新高考地区高2024届高二(上)期中模拟试题一(含答案)

新高考地区高2024届高二（上）期中模拟试题一
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设直线l 的斜率为k ，且1k -£<，则直线l 的倾斜角a 的取值范围为（ ）
A ．30,,34p p p éöæöÈ÷ç÷
êB ．30,,64p p p éöéö
÷÷
êêëU C ．3,64p p æö
ç÷
D ．30,,34p p p éöéöÈ÷÷
êêë
2．已知双曲线()2
2210x y a a -=>的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y x =
3．已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（ ）A ．
1
6
B ．
23
C
D
4．与直线y =切于点A ，且经过点B 的圆的方程为（ ）A ．22(3)(24x y ++=B ．22((1)16x y ++=C ．22((1)16x y +-=D ．22((2)4
x y -+-=【答案】D
【分析】设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，根据题意列出方程组，求得2,,a b r ，即可得出答案.【详解】解：设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，
5．在平面直角坐标系xOy 中，直线210
x y -+=被圆222()()x a y a a -+-=截得的弦长为2，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．
3
2
或1-D ．1或13
-
6．如图，下列正方体中，O 为下底面的中心，M ，N 为正方体的顶点，P 为所在棱的中点，则满足直线MN OP ^的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.
【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点(1,1,0)O ，
对于A ，(2,0,2),(0,2,2),(0,2,1)M N P ，(2,2,0),(1,1,1)MN OP =-=-uuuu r uuu r ，40MN OP ×=¹uuuu r uuu r
，MN 与OP 不垂直，A 不是；
对于B ，(0,0,2),(2,0,0),(2,0,1)M N P ，(2,0,2),(1,1,1)MN OP =-=-uuuu r uuu r ，0MN OP ×=uuuu r uuu r
，MN OP ^，B 是；
对于C ，(2,2,2),(0,2,0),(2,0,1)M N P ，(2,0,2),(1,1,1)MN OP =--=-uuuu r uuu r ，40MN OP ×=-¹uuuu r uuu r
，MN 与OP 不垂直，C 不是；
对于D ，(0,0,2),(0,2,0),(2,1,2)M N P ，(0,2,2),(1,0,2)MN OP =-=uuuu r uuu r ，40MN OP ×=-¹uuuu r uuu r
，MN 与OP 不垂直，D 不是.
故选：B
7．设1F ，2F 是双曲线C ：22148
x y
-=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 的右支上，且
11OF OP F P OP
OP OP
×++=uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
12PF F △的面积为（ ）
A B ．C ．8D ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，点1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x y
a b
-=(0a >，0b >)的左，右焦点，过点1
F 且与直线l ：b
y x a
=-垂直的直线交C 的右支于点M ，设直线l 上一点N (N 在第二象限)满足12F N F N ^，
且()
12
0F N F M MN +×=uuuu r uuuur uuuu r ，则双曲线C 的离心率的值为（ ）
A B C 1
D ．2
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点，则（ ）
A ．1A D 与11
B D 是异面直线B ．1A D 与EF 所成角的大小为45o
C ．1A F 与平面1B CB
D ．二面角11C D B B --【答案】AD
【分析】根据异面直线的判定定理可判断A ；建立空间直角坐标系，用向量方法可计算B ，C ，D 是否正确【详解】根据异面直线的判定定理，及正方体的结构特征，易知：A 正确；
以D 为原点，DA uuu r ，DC uuu r ，DD uuu r
，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
10．过抛物线2:2C y px =上一点(1,4)A -作两条相互垂直的直线，与C 的另外两个交点分别为M ，N ，则（ ）
A ．C 的准线方程是4x =-
B ．过
C 的焦点的最短弦长为8
C ．直线MN 过定点(0,4)
D ．当点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程为2380x y +-=
11．已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A B ，两点，过A B ，分别作l 的垂线与x 轴交于
C D ，两点．若AB = ）
A ．直线l 一定过定点(-
B ．m 的值为
C ．直线l
D ．||CD 的值为4
所以四边形ABEC 为矩形，直线l 的倾斜角12．已知F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点，过F 的直线l 与圆222:O x y a +=相切于点M ，l 与C
及其渐近线在第二象限的交点分别为P ，Q ，则（ ）A ．||MF b =B ．直线OM 与C 相交
C ．若1
||||4
MF QF =，则C 的渐近线方程为2y x =±D ．若1||||4
MF PF =
，则C 的离心率为
53
对于A ，22||MF OF OM =-=直线OM 的斜率tan b k MOF a
=Ð=
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．直线l 过点()1,0，且与直线3240x y +-=平行，则直线l 的一般式方程为______．
【答案】3230
x y +-=【分析】先利用平行假设直线l 为()3204x y C C ++=¹-，再将()1,0代入即可得到答案
【详解】解:因为直线l 与直线3240x y +-=平行，所以假设直线l 为()3204x y C C ++=¹-,
因为直线l 过点()1,0，所以30C +=，解得3C =-，
所以直线l 的一般式方程为3230x y +-=，
故答案为:3230
x y +-=14．过点(1,5)P -的圆22(1)(2)4x y -+-=的切线方程为___________.
15．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ^平面ABCD ，若4PA AD ==，2AB =，M 为PD 的中点，则CD 与平面ACM 所成角的正弦值为______．
所以(0,0,0),(2,4,0),(0,A C D
16．已知点F 为抛物线28x y =的焦点，()0,2M -，点N 为抛物线上一动点，当
NF
NM 最小时，点N 恰好在
以,M F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为___________.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知直线:l y x m =+与圆22:2440C x y x y +-+-=相交于A 、B 不同两点．
(1)求m 的取值范围；
(2)设以AB 为直径的圆经过原点，求直线l 的方程．
18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ^平面1,,1,ABC AB AC AB AC AA M ^===为线段11A C 上的一点.
(1)求证：1BM AB ^；
(2)若M 为线段11A C 上的中点，求直线1AB 与平面BCM 所成角大小.
4
19．已知双曲线C 过点6,12P æöç÷èø
，其焦点1F (1)求双曲线C 的标准方程．
(2)是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)2
2
12y x -=；(2)不存在被点(1,1B 【分析】（1）设所求双曲线方程为22
221x y a b
-=（2）假设存在被点()1,1B 平分的弦，记弦所在的直线为l 的方程，再检验即得解.
22
x y
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,DCB AB PB Ð=^o .
(1)证明：PDC △为等腰三角形.
(2)若平面PDC ^平面,2ABCD AB =，求二面角A PB C --的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
21．已知抛物线C ：()2204y px p =<<上一纵坐标为4的点M 到其焦点F 的距离为5，过点()2,0N 的直线
l 与C 相交于A ，B 两点．
(1)求C 的标准方程；
(2)在x 轴上是否存在异于点N 的定点P ，使得点F 到直线PA 与直线PB 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)24y x
=(2)存在，()
2,0-
22．已知直线1l ：1x my =+过椭圆C ：()2222220b x a y a b a b +=>>的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，
点A ，B 在直线2l ：2x a =上的射影分别为点D ，E ．若
22
113e OF OA FA +=，其中O 为原点，2A 为右顶点．e 为离心率．(1)求椭圆C 的方程；
(2)连接AE ，BD ，试探索当m 变化时，直线AE ，BD 是否相交于一定点N ．若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由．
（2）
当0m =时，直线AB ：1x =垂直于直线2l ：4x =，所以直线AE ，当0m ¹时，分别设A ，B 的坐标为。