2018-2019学年高中数学人教B版必修二学案：2章末复习提升

1.直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(α∈[0°，180°))，是倾斜度的直接体现；斜率k 是实数(k ∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.
(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k ＝tan α，且经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k AB ＝
y 2－y 1
x 2－x 1
. (3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k 由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0). 2.直线方程的五种形式及比较
的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论.
3.两直线平行与垂直的条件
直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程.
4.距离问题
与几何图形直观分析相结合.
5.直线系方程
直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示
成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数，λ≠C)；
(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A1x＋B1y＋C1＝0，恰好表示直线l1；当λ≠0时，方程表示过直线l1和l2的交点，但不含直线l1和l2的任一条直线).
6.对称问题
对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.
(1)中心对称
①两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，即P为线段P1P2的中点.特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y).
②两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P 对称的点在另一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等.
(2)轴对称
①两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.
②两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称.
当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；
当l1∥l2∥l时，l1与l间的距离等于l2与l间的距离.
7.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0).
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.
8.点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.
(2)点不在圆上
①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.
注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：
d min＝|PC|－r.
9.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断).
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.
(2)当直线与圆相交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.
①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x －a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.
(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F ＞0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.
10.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r，R的大小关系来判断).
(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
11.空间直角坐标系
(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.
(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.
(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.
题型一 直线的方程
(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况. (2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单.
例1 过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.
解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2. 令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2k . 由题意⎪⎪⎪⎪－1＋2
k ＝1，即k ＝1. 则直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0
综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0，或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0. 跟踪演练1 将直线的方程x －2y ＋6＝0：
(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y 轴上的截距； (2)化成截距式，并指出它在x 轴、y 轴上的截距.
解 (1)将原方程移项得2y ＝x ＋6，两边同除以2，得斜截式y ＝12x ＋3，因此它的斜率k ＝1
2，
在y 轴上的截距为3.
(2)将原方程移项得x －2y ＝－6，两边同除以－6，得截距式x －6＋y
3＝1.由方程可知，直线在
x 轴、y 轴上的截距分别为－6,3. 题型二 直线的位置关系
两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.
例2 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a 、b 的值.
(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直. (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等. 解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0. 即a 2－a －b ＝0① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ，
∴l 1的斜率也存在，a b ＝1－a ，即b ＝a 1－a .
故l 1和l 2的方程可分别表示为 l 1∶(a －1)x ＋y ＋4(a －1)
a ＝0， l 2：(a －1)x ＋y ＋
a
1－a
＝0. ∵原点到l 1与l 2的距离相等，
∴4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪
⎪a 1－a ，解得a ＝2或a ＝23.
因此⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2或⎩⎪
⎨
⎪⎧
a ＝2
3，b ＝2.
跟踪演练2 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值. 解 (1)若l 1∥l 2，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a (a －1)－2×1＝0，a (a 2－1)－6×1≠0.
∴a ＝－1.∴a ＝－1时，l 1∥l 2. (2)当l 2的斜率不存在时，a ＝1. 则l 2：x ＝0，l 1：x ＋2y ＋6＝0. 显然l 1与l 2不垂直. 当l 2斜率存在时，a ≠1. 则k 2＝
1
1－a
，k 1＝－a 2.
∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝
11－a ·⎝⎛⎭
⎫
－a 2＝－1.
∴a ＝23
.
题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系是重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.
(2)解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题.
例3 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.
(1)若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；
(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.
解 (1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，所以d ＝22－(3)2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝
|1－k (－3－4)|
1＋k 2
＝1，从而k (24k ＋7)＝0.
即k ＝0或k ＝－7
24
，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.
(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1
k (x －a ).因为圆C 1和圆C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2
被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即
|1－k (－3－a )－b |1＋k 2
＝
⎪⎪⎪
⎪
5＋1k (4－a )－b 1＋1
k
2
，
整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，
从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝ －5k －4＋a ＋bk ，
即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，
因为k 的取值范围有无穷多个，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧
a －
b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，
解得⎩⎨⎧
a ＝52
，b ＝－1
2
或⎩⎨⎧
a ＝－32
，
b ＝13
2.
这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件.
跟踪演练3 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 过点P (2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |＝23，求直线l 的方程.
解 (1)当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0. 作示意图如图，作MC ⊥AB 于C .
在Rt △MBC 中， |BC |＝3，|MB |＝2， 故|MC |＝|MB |2－|BC |2＝1，
由点到直线的距离公式得|k －1＋3－2k |
k 2＋1＝1，
解得k ＝3
4
.
所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.
(2)当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2， 且|AB |＝23，所以适合题意.
综上所述，直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0或x ＝2. 题型四 与圆有关的最值问题
在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.
例4 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点.
(1)求y －2x －1的最大值与最小值；
(2)求x －2y 的最大值与最小值. 解 (1)
显然y －2x －1
可以看作是点
P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率.令y －2
x －1＝k ，如图所示，则其最大值、最小值分别是过点Q (1,2)
的圆C 的两条切线的斜率. 对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k －k ＋2|1＋k 2＝1，
∴k ＝3±34
.
故y －2x －1
的最大值是3＋34，最小值是3－34.
(2)令u ＝x －2y ，则u 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.
依题意，得|－2－u |
5＝1，解得u ＝－2±5，
故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5.
跟踪演练4 当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤
13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34 D.⎝⎛⎭
⎫5
12，＋∞ 答案 C
解析 曲线y ＝1＋4－x 2是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y ＝k (x －2)＋4是过定点(2,4)的直线.
设切线PC 的斜率为k 0，则切线PC 的方程为y ＝k 0(x －2)＋4，圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2，即
|－1＋4－2k 0|1＋k 20
＝2，k 0
＝5
12. 直线PA 的斜率为k 1＝3
4.
所以，实数k 的范围是512<k ≤3
4.
题型五 分类讨论思想
分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论. 例5 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋ (y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.
解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.
①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0.
由题意可知⎝ ⎛⎭
⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝⎛⎭⎫822＝52
，
解得k ＝－4
3
，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.
综上所述，满足题设的l 的方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.
跟踪演练5 如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .
(1)求圆A 的方程；
(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为R .
由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5
＝2 5.
∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.
(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；
②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN .
∵|MN |＝219，
∴|AQ |＝20－19＝1，
则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1
＝1，得k ＝34. 直线方程为3x －4y ＋6＝0.
综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.
1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.
2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.
3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.
4.初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果.
圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质.那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：
(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等.
(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理.
(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角.。