实验5 频率采样法设计FIR数字滤波器

实验5 频率采样法设计FIR 数字滤波器
1．实验目的
（1）掌握利用直接设计法实现频率采样法设计FIR 滤波器的基本原理。

（2）掌握利用最优设计法实现频率采样法设计FIR 滤波器的基本原理。

（3）掌握利用MA TLAB 语言实现直接设计法和最优设计法的方法。

2．实验原理
（1）FIR 数字滤波器设计的实质
求()j d H e ω的有限项傅里叶级数的系数，然后用有限项傅里叶级数去近似代替无限项傅里叶级数，在最小均方误差准则下最佳逼近()d h n 。

（2）用频率采样法设计滤波器的基本原理
设待设计的滤波器的传输函数用()j d H e ω表示，对它在0ω=到2π之间等间隔采样N 点，得到()d H k ，则
2()()N jw d d w k H k H e π==，0,1,,1k N =-
对N 点()d H k 进行IDFT ，得到()h n ，
210
1()()N N j kn d n h n H k e N π-==∑，0,1,,1n N =- ()h n 就是所设计的滤波器的单位取样响应，其系统函数1
0()()N n n H z h n z --==∑。

（3）直接频率采样设计法的基本原理
当FIR 滤波器满足第一类线性相位条件时，()h n 是实序列，()(-1)h n h N n =-，此时有：
()()()j j d g H e H e ωθωω=，1()2N θωω-=-
（1）式 N=I ()(2)N=II ()(2)
g g H H ωπωωπω=-⎧⎪⎨=--⎪⎩g g 奇数时(型)：H 偶数时(型)：H 在0~2π之间等间隔频率采样N 点，采样时的频率转换关系为：
2k k N πω=
，0,1,2,,1k N =- （2）式 由（1）式可以得到采样点上的样本值为： ()2=()()()j j k d d g k N H e H k H k e ωθπω== （3）式
2121()()2k N
N N k k k N N πωπθωθπ=--=-==-
N=I ()()N=II ()()
g g k H N k k H N k =-⎧⎪⎨=--⎪⎩g g 奇数时(型)：H 偶数时(型)：H ()()偶对称奇对称 设用理想低通作为希望设计的滤波器，截止频率为c ω，采样点数Ｎ，则频率采样点c k 、频率采样值()g H k 、相位采样值()k θ的参数计算方法为：
①c k 的计算方法
由（2）式2k k N πω=可得到2c c k N ωπ=。

c k 取小于等于2c N ωπ
的最大整数。

②()g H k 、()k θ的计算方法
Ｎ＝奇数时：
()()1g g H k H N k =-=， 0,1,2,,c k k =
()0g H k =， 1,2,,1c c c k k k N k =++--
1()N k k N θπ-=-
， 0,1,2,,1k N =- N=偶数时：
()()1g g H k H N k =--=， 0,1,2,,c k k =
()0g H k = 1,2,,1c c c k k k N k =++--
()1g H N k -=-， 0,1,2,,c k k =
1()N k k N
θπ-=-， 0,1,2,,1k N =- 通过上述计算得到c k 、()g H k 、()k θ的具体数据后，由（3）式()()()j k d g H k H k e
θ=可以得到()d H k ，最后利用DFT 逆变换公式求出()h n 。

[]21100
11()IDFT ()()()N N j kn kn N d d d N k k h n H k H k e H k W N N π---==⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ 0,1,2,,1n N =- （4）最优频率采样设计法的基本原理
在窗函数设计法和频率采样法中，都需要通过加大过渡带宽度换取阻带衰减的增加。

频率采样法通过在过渡带内插入一个或几个过渡采样点提高阻带衰减。

过渡带采样点的个数m 与滤波器阻带最小衰减s α的可根据经验数据确定。

（5）频率采样法设计步骤
①根据阻带最小衰减s α选择过渡带采样点的个数m 。

②确定过渡带宽度t B ，估算频域采样点数N 。

③用频率采样法构造()d H k ，并加入过渡带采样。

过渡带采样值可以设置为经验值，或用累试法确定，也可以采用优化算法估计。

④对()d H k 进行N 点IDFT ，得到第一类（或第二类）线性相位FIR 数字滤波器的单位冲激响应：
[]21100
11()IDFT ()()()N N j kn kn N d d d N k k h n H k H k e H k W N N π---==⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ 0,1,2,,1n N =- ⑤检验设计结果。

3．实验内容及步骤
（1）采用直接频率采样设计法设计一个FIR 数字低通滤波器，其技术指标为：
0.2p ωπ=，0.25 dB p α=
0.3s ωπ=，50 dB s α=
当采样点数20N =时，观察设计结果是否满足设计要求。

（2）调整采样点数，设采样点数40N =，在过渡带设置一个采样点T1=0.5，采用最优频率采样设计法设计，观察设计结果有何变换，是否满足设计要求。

（3）采样点数保持不变，修改过渡带采样点的采样值为T1=0.39，采用最优频率采样设计法设计，观察设计结果有何变换，是否满足设计要求。

（4）调整采样点数，设采样点数60N =，在过渡带设置二个采样点T1=0.5925、T2=0.1099，采用最优频率采样设计法设计，观察设计结果有何变换，是否满足设计要求。

4．思考题
（1）简要说明用直接频率采样设计法设计FIR 数字滤波器的基本方法。

（2）简要说明用最优频率采样设计法设计FIR 数字滤波器的基本方法。

（3）简要说明频率采样法设计步骤。

5．实验报告要求
（1）对各实验所得结果进行简单分析和解释。

（2）简要回答思考题。

（3）打印程序清单和要求的各信号波形。