新教材人教A版选择性必修第一册 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课件(44张)

关键能力·素养形成
类型一 空间向量的坐标运算 【典例】1.已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)· (-b),(a+b)·(a-b). 2.已知△ABC中,A(2,-5,3), AB =(4,1,2), BC =(3,-2,5),求顶点B,C的坐标 及 CA . 【思维·引】1.根据向量坐标运算的公式. 2.根据起点和终点坐标求向量坐标时,用终点坐标减去起点坐标.
2.设B(x,y,z),C(x1,y1,z1),
所以AB=(x-2,y+5,z-3), B=C(x1-x,y1-y,z1-z).
因为 AB=(4,1,2),所以
x－2＝4,
y＋解5＝得1,
z－3＝2，
x＝6, y＝－4, z＝5，
所以B的坐标为(6,-4,5).
因为 BC=(3,-2,5),
x1－6＝3,
2.空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔_a_1_=_λ__b_1,_a_2_=_λ__b_2_,_a_3=_λ__b_3_(λ∈R); a⊥b⇔a·b=0⇔_a_1b_1_+_a_2_b_2+_a_3_b_3_=_0_;
【思维·引】
【解析】以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、
z轴建立空间直角坐标系(如图).
则B(0,1,0),M(1,0,1),N (0，1，1).
2
所以 BM=(1,-1,1), BN＝(0，－1，1，)
2
所以 BM ＝ 12＋（－1）2＋12＝ 3，
BN ＝ 02＋(－1 )2＋1＝ 5； 2 22
【解析】设H(x,y,z),则 O=H(x,y,z),
BH=(x,y-1,z-1), =O(A-1,1,0).
因为BH⊥OA,
所以 BH· O=A0, 即-x+y-1=0 ①,又点H在直线OA上,
所以 OA=λ ,OH
－1＝x，
即 1＝y②， ,
0＝z
联立①②解得 xy＝＝－12，12，
z＝0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C1G＝(0，34，0)－
0,1,1＝(0，－1，－1).
4
所以
C1G ＝
17 .又EF 4
C1G＝
1 2
0＋
1 2
(－
1 4
)＋－
1 2
(－1)＝3，EF 8
＝
3， 2
所以cos< EF，C1G>=
EF C1G ＝ 51 . EF C1G 17
角度2 向量法求距离 【典例】如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N 分别是AA1,CB1的中点,求BM,BN的长.
【解析】(1)因为 B=C(-2,-1,2)且c∥ , BC 所以设c=λ BC=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R). 所以|c|= (2)2 ()=2 3(|2λ|)=2 3. 解得λ=±1. 所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
(2)因为a= AB=(1,1,0),b= =A(C-1,0,2), 所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). 因为(ka+b)⊥(ka-2b), 所以(ka+b)·(ka-2b)=0, 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4) =2k2+k-10=0, 解得k=2或k=-5 .
所以点H的坐标为(－1，1，.0)
22
答案: (－1，1，0)
22
类型三 向量夹角与长度的计算
角度1 向量法求夹角
【典例】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点, G在棱CD上,且CG= 1 CD,H为C1G的中点.
4
(1)求证:EF⊥B1C;(2)求cos< EF，C1G >.
2a-b=(2-x,3,-2y-2).
因为(a+2b)∥(2a-b),
所以存在实数λ,使a+2b=λ(2a-b),
所以
2x＋1＝（2－x），
4＝3，
解得
4－y＝（－2y－2），
x＝＝1243，， y＝－4.
2.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H满足 BH⊥OA,则点H的坐标为_______.
类型二 利用向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题 【典例】已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2), C(-3,0,4).设a= AB,b= AC. (1)若|c|=3,c∥ BC,求c; (2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
【思维·引】(1)根据c∥BC ,设c=λBC (λ∈R),则向量c的坐标可用λ表示, 再利用|c|=3求λ的值; (2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
【解析】1.a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2); a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6); a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7; (2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14; (a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2+(-2)×0+2×(-6)=-8.
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
必备知识·素养奠基
1.空间向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), a+b=_(_a_1_+_b_1_,_a_2+_b_2_,_a_3_+_b_3_), a-b=_(_a_1_-_b_1_,_a_2-_b_2_,_a_3_-_b_3)_, λa=_(_λ__a_1_,_λ__a_2_,_λ__a_3)_,λ∈R, a·b=_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_a_3_b_3 .
2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b等于
()
A.(16,0,4) B.(8,-16,4)
C.(8,16,4) D.(8,0,4)
【解析】选D.4a=(12,-8,4),2b=(-4,8,0),所以4a+2b=(8,0,4).
3.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为 ( ) A.(1,3,2) B.(-1,-3,2) C.(-1,3,-2) D.(1,-3,-2) 【解析】选C.因为(-1,3,-2)=-(1,-3,2), 所以(-1,3,-2)与(1,-3,2)平行.
|a|=
ab =
a12
a
2 2
a
2 3
;
cos<a,b>= a b =
| a || b |
a1b1 a2b2 a3b3
.
a12
a
2 2
a
2 3
b12 b22 b32
【思考】
若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,则一定有
a1 a2 b1 b2
a3 . b3
成立吗?
故BM的长为3 ,BN的长为 5.
2
【类题·通】 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
【习练·破】 已知点M(3,2,1),N(1,0,5),求:
(1)线段MN的长度; (2)到M,N两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.
【解析】(1)根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度 |MN|=（3－1）2＋（2－0）2＋（1－5）2＝2 6， 所以线段MN的长度为26 .
()
A.(2,-4,2)
B.(-2,4,-2)
C.(-2,0,-2)
D.(2,1,-3)
【解析】选B.因为a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1)所以b=a+b-a= (-1,2,-1)
- (1,-2,1)= (-2,4,-2).
2.已知A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段AB的长为 ( )
(2)因为点P(x,y,z)到M,N两点的距离相等, 所以有下面等式成立:
（x－3）2＋（y－2）2＋（z－1）2＝（x－1）2＋（y－0）2＋（z－5）2，
化简得x+y-2z+3=0, 因此,到M,N两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是x+y-2z+3=0.
课堂检测·素养达标
1.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b=
x1 ＝ y1 ＝ z1 x2 y2 z2
(x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.
【习练·破】
1.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则 ( )
A.x= 1 ,y=1
3
C.x=2,y=- 1
4
B.x= 1 ,y=-4
2
D.x=1,y=-1
【解析】选B.由题意知,a+2b=(2x+1,4,4-y),
所以
y1＋4＝－解2,得
z1－5＝5，
x1＝9,
所y以1＝C－的6, 坐标为(9,-6,10), =(-7,1,-C7A).
z1＝10，
【内化·悟】 已知向量起点坐标和向量的坐标,怎样求终点坐标?若已知终点坐标与向量坐 标呢? 提示:向量的终点坐标定义起点坐标加向量的坐标;向量起点坐标定义终点坐标 减去向量坐标.
【思维·引】(1)建立适当的坐标系,分别计算 EF,B1C 的坐标,根据坐标运算 证明EF⊥B1C; (2)利用坐标法求cos< EF，C1G >.
【解析】(1)如图,建立空间直角坐标系Dxyz,D为坐标原点,
则有E (0，0，1,F)
2
(,12C，(120，0,1) ,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),
2
【内化·悟】 怎样表示与向量a(a≠0)平行的向量? 提示:设b=λa,λ∈R.
【类题·通】
判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化:将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.
(2)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据两向量坐标间的数量积是否为0判断
两向量是否垂直;根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或
A.4 3
B.2 3
C.4 2
D.3 2
【解析】选A.|AB|= （1＋3）2＋（1＋3）2＋（1＋3）2＝4 3.
3.已知a=(1,x,3),b=(-2,4,y),若a∥b,则x-y=_______.
G(0，3，0)，H(0，7，1 ).EF＝( 1，1，0)(－0，0，1 )＝( 1，1，－1 )，
4
82
22
2 22 2
B1C=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1).
所以
EF
B1C＝
1 2
(－1)＋1 2
0＋－1 2
(－1)＝0，
所以 EF B,即1C EF⊥B1C.
(2)因为
【类题·通】 关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来,然后通过建立方程(组),解方程(组)求出其坐 标.
【习练·破】 1.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,则p·q=( ) A.-1 B.1 C.0 D.-2 【解析】选A.因为p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1), 所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1. 2.已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),则a-b+2c=_______. 【解析】a-b+2c=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5). 答案: (-4,8,-5)
提示:当b1,b2,b3均不为0时, a1 a2 a3 成立.
b1 b2 b3
3.空间两点间的距离 在空间直角坐标系中,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2), 则 P1P2 =_(_x_2_-_x_1,_y_2_-_y_1_,_z_2-_z_1_)_;
P1P2=| P1P2 |=__（_x_2___x_1）_2_（__y_2__y_1_）2__（_z_2___z1_）_2 ____.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)即使建立的坐标系不同,同一向量的坐标仍相同. ( )
(2)空间向量a∥b⇔cos<a,b>=1.
()
(3)在空间坐标系中,若A(1,2,3),B(4,5,6),则 AB =(-3,-3,-3). ( )
提示:(1)×.在不同的空间直角坐标系中同一向量的坐标是不相同的. (2)×.空间向量a∥b则<a,b>=0°或180°,则cos<a,b>=±1. (3)×.空间向量的坐标是用终点坐标减去起点坐标.