=∠=︒，即可求得AED ∠；
（2）过过E 作//EM AB ，根据平行线的性质得到180EAF MEH ∠=︒-∠，
180EDG AED MEH ∠+∠=︒-，即EAF AED EDG ∠=∠+∠；
（3）设EAI x ∠=，则3BAE x ∠=，通过三角形内角和得到2EDK x ∠=-︒，由角平分线定义及//AB CD 得到33224x x =︒+-︒，求出x 的值再通过三角形内角和求EKD ∠．
【详解】
解：（1）过E 作//EF AB ，
//AB CD ，
//EF CD ∴，
25EAF AEH ∴∠=∠=︒，45EAG DEH ∠=∠=︒，
70AED AEH DEH ∴∠=∠+∠=︒，
故答案为：70︒；
（2）EAF AED EDG ∠=∠+∠．
理由如下：
过E 作//EM AB ，
//AB CD ，
//EM CD ∴，
180EAF MEH ∴∠+∠=︒，180EDG AED MEH ∠+∠+=︒，
180EAF MEH ∴∠=︒-∠，180EDG AED MEH ∠+∠=︒-，
EAF AED EDG ∴∠=∠+∠；
（3）:1:2EAP BAP ∠∠=，
设EAP x ∠=，则3BAE x ∠=，
32302AED P ∠-∠=︒-︒=︒，DKE AKP ∠=∠，
又180EDK DKE DEK ∠+∠+∠=︒，180KAP KPA AKP ∠+∠+∠=︒，
22EDK EAP x ∴∠=∠-︒=-︒， DP 平分EDC ∠，
224CDE EDK x ∴∠=∠=-︒，
//AB CD ，
EHC EAF AED EDG ∴∠=∠=∠+∠，
即33224x x =︒+-︒，解得28x =︒，
28226EDK ∴∠=︒-︒=︒，
1802632122EKD ∴∠=︒-︒-︒=︒．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定，正确做出辅助线是解决问题的关键．
4．（1）PB ′⊥QC ′；（2）当射线PB 旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB ′∥QC ′
【分析】
（1）求出旋转10秒时，∠BPB ′和∠CQC ′的度数，设PB ′与QC ′交于O ，过O 作OE ∥AB ，根据平行线的性质求得∠POE 和∠QOE 的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0＜t ≤15时，②当15＜t ≤30时，③当30＜t ＜45时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t 的方程便可求得旋转时间．
【详解】
解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB ′＝10°×12＝120°，∠CQC ′＝3°×10=30°，
过O 作OE ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥OE ∥CD ，
∴∠POE ＝180°﹣∠BPB ′＝60°，∠QOE ＝∠CQC ′＝30°，
∴∠POQ ＝90°，
∴PB ′⊥QC ′，
故答案为：PB ′⊥QC ′；
（2）①当0＜t≤15时，如图，则∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即12t＝45+3t，
解得，t＝5；
②当15＜t≤30时，如图，则∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，
即12t﹣180＝45+3t，
解得，t＝25；
③当30＜t≤45时，如图，则∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，
∵AB ∥CD ，PB ′∥QC ′，
∴∠BPB ′＝∠BEQ ＝∠CQC ′，
即12t ﹣360＝45+3t ，
解得，t ＝45；
综上，当射线PB 旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB ′∥QC ′．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
5．（1）见解析；（2）72︒
【分析】
（1）根据平行线的性质得出180A B ∠+∠=︒，再根据等量代换可得180B D ∠+∠=︒，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点E 作//EP CD ，延长DC 至Q ，过点M 作//MN AB ，根据平行线的性质及等量代换可得出ECQ BGM DFG ∠=∠=∠，再根据平角的含义得出ECF CFG ∠=∠，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出,BHF CFH CFA FAB ∠=∠∠=∠；设
,FAB CFH αβ∠=∠=，根据角的和差可得出2AEC AFH ∠=∠，结合已知条件35180AEC AFH ∠-∠=︒可求得18AFH ∠=︒，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：//AE BD
180A B ∴∠+∠=︒
A D ∠=∠
180B D ∴∠+∠=︒
//AB CD ∴；
（2）过点E 作//EP CD ，延长DC 至Q ，过点M 作//MN AB
//AB CD
QCA CAB ∴∠=∠，BGM DFG ∠=∠，CFH BHF ∠=∠，CFA FAG ∠=
ACE BAC BGM ∠=∠+∠
ECQ QCA BAC BGM ∴∠+∠=∠+∠
ECQ BGM DFG ∴∠=∠=∠
180,180ECQ ECD DFG CFG ∠+=︒∠+=︒
ECF CFG ∴∠=∠
//AB CD
//AB EP ∴
,PEA EAB PEC ECF ∴∠=∠∠=∠
AEC PEC PEA ∠=∠-∠
AEC ECF EAB ∴∠=∠-∠
ECF AEC EAB ∴∠=∠+∠
AF 平分BAE ∠
12
EAF FAB EAB ∴∠=∠=∠ FH 平分CFG ∠
12
CFH HFG CFG ∴∠=∠=∠ //CD AB
,BHF CFH CFA FAB ∴∠=∠∠=∠
设,FAB CFH αβ∠=∠=
AFH CFH CFA CFH FAB ∠=∠-∠=∠-∠
AFH βα∴∠=-，BHF CFH β∠=∠=
222ECF AFH AEC EAB AFH AEC β∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+
22ECF AFH E BHF ∴∠+∠=∠+∠
2AEC AFH ∴∠=∠
35180AEC AFH ∠-∠=︒
18AFH ∴∠=︒
FH HM ⊥
90FHM ∴∠=︒
90GHM β∴∠=︒-
180CFM NMF ∠+∠=︒
90HMB HMN β∴∠=∠=︒-
EAF FAB ∠=∠
18EAF CFA CFH AFH β∴∠=∠=∠-∠=-︒
189072EAF GMH ββ∴∠+∠=-︒+︒-=︒
72EAF GMH ∴∠+∠=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
6．（1）见解析；（2）902FME α∠=︒-
，证明见解析． 【分析】
（1）由平行线的性质得到CEH EHB ∠=∠，等量代换得出GFB EHB ∠=∠，即可根据“同位角相等，两直线平行”得解；
（2）过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可．
【详解】
（1）证明：//AB CD ，
CEH EHB ∴∠=∠，
GFB CEH ∠=∠，
GFB EHB ∴∠=∠，
//GF EH ∴；
（2）解：902FME α
∠=︒-，理由如下：
如图2，过点M 作//MQ AB ，过点G 作//GP AB ，
//AB CD ，
//MQ CD ∴，
AFM FMQ ∴∠=∠，QME MEC ∠=∠，
FME FMQ QME AFM MEC ∴∠=∠+∠=∠+∠，
同理，FGE FGP PGE AFG GEC ∠=∠+∠=∠+∠， FM 平分AFG ∠，EM 平分GEC ∠，
2AFG AFM ∴∠=∠，2GEC MEC ∠=∠，
2FGE FME ∴∠=∠，
由（1）知，//GF EH ，
180FGE GEH ∴∠+∠=︒，
GEH α∠=，
180FGE α∴∠=︒-，
2180FME α∴∠=︒-，
902FME α
∴∠=︒-．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质及作出合理的辅助线是解题的关键．
7．（1）1115656=-⨯，()11111n n n n =-⨯++；（2）①4950；②1465119800
【分析】
（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n 个算式；
（2）①根据运算规律可得结果．
②利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果．
【详解】
（1）根据规律得：第5个等式是1115656
=-⨯，第n 个等式是()11111n n n n =-⨯++； （2）①11111223344950⨯⨯⨯⨯++++， 111111111223344950
=-+-+-++-， 1150=-
， 4950
=；
②a 0=，
1a ，3b =，
原式111111324354698100=+++++⨯⨯⨯⨯⨯， 11111111111111(1)()()+()()23224235246
298100=⨯-+⨯-+⨯-⨯-++⨯-， 1111111111(1)2324354698100=⨯-+-+-+-++-，
1111(1)2299100
=⨯+--， 1465119800
=． 【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解答此题的关键．
8．（1）14
-（2）124- 【分析】
（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；
（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.
【详解】
（1）115112744362⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()115112744362⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭ 104⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 14
=- （2）原式()235120192018201720163462⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 124⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 124
=- 【点睛】
此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.
9．（1）2、3、4、5；（2）第n 个等式为1+3+5+7+…+（2n+1）＝n 2；
（3）﹣1.008016×106．
【分析】
(1) 根据从1开始连续n 各奇数的和等于奇数的个数的平方即可得到.
(2) 根据规律写出即可.
(3) 先提取符号，再用规律解题.
【详解】
解：（1）1+3＝22
1+3+5＝32
1+3+5+7＝42
1+3+5+7+9＝52
……
故答案为：2、3、4、5；
（2）第n 个等式为1+3+5+7+…+（2n+1）＝2(1)n +
（3）原式＝﹣（1+3+5+7+9+ (2019)
＝﹣10102
＝﹣1.0201×106．
【点睛】
本题考查数字变化规律，解题的关键是找到第一个的规律，然后加以运用即可.
10．（1）x 7－1；（2）x n+1
－1；（3）51312-． 【分析】
（1）仿照已知等式写出答案即可；
（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；
（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：(x －1)(x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)=x 7-1；
（2）根据题意得：（x-1）（x"+x"-1+.…+x+1）=x"+1-1；
（3）原式=12×（3-1）(1+3+32+···+349+350)= 12×（x 50+1-1）=51312
- 故答案为：（1）x 7－1；（2）x
n+1－1；（3）51312
-． 【点睛】 本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．
11．（1）；（2）①②见解析
【分析】
（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A 和点B 表示的数
（2）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （3）从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a ，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M ，再把这个长方形向左平移3个单位，用同样的方法得到点N ．
【详解】
（1）由图1，
∴图2中点A 表示的数是，点B ，
故答案是：
（2）①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，
∴
如图所示：
故答案是：5；
②如图所示：
【点睛】
本题考查无理数的表示方法，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．
12．（1）3113； （2）4；（3）x ﹣y=75
【分析】
（1）由3114可得答案；
（2）由253知52，由6417知b=6，据此求解可得；
（3）由253知5＜56，据此得出x 、y 的值代入计算可得．
【详解】
（1）∵3114，
∴113113； 故答案为311﹣3．
（2）∵253，
∴52， ∵6417，
∴b=6， ∴a+b 552+65．
（3）∵253，
∴5＜56，
∴5x=5，小数部分为552．
则x ﹣y=552）=555
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．
13．（1）(0,4)A ，0()6,B -； （2）4(0,)D -；（3）()8,8P --
【解析】
（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）利用三角形面积求法，由ABO ACO BCO S S S ∆∆∆=+列方程组，求出点C 坐标，进而由△ACD 面积求出D 点坐标.
（3）由平行线间距离相等得到20PAB EAB S S ∆∆==，继而求出E 点坐标，同理求出F 点坐标，再由GE=12求出G 点坐标，根据PGE OEF GPFO S S S ∆∆=+梯形求出PG 的长即可求P 点坐标.
【详解】
解：（1）40a -≥ 60b +≥， ∴460a b -++=，
40a ∴-=，60b +=，
4a ∴=，6b =-，
()0,4A ∴，()6,0B -，
（2）由BCM DOM S S ∆∆=
∴ABO DOM S S ∆∆=，
ABO ACD S S ∆∆∴=，
1122
ABO S AO BO ∆=⨯⨯=， 如图1，连CO ，作CE y ⊥轴，CF x ⊥轴，
ABO ACO BCO S S S ∆∆∆=+，
即()11641222
m m ⨯⨯+⨯⨯-= 53212
n m n m -=⎧∴⎨-=⎩， 32m n =-⎧∴⎨=⎩
， ()3,2C ∴-，
而12
ACD S CE AD ∆=⨯⨯， ()134122
OD =⨯⨯+=，
()0,4D ∴-，
（3）如图2：
∵EF ∥AB ，
∴20PAB EAB S S ∆∆==， ∴1202
AO BE ⨯=，即()4640OE ⨯+=， 4OE ∴=，
()4,0E ∴，
12GE =，
8GO ∴=，
()8,0G ∴-，
20ABF PBA S S ∆∆==，
()11642022
ABF S BO AF OF ∆∴=⨯⨯=⨯⨯+=， 83
OF ∴=， 80,3F ⎛⎫∴- ⎪⎝
⎭， PGE OEF GPFO S S S ∆∆=+梯形，
11818128422323PG PG ⎛⎫∴⨯⨯=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭
， 8PG ∴=，
()8,8P ∴--，
【点睛】
本题考查的是二元一次方程的应用、三角形的面积公式、坐标与图形的性质、平移的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握平移规律是解题的关键．
14．（1）35，35，平行；（2）∠FMN +∠GHF =180°，证明见解析；（3）不变，2
【分析】
（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB ∥CD ；
（2）先根据内错角相等证GH ∥PN ，再根据同旁内角互补和等量代换得出
∠FMN +∠GHF =180°；
（3）作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ，先根据同位角相等证ER ∥FQ ，得∠FQM 1=∠R ，设∠PER =∠REB =x ，∠PM 1R =∠RM 1B =y ，得出∠EPM 1=2∠R ，即可得1FPN Q ∠∠=2． 【详解】
解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，
∴α=β=35，
∴∠PFM =∠MFN =35°，∠EMF =35°，
∴∠EMF =∠MFN ，
∴AB ∥CD ；
（2）∠FMN +∠GHF =180°；
理由：由（1）得AB ∥CD ，
∴∠MNF =∠PME ，
∵∠MGH =∠MNF ，
∴∠PME =∠MGH ，
∴GH ∥PN ，
∴∠GHM =∠FMN ，
∵∠GHF +∠GHM =180°，
∴∠FMN +∠GHF =180°；
（3）1FPN Q
∠∠的值不变，为2， 理由：如图3中，作∠PEM 1的平分线交M 1Q 的延长线于R ，
∵AB ∥CD ，
∴∠PEM 1=∠PFN ，
∵∠PER =12∠PEM 1，∠PFQ =1
2∠PFN ，
∴∠PER =∠PFQ ，
∴ER ∥FQ ，
∴∠FQM 1=∠R ，
设∠PER =∠REB =x ，∠PM 1R =∠RM 1B =y ，
则有：1
22y x R y x EPM ⎧⎨⎩=+∠=+∠， 可得∠EPM 1=2∠R ，
∴∠EPM 1=2∠FQM 1， ∴11EPM FQM ∠∠=1FPN Q
∠∠=2． 【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
15．（1）（-2，0）；（-3，0）；（2）z=x+y ．证明见解析．
【分析】
（1）依据平移的性质可知BC ∥x 轴，BC=AE=3，然后依据点A 和点C 的坐标可得到点E 和点D 的坐标；
（2过点P 作PF ∥BC 交AB 于点F ，则PF ∥AD ，然后依据平行线的性质可得到
∠BPF=∠CBP=x°，∠APF=∠DAP=y°，最后，再依据角的和差关系进行解答即可．
【详解】
解：（1）∵将三角形OAB 沿x 轴负方向平移，
∴BC ∥x 轴，BC=AE=3．
∵C （-3，2），A （1，0），
∴E （-2，0），D （-3,0）．
故答案为：（-2，0）；（-3，0）．
（2）z=x+y ．证明如下：如图，过点P 作PF ∥BC 交AB 于点F ，则PF ∥AD ，
∴∠BPF=∠CBP=x°，∠APF=∠DAP=y°，
∴∠BPA ＝∠BPF+∠APF=x°+y°=z°，
∴z=x+y ．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了点的坐标的特点，平移得性质，平面坐标系中点的坐标和距离的关系，解本题的关键是由线段和部分点的坐标，得出其它点的坐标． 16．（1）A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；（2）超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；（3）超市不能实现利润1400元的目标；
【分析】
（1）根据第一周和第二周的销售量和销售收入，可列写2个等式方程，再求解二元一次方
程组即可；
（2）利用不多于5400元这个量，列写不等式，得到A 型电风扇a 台的一个取值范围，从而得出a 的最大值；
（3）将B 型电风扇用(30-a)表示出来，列写A 、B 两型电风扇利润为1400的等式方程，可求得a 的值，最后在判断求解的值是否满足（2）中a 的取值范围即可
【详解】
解：（1）设A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为x 元、y 元，
依题意得：3518004103100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：250210x y =⎧⎨=⎩
， 答：A 、B 两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元．
（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（30-a ）台．
依题意得：200a+170（30-a ）≤5400，解得：a≤10．
答：超市最多采购A 种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：（250-200）a+（210-170）（30-a ）=1400，
解得：a=20，∵a≤10，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
【点睛】
本题是二元一次方程和一元一次不等式应用题的综合考查，解题关键是依据题意，找出等量关系式(不等关系式)，然后按照题目要求相应求解
17．（1）A ，C ；（2）12t ≤≤或56t ≤≤；（3）见解析
【分析】
（1）分别根据三角形的面积计算△OPA ，△DPB ，△DPC ，△OPD 的面积即可； （2）分线段OP 在线段EF 下方和线段OP 在线段EF 上方分别求解；
（3）画出图形，根据S △PQN =1，得到S △HMN ，分当x N =0时，当x N =2时，分别结合
S △HMN N 点纵坐标的范围．
【详解】
解：（1）S △OPA =11112
⨯⨯=，则点A 是线段OP 的“单位面积点”， S △OPB =111122
⨯⨯=，则点B 不是线段OP 的“单位面积点”， S △OPC =11212
⨯⨯=，则点C 是线段OP 的“单位面积点”， S △OPD =11422
⨯⨯=，则点D 不是线段OP 的“单位面积点”， （2）设点G 是线段OP 的“单位面积点”，则S △OPG =1，
∵点E 的坐标为（0，3），点F 的坐标为（0，4），且点G 在线段EF 上，
∴点G 的横坐标为0，
∵S △OPG =1，线段OP 为y 轴向上平移t （t ＞0）个单位长度，
当E 为单位面积点时，32,t -=
1,5,t t ∴==
当F 为单位面积点时，42,t -= 2,6,t t ∴== 综上所述：1≤t ≤2或5≤t ≤6；
（3）∵M ，N 是线段PQ 的两个单位面积点，
∴S △PQM =1，S △PQN =1，
∵P （1，0），Q （1，-2），
∴PQ =2，
∴M ，N 的横坐标为0或2，
∵点M 在HQ 的延长线上，
∴点M 的横坐标为x M =2，
∵S △HMN ≥2S △PQN ，
∴S △HMN ≥2，
当x N =0时，S △HMN =122
HN HN ⨯⨯=，
则2H N y y -≥，
∴12N y ≤--或12N y ≥-+；
当x N =2时，S △HMN =122MN MN ⨯⨯=，
则2M N y y -≥，
∴32N y ≤--或32N y ≥-+．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积公式，并且能够理解单位面积点的定义，解题关键是找到单位面积点的轨迹进行求解．
18．（1）①1，4；3，0；2，﹣4；②2；（2）见解析；（3）t ＝1.2时，P (0.6，0)，t ＝2时，P (﹣1，0)．
【分析】
（1）①利用非负数的性质求出a ，b 的值，可得结论．
②利用三角形面积公式求解即可．
（2）连接DH ，根据△ODH 的面积+△ADH 的面积=△OAH 的面积，构建关系式，可得结。