5.4 一元一次方程与实际问题(二)(课件)青岛版(2024)数学七年级上册

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解题秘方：本题主要考查了一元一次方程的实际 应用，根据工作总量＝ 工作时间× 工作效率, 列 出方程求解即可.
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解：设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作.
依题意，得107×2016＋(30－1702)0(16＋x)＝1， 解得x＝12． 所以，还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作.
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(1)若两车相向而行， 慢车先开40 min， 快车开出几小时
后两车相遇？
解题秘方：等量关系：慢车行驶的路程＋ 快车行驶的
路程＝1 500 km. 解：设快车开出 x h后两车相遇 .
由题意，得120×(x＋4600)＋150x＝1 700 . 解得x＝6 . 所以，快车开出6 h后两车相遇.
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解：设甲工程队每天掘进 x m，则乙工程队每天掘进(x－2) m. 由题意，得 2x＋(x＋x－2)＝26，解得 x＝7， 所以乙工程队每天掘进 7－2＝5(m)． 所以1476＋－526＝10(天)． 所以，甲、乙两个工程队还需要联合工作 10 天．
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解：设小明的速度为x
m/s，则他的哥哥的速度为32x
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m/s.
2 min 40 s＝160 s. 本例也可设他们两人的速度分别为2x m/s
和3x m/s.
由题意，得160×32x－160 x＝400，解得x＝5 .
则小明的哥哥的速度为5×32＝7.5(m/s). 设两人同时同地反向出发，经过y s他们第一次相遇.
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方法点拨：火车过桥问题的图形表示:
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(1)“火车完全通过桥”是指从火车车头上桥到火车车尾离
桥，如图5.4－2.
(2)“火车完全在桥上”是指从火车车尾上桥到火车车头离 桥，如图5.4－3.
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7－1. 一列匀速前进的火车，从它开始进入600 m 的隧道
到完全通过，共需40 s，在这个过程中又知在隧道顶
第5章 一元一次方程
5.4 一元一次方程与实际问题
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知识点 4 中点四边形
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1. 在行程问题中，一般涉及路程、时间和速度三个基础量. 它们之间的关系如下： 路程＝ 速度× 时间；
时间＝路速程度；速度＝路时程间.
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2. 常见的行程问题有追及问题、相遇问题、相向而行、背
向而行等.
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例 6 小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的环形跑道跑 步， 小明跑2 圈用的时间和他的哥哥跑3 圈用的时间 相等，两人同时同地同向出发， 结果经过2 min 40 s 他们第一次相遇，若两人同时同地反向出发， 则经 过几秒他们第一次相遇？
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解题秘方：理解“完全通过桥”和“完全在桥上” 时火车的运动过程，根据火车行驶的路程及速度 列方程 .
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解：设火车的长度为 x m. 根据题意，得1 20500＋x＝1 20300－x，解得 x＝300. 所以火车的速度为1 2005＋0 300＝ 30 (m/s). 所以，火车的长度为 300 m，速度为30 m/s.
由题意，得120y＋1 700－150 y＝1 400 . 解得y＝10.
所以，10h后两车相距1 400km(此时快车在慢车的后面).
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5－1.[ 期末·滨州滨城区]某校七年级学生远足活动期间， 沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走 4.5 km. 一列火车以每小时120 km的速度迎面开来， 测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生 相遇，共经过12 s，如果队伍长135 m，那么火车长 ____2_8_0____m.
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特别提醒 1. 当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，通常把总
工作量看成整体“1”. 2. 常见的等量关系为：总工作量= 各部分工作量之和.
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例 9 [期末·北京海淀区] 文物修复师们计划用30 个月完成 某件文物的修复工作. 如果让一名文物修复师单独修 复该文物， 需要720 个月完成. 假设每名文物修复师 的工作效率相同， 先由16 名文物修复师一起修复10 个月， 还需要增加多少名文物修复师才能按时完成 修复工作？
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9－1. 某地决定修建一条高速公路，其中一段长为146 m 的 山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工，甲 工程队独立工作2 天后，乙工程队加入，两个工程队 又联合工作了1 天，这3 天共掘进26 m，已知甲工程队 每天比乙工程队多掘进2 m，按此速度完成这项隧道贯 穿工程甲、乙两个工程队还需要联合工作多少天？
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(2)若两车同时开出， 快车在慢车后面同向而行， 多少小
时后两车相距1 400 km (此时快车在慢车的后面)？ 解题秘方：等量关系：慢车行驶的路程＋1 500 km－ 快
车行驶的路程＝1 200 km.根据等量关系列方程求解.
解：设y h后两车相距1 400 km(此时快车在慢车的后面).
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6－1. 小明、小亮分别在400 m 的环形跑道上练习跑步， 他们的速度比是7∶ 3，两人同时由同一点背向出发， 80 s后第一次相遇，小明的速度是每秒__3_._5__m.
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例 7 一列火车匀速行驶经过一座桥， 火车完全通过桥共 用了50 s， 整列火车完全在桥上的时间为30 s， 已知 桥长为1 200 m， 求火车的长度和速度.
涉及两者间的行程，若同时出发，则时间相等， 利用路程之间的关系列方程.
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特别提醒 解决行程问题，关键是明确题目中的数量关系，这是
列方程的依据.一般来说，题目中有两个等量关系，根据其 中一个等量关系设未知数，再用另一个等量关系来列方程.
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例 5 甲站和乙站相距1 700 km，一列慢车从甲站开出， 速度为120 km/h， 一列快车从乙站开出，速度为 150 km/h.
间接设未知数.
由题意, 得4(x＋3)＝5(x－3). 解得x＝27.
所以4(x＋3)＝ 4×(27＋3)＝120 .
所以，两个码头间的距离为120 km.
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8-1. 船在静水中的速度是20 km/h，水流速度是4 km/h，从 一码头逆流而上，再顺流而下，该船最多开出 ___4_8___km就应返回才能在5 h 内回到码头．
部的一盏固定的灯发出的一束光线垂直照射火车的时
间是8 s，则这列火车的长度是( D )
A. 100 m
B. 125 m
C. 140 m
D. 150 m
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例 8 一艘轮船在两个码头间航行，顺流需航行 4 h， 逆流 需航行5 h， 如果水流速度为3 km/h， 求两个码头间 的距离.
解题秘方：由水流速度＝12(顺水速度－ 逆水速度) 或顺水路程＝ 逆水路程列方程求解.
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知识点 5 工程问题
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1. 基本关系式： 工作量＝ 工作效率×工作时间，工作时间＝工工作作效量率， 工作效率＝工工作作时量间.
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2. 找相等关系列方程的方法与行程问题相类似，一般有如 下规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中， 如果一个量已知，那么就设另一个量为未知数，从第三 个量找等量关系列方程 .
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解：(方法一)设两个码头间的距离为s km，则v顺＝4skm/h，
v逆＝5skm/h.
直接设未知数.
由题意，得3＝12(4s－5s)，解得s＝120. 所以，两个码头间的距离为120 km.
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(方法二)设轮船在静水中的速度为x km/h，则v顺＝(x＋3)
km/h，v逆＝(x－3)km/h.
由题意，得(5＋7. 5)y＝400 . 解得y＝32.
所以两人同时同地反向出发，经过32 s他们第一次相遇.
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知识储备 环形运动问题中的相等关系(同时同地出发)：(1)同向
相遇：第一次相遇快者跑的路程－第一次相遇慢者跑的路 程＝跑道一圈的长度；(2)反向相遇：第一次相遇快者跑的 路程＋第一次相遇慢者跑的路程＝跑道一圈的长度.