《2017参考》金版教程2016高考数学文二轮复习训练2-1-3数列Word版含解析

1．[2015·郑州质检一]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3
＝6，a 3＝0，则公差d 等于( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．－2 答案 D
解析 S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2， 故d ＝a 3－a 2＝－2.
2．[2015·西安八校联考]在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )
A ．37
B ．36
C ．20
D ．19
答案 A
解析 a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×8
2d ＝36d ＝a 37，故选A.
3．设数列{a n }是首项为a 1，公差为1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1、S 2、S 4成等比数列，则a 2015＝( )
A ．4030
B ．4029
C ．2014 D.4029
2 答案 D
解析 因为S 1、S 2、S 4成等比数列，所以S 22＝S 1S 4，所以(2a 1＋1)2
＝a 1(4a 1＋6)，解得a 1＝12.所以a n ＝12＋(n －1)×1＝n －12(n ∈
N *
)，故a 2015＝4029
2，选D.
4．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且a 1，1
2a 3,2a 2成等
差数列，则a 9＋a 10
a 7＋a 8
＝( )
A ．3＋2 2
B ．3－2 2
C ．2＋3 2
D ．2＋2 2 答案 A
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0.因为a 1，1
2a 3,2a 2
成等差数列，所以a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，解得q ＝1＋2，所以a 9＋a 10a 7＋a 8
＝q 2
＝(1＋2)2＝3＋22，故选A.
5．若a ，b ，c 成等比数列，其中0<a <b <c <1，n ∈N *，且n ≠1，则log a n ，log b n ，log c n 组成的数列( )
A ．是等比数列
B ．是等差数列
C ．每项的倒数成等差数列
D ．第二项与第三项分别是第一项与第二项的n 次幂 答案 C
解析 解法一：1log c n －1log b n ＝log n c －log n b ＝log n c b ，1log b
n －
1log a n ＝log n b －log n a ＝log n
b a ，∵
c b ＝b a ，∴1log c n －1log b n ＝1
log b n －1
log a n ，即各项的倒数成等差数列．故选C.
解法二：取a ＝18，b ＝14，c ＝12，n ＝2，则log a n ＝－1
3，log b n ＝－1
2，log c n ＝－1，所以各项的倒数成等差数列．故选C.
6．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 2＝( )
A.3
4 B ．1 C.43 D.12 答案 A
解析 由题意可设数列{a n }的首项为a 1(a 1>0)，公差为d (d ≥0)．因为正项数列{a n }的前n 项和为S n ，所以S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 3＝3a 1＋3d .又{S n }也是公差为d 的等差数列，所以S 2＝2a 1＋d ＝a 1＋d ，两边平方得2a 1＋d ＝a 1＋2d a 1＋d 2 ①，S 3＝3a 1＋3d ＝a 1＋2d ，两边平方得3a 1＋3d ＝a 1＋4d a 1＋4d 2 ②，②－①得a 1＝－2d ＋2d a 1＋3d 2 ③，把③代入①得d (2d －1)＝0，解得d ＝0或d ＝1
2.当d ＝0时，代入③得a 1＝0，不合题意；当d ＝12时，代入③得a 1＝14.所以a 2＝a 1＋d ＝1
4＋12＝3
4，故选A.
7．[2015·沈阳质检一]数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝1
4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.
答案 323(1－4－
n )．
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的性质知a 5
＝a 2q 3
，求得q ＝1
2，所以a 1＝4.a 2a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a 2＝14a 1a 2，a n a n ＋1＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝1
4
a n －1a n (n ≥2)．设
b n ＝a n a n ＋1，可以得出数列{b n }是
以8为首项，以1
4为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n
＋1
为数列{b n }的前n 项和，由等比数列前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3
＋…＋a n a n ＋1＝
8⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14
＝323(1－4－
n )．
8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝(2＋cos n π)·(a n
－1)＋3，n ∈N *，设{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝________(用n 表示)．
答案 3n －
1＋n 2－1
解析 当n 是奇数时，cos n π＝－1；当n 是偶数时，cos n π＝1.所以当n 是奇数时，a n ＋2＝a n ＋2；当n 是偶数时，a n ＋2＝3a n .又a 1＝1，a 2＝2，所以a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是首项为1，公差为2的等差数列；a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是首项为2，公比为3的等比数列．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
n ，n 为奇数2×3n
2－1，n 为偶数，故S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋6＋…＋2×3n －
1)＝3n ＋n 2－1，所以S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3n ＋
n 2－1－2×3n －
1＝3n －
1＋n 2－1.
9．[2015·南昌调研]一牧羊人赶着一群羊通过4个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还1只给牧羊人，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，则牧羊人在过第一个关口前有________只羊．
答案 2
解析 记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{a n }(n ＝1,2,3,4)，
则由题意得a 2＝12a 1＋1，a 3＝12a 2＋1，a 4＝1
2a 3＋1，
而1
2a 4＋1＝2，解得a 4＝2，因此得a 3＝2，…，a 1＝2. 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求{b n }的通项公式．
解 (1)因为a n ＋S n ＝1，所以a n ＋1＋S n ＋1＝1，两式相减得a n
＋1
－a n ＋S n ＋1－S n ＝0，所以2a n ＋1＝a n ， 又当n ＝1时，a 1＋S 1＝1，所以a 1＝1
2， 所以{a n }是首项为12，公比为1
2的等比数列， 所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
.
(2)因为b n ＋1＝b n ＋a n ，所以
b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
，
所以当n ≥2时，b 2－b 1＝1
2，b 3－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，…，b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12n －1
，
相加得b n －b 1＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，
所以b n ＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＝
1×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
1－12n 1－1
2
＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－12n ＝
2－
12n
－1
.
11．[2015·贵州七校联盟联考]已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，且b 3S 3＝36，b 2S 2＝8(n ∈N *)．
(1)求a n 和b n ；
(2)若
a n <a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n a n ＋1的前
n 项和T n .
解 (1)由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
q 2(3＋3d )＝36q (2＋d )＝8
，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
d ＝2
q ＝2
或
⎩⎪⎨⎪⎧
d ＝－23，q ＝6∴⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＝2n －1
b n ＝2n －1
，或⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＝13(5－2n )
b n ＝6n －1
. (2)若a n <a n ＋1，由(1)知a n ＝2n －1，
∴1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1， ∴T n ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n
2n ＋1. 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在曲线y ＝2x 2－2上．
(1)求证：数列{a n }是等比数列；
(2)记b n ＝2n －1
a n
，试求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)证明：由题意得S n ＝2a n －2， 所以S n －1＝2a n －1－2(n ≥2，n ∈N *)．
两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2，n ∈N *)， 又a 1＝S 1＝2a 1－2，所以a 1＝2，
所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2×2
n －1
＝2n
，b n ＝2n －1
2n ，
所以T n ＝1×12＋3×122＋5×123＋…＋(2n －1)×12n ，1
2T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12
n ＋1，
两式相减得12T n ＝1×1
2＋2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)×1
2
n ＋1，
即12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n －12－(2n －1)×12
n ＋1＝2×12⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－12n 1－12
－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－(2n －1)×1
2n ＋1，
所以T n ＝3－1
2
n －2－(2n －1)×1
2n ＝3－2n ＋32n .。