初中数学培优提高-完全平方数

完全平方数的性质
能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。

例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,
324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

一、平方数有以下性质：
【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；
（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；
100，10000，1000000是完全平方数，
10，1000，100000等则不是完全平方数。

（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。

但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。

如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。

【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2
【性质6】奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

【性质7】平方数的形式一定是下列两种之一：3k,3k+1。

【注意：具备以上条件的不一定是完全平方数（如13，21，24，28等）】
【性质8】不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

【性质9】平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。

除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。

例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。

如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。

下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。

关于完全平方数的数字和有下面的性质：
【性质10】完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。

证明 因为一个整数被9除只能是
+1
9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而
(9k)^2=9(9k^2)+0 (9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1
(9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4 (9k±3)^2=9(9k^2±6k)+9 (9k±4)^2=9(9k^2±8k+1)+7
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
【性质11】a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

【性质12】如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。

证明 由题设可知，a有质因子p，但无因子p^2，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。

【性质13】在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即
【性质14】一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。

【性质15】完全平方数的约数个数是奇数个。

约数的个数为奇数个的自然数是完全平方数。

【性质16】若质数p整除完全平方数a，则p^2|a。

【性质17】任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

二、重要结论（不是完全平方数的特点）
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数
型的整数一定不是完全平方数；
9. 形如9n+2, 9n+3, 9n+5, 9n+6,9n+8
三、个位数与正整数幂
正整数幂的个位与其底数的个位有周期性关系。

【性质1】和的个位数字是诸加项个位数字之和的个位数字.
【性质2】积的个位数字是诸因数个位数字之积的个位数字.
四、例题剖析
【例1】有一个1000位的数,它由888个1和112个0组成,这个数是否可能是一个平方数?
解法一：这个1000位数的各位数字和为：888→24→6，
根据各位数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数判定，此数不是完全平方数。

解法二：设这个1000位数=A，是a的平方的完全平方数，
因为A能被3整除，所以也能被3整除，即A能被9整除，但9不能整除888，
所以A不是完全平方数。

【例2】如果m是整数，那么m的平方+1的个位数可能是（ ）。

解：因为完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，
所以m的平方+1的个位数可能是1，2，5，6，7，0
【例3】有4个不同的数字可共组成18个不同的4位数。

将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是完全平方数，倒数第二个也是完全平方数。

那么这18个数的平均数是多少?
解：（1）由4个不同的数字可以构成：4*3*2*1=24个不同的4位数，只能构成18个4位数说明含有一个数字“0”，即：3*3*2*1=18。

（2）这些4位数中，最小的为a0bc,次大的为cb0a（其中0<a<b<c）。

（3）完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，
令c=9，则b必须为偶数（试取8），a取1（1+0+8+9=18→9，☆完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9），
得：1089=33的平方，9801=99的平方。

（4）平均数的千位数：（1+8+9）*6/18=6
百、十、个位数：(1+8+9+0)*4/18=4
所求：6444
【例4】1987的1987次幂乘以1988的1988次幂乘以1989的1989次幂的个位数是几？
198719881989
198719881989
++的个位数是几？
解：先要确定高次幂的个位数周期
1987的1，2，3，...1987次幂的个位数分别是7，9，3，1，7，9...，周期为7，9，3，1这4个个位数循环，1987÷4...3,所以的个位数为3；
1988的1，2，3，...1988次幂的个位数分别是8，4，2，6，8，4...，周期为8，4，2，6这4个个位数循环，1988÷4...0,所以的个位数为6；
1989的1，2，3，...1989次幂的个位数分别是9，1，9，1，...，周期为9，1这2个个位数循环，1989÷2...1,所以的个位数为9；
所求：个位数是3×6×9的个位数即为2.
总结：（1）和的余数等于余数的和；
（2）差的余数等于余数的差；
（3）积的余数等于余数的积。

【例5】12345678987654321是否是完全平方数.
解：12345678987654321的各位数字和为：36+9+36=81→9
所以是一个完全平方数
往届真题
1 （17届1试）n是自然数,如果n+20和n-21都是完全平方数，则n等于________421
2（17届1试）（1）证明：奇数的平方被8除余1．
（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．
3(18届2试) 23.（本题满分
（本题满分15分）
满足1＋3n≤2007，且使得1＋5n是完全平方数的正整数n共有多少个？
4（21届2试）若m=2
2011 2010
2010
2009´
+
´
，则m是( )B
(A)奇数，且是完全平方数． (B)
偶数，且是完全平方数．
(C)奇数，但不是完全平方数． (D)
偶数，但不是完全平方数．
5. （21届2试）从最小的质数算起，若连续n（n是大于1的自然数）个质数的和是完全平方数，则当n
最小时，
=
-
-|
1|2n
n
89
6（23届第二试23）. 若矩形的长、宽和对角线的长度都是整数，求证：这个矩形的面积是12的倍数。

(本题满分15分)
答案答案
2（1）证明：设奇数为21k +，则22(21)4414(1)1k k k k k +=++=++；
（i ）当k 为奇数时，4(1)k k +能被8整除，故4(1)1k k ++被8除余1；
（ii ）当k 为偶数时，4(1)k k +能被8整除，故4(1)1k k ++被8除余1。

故奇数的平方被8除余1。

（2）证明：2006825086¸=´+，10个奇数的平方和为：81082k m +=+，
故2006不能表示为10个奇数的平方之和。

个奇数的平方之和。

3. ．由条件1＋3n ≤2007得，得，n n ≤668,n 是正整数。

设1＋5n 5n＝＝2m （m 是正整数）
，则215m n -=，这是正整数。

故可设m ＋1＝5k 5k，或，或m-1=5k m-1=5k（（k 是正整数）是正整数）
○1若m+1=5k m+1=5k，，2221
5256685m k k k -=-££，得k ≤11,11,当当k=12时，2
52696k k -=＞668668。

所以，此时有11个满足题意的正整数n 使1＋5n 是完全平方数；是完全平方数；
○2当m －1＝5k 时，221
525m n k k -==+，又252k k -＜252k k +，且当k ＝11时2
52627k k +=＜668668，，此时有11个正整数n 使1＋5n 是完全平方数。

合计22个.
6 [证法1] 设矩形的长、宽和对角线长分别为a ，b ，c 且a ，b ，c 都是整数，根据勾股定理知a 2+b 2=c 2，我们只需证明a ，b ，c 中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。

整除。

(1) 先证“a ，b 中必有一个能被3整除”。

若a ，b 都不是3的倍数，则a 2与b 2必被3除余1，则c 2必被3除余2，但完全平方数被3除只能余0或1，故矛盾。

所以a ，b 中必有3的倍数，即ab 为3的倍数。

的倍数。

(2)再证“a ，b 中必有一个能被4整除”。

将a 2+b 2=c 2中的a ，b ，c 的公约数约去，得x 2+y 2=z 2，其中x ，y ，z 两两互质。

我们只需证明“x ，y 中必有一个能被4整除”即可。

即可。

首先x ，y 不能全是奇数，因为，若x ，y 均为奇数，则x 2与y 2必都被4除余1，于是z 2必被4除余2，但完全平方数被4除只能余0或1，故矛盾。

所以x ，y 不能全是奇数。

因为x ，y 互质，所以，x ，y 也不能
全是偶数，因此x ，y 只能是一奇一偶，不妨设x =2p +1，y =2m (其中p ，
m 均为整数)，此时z 是奇数，设z =2q +1 (q 为整数)，代入y 2=z 2-x 2中，得中，得
4m 2=(2q +1)2-(2p +1)2=4(q 2+q -p 2-p )，即m 2=q (q +1)-p (p +1)，因为q (q +1)与p (p +1)都是两个连续整数的乘积，都是两个连续整数的乘积，所以所以q (q +1)与p (p +1)都能被2整除，于是m 2为偶数，因此m 为
偶数，设m =2n (n 为整数)，则y =2n =2´2m =4m ，于是y 能被4整除。

整除。

综上，a ，b 中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。

又因为(3，4)=1，所以，所以
a ´
b 能被12整除，即这个矩形的面积必为12的倍数。

的倍数。

[证法2] 设a ，b 都不是4的倍数，则a ，b 均为奇数；或a ，b 中的一个为奇数，另一个为被4除余2的数；或a ，b 都是被4除余2的数。

的数。

(1) 若a ，b 均为奇数，则a 2与b 2必被4除余1，则c 2必被4除余2，但完全平方数被4除只能余0或1，矛盾。

矛盾。

(2) 若a ，b 中一个是奇数，另一个是被4除余2的数；不妨设a =2k +1，b =2(2m +1) (其 中k ，
m 均为整数)，则a 2=4k 2+4k +1=4k (k +1)+1。

因为连续整数之积k (k +1)能被2整除，所以a 2被8除余1，而b 2=22(2m +1)2=16m (m +1)+4，于是b 2被32除余4，所以a 2+b 2被8除余5，即c 2
被8除也余5，但完全平方数被8除只能余0或1或4，矛盾。

，矛盾。

(3) 若a ，b 都是被4除余2的数。

设a =2(2k +1)，b =2(2m +1) (其中k ，m 均为整数)， 则由a 2+b 2=c
2知c 2为偶数，于是c 为偶数，设c =2n ，则a 2+b 2=(2n )2=4n 2，即，即
22(2k +1)2+22(2m +1)2=4n 2，约去公因子4，得(2k +1)2+(2m +1)2=4n 2，变成两个奇数平方和的情形，根据(1)得出矛盾。

综上，假设“a ，b 都不是4的倍数”不成立，所以“a ，b 中必有一个能被4整除”成立。

成立。