广西壮族自治区玉林市陆川县第四中学高三数学理月考试题含解析

广西壮族自治区玉林市陆川县第四中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知A，B，C三点的坐标分别是，，，，若
，则的值为（）
A． B． C．2
D．3
参考答案：
B
2. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）
A．4πB．8πC．12πD．16π
参考答案：
A
【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积．
【解答】解：由已知中三棱锥的高为1
底面为一个直角三角形，
由于底面斜边上的中线长为1，
则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，
由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；
则三棱锥的外接球半径R为1，
则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图出判断出三棱锥的几何特征，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键．
3. 设复数z＝－2＋i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则｜（1＋z）·｜等于
A．B．2 C．5 D．
参考答案：
D
（1＋z）·,
∴｜（1＋z）·｜.
故选：D
4. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为
，则双曲线方程为（）
A．x2－y2＝2 B．x2－y2＝ C．x2－y2＝1 D．x2－y2＝
参考答案：
A
5. 某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为
A．12 B．24
C．24 D．12
参考答案：
A
略
6. 如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=
(A) -3 (B)
(C) 3 (D)
参考答案：
【知识点】向量的数量积. F3
【答案解析】A 解析：因为,所以
,故选 A.
【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.
7. 若数列{a n}满足，，则的值为（）
A．2 B．-3 C．D．
参考答案：
B
，，所以故数列是以4为周期的周期数列，故
故选B.
8. 已知集合，则（）
A． B． C．D．
参考答案：
B
由题根据集合，不难求得A,B的交集；由题
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）
参考答案：
A
10. 已知为等比数列，，，则（）
A.7
B.5
C. －5
D. －7
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为. 参考答案：
12
由三视图可知，这是一个底面为矩形，两侧面和底面垂直的四棱锥，底面矩形长4宽为3，四棱锥的高为3，所以四棱锥的体积为，答案为12.
12. 计算 .
参考答案：
13.
若定义在
R 上的偶函数f （x ）满足f （x ﹣1）=f（
x+1）．且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，
如果函数g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8个零点，则实数a的值为．
参考答案：
8﹣2
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），变形得到函数的周期，由周期性即可求得函数在某一段上的解析式，代入进行计算即可得出答案．
【解答】解：由f（x+1）=f（x﹣1），则f（x）=f（x﹣2），故函数f（x）为周期为2的周期函数．
∵函数g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8个零点，
∴f（x）﹣a|x|=0在（﹣∞，0）上有四个解，
即f（x）的图象（图中黑色部分）与直线y=a|x|（图中红色直线）在（﹣∞，0）上有4个交点，如图所示：
又当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x2+1，
∴当直线y=﹣ax与y=﹣（x+4）2+1相切时，即可在（﹣∞，0）上有4个交点，
∴x2+（8﹣a）x+15=0，∴△=（8﹣a）2﹣60=0．
∵a＞0，∴a=8﹣2．
故答案为：8﹣2．14. 能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________．
参考答案：
-1，-2，-3
15. 下列命题中：
①的充分不必要条件；
②函数的最小正周期是；
③中，若，则为钝角三角形；
④若，则函数的图像的一条对称轴方程为。

其中是真命题的为（把你认为正确的命题序号都填上）。

参考答案：
①③④。

①正确；
②错误，如下图所示显然函数的最小正周期是；
因此“”是“”的充分不必要条件；
③正确，若，则，
，
所以角C为钝角，则为钝角三角形；
④正确，若，则，
函数。

所以其一条对称轴方程为。

16. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于．
参考答案：
考点：异面直线及其所成的角．
专题：空间角．
分析：首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．
解答：解：取BC的中点F，连接EF，OF
由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，
所以：EF∥BC1∥AD1
所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．
平面ABCD⊥平面BCC1B1OF⊥BC
所以：OF⊥平面BCC1B1
EF?平面BCC1B1
所以：EF⊥OF
cos
故答案为：
点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型．
17. 甲、乙、丙、丁四位同学被问到是否游览过西岳华山时，回答如下：甲说：我没有去过；乙说：丙游览过；丙说：丁游览过；丁说：我没游览过．在以上的回答中只有一人回答正确且只有一人游览过华山．根据以上条件，可以判断游览过华山的人是．
参考答案：
甲
考点：进行简单的合情推理．
专题：综合题；推理和证明．
分析：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．
解答：解：假设甲去过，则甲乙丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意．所以填甲去过．
故答案为：甲．
点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.参考答案：
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意————2分
，————4分所求椭圆方程为．————5分
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，．————6分
（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．
由已知，得．————7分
把代入椭圆方程，整理得，——8分
，．————9分
．
当且仅当，即时等号成立．————11分
当时，，综上所述．————12分
当最大时，面积取最大值．——14分
19. 在四棱锥中，平面，,.(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值；
(Ⅲ)线段上是否存在点,使平面？说明理由.
参考答案：
【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．
（Ⅰ）见解析（Ⅱ）(Ⅲ)存在， E为线段PB的中点，AE⊥平面PBC．
解：(Ⅰ)在四棱锥中，因为平面，平面,
所以. 因为，所以.
因为,所以平面.
因为平面,所以. ………4分
(Ⅱ) 如图,以为原点建立空间直角坐标系.不妨设,则.
则.
所以，.
设平面的法向量.
所以.即.
令，则.
所以所以
所以与平面所成角的正弦值为. ………8分（Ⅲ）（法一）当E为线段PB的中点时，AE⊥平面PBC．
如图：分别取PB，PC的中点E，F，连结AE，DF，EF．
∴EF∥BC，且．∵AD∥BC，且，
∴AD∥EF，且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AE∥DF．∵PD=CD，∴三角形PCD是等腰三角形．
所以.因为平面，所以.
因为,所以平面.所以平面.
即在线段上存在点,使平面.
（法二）设在线段上存在点,当时，平面.
设，则.所以.
即.所以.
所以.由(Ⅱ)可知平面的法向量.
若平面，则.即.解得.
所以当，即为中点时，平面. ………12分
【思路点拨】（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PCD，然后证明BC⊥PC；
（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，求出设平面PBC的法向量，然后求解PA与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）法一：当E为线段PB的中点时，AE⊥平面PBC．分别取PB，PC的中点E，F，连结AE，DF，EF．证明四边形AEFD是平行四边形．然后证明AE⊥平面PBC．即可推出线段PB上是否存在点E，使AE⊥平面PBC．
法二，利用空间直角坐标系，通过向量共线，求出点的坐标即可．
【典型总结】本题考查空间点的坐标的求法，直线与平面所成的角的求法，直线与平面垂直的判断与性质的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
20. 如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，，，．
（Ⅰ）求sin∠BAC；
（Ⅱ）求DC的长．
参考答案：
【考点】HP：正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知及余弦定理可求BC的值，利用正弦定理即可得解sin∠BAC的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用诱导公式可求cos∠CAD，从而利用同角三角函数基本关系式可求sin∠CAD，进而利用两角和的正弦函数公式可求sinD的值，由正弦定理即可得解DC的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：AC2=BC2+BA2﹣2BC?BAcosB，
即BC2+BC﹣6=0，解得：BC=2，或BC=﹣3（舍），（3分）
由正弦定理得：．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）有：，，
所以，（9分）
由正弦定理得：．（12分）
（其他方法相应给分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21. 某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数； （2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认
为“网购迷与性别有关系”；
（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.
统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.
附：观测值公式：
临界值表：
参考答案：
(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3)
【分析】
(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为
，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算
即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支
付宝支付的次数分别为
，
，据题意得
，，计算，由
，即可求解
【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为，
后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间
内.
设直方图的面积平分线为，则
，得
，所以该社区居民网购消费
金额的中位数估计为17.5千元.
（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为
，
所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：
因为
，查表得，
所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.
（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.
设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，据题意，，.
所以，.
因为，则，所以的数学期望为.
【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题22. （本小题满分12分）
已知，，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
参考答案：
由，得，
或. …………4分
由，得. 或…………8分是的必要不充分条件，
………… 12分。