方程与不等式之二元二次方程组单元汇编附解析

方程与不等式之二元二次方程组单元汇编附解析
一、选择题
1．222620x y x xy y -=⎧⎨--=⎩
【答案】42x y =⎧⎨=⎩
或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【解析】
【分析】
先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】
解：原方程组变形为
(
)()2620x y x y x y -=⎧⎨-+=⎩ ∴2620x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或260x y x y -=⎧⎨+=⎩
∴原方程组的解为 42x y =⎧⎨=⎩
或22x y =⎧⎨=-⎩ . 故答案为：42x y =⎧⎨=⎩
或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【点睛】
本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．
2．解方程组：
（1）4{526y x x y =-+= ；（2） 358{32
x y x y +=-= 【答案】（1）22x y =⎧⎨=-⎩
；（2） 【解析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
解：(1) ①代入②得x =2
把x =2代入①得y =-2 ∴
(2) ①-②得y =1
把y =1代入①得x =1
∴
“点睛”本题通过“代入”“加减”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.
3．解方程组：2222295
x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩. 【答案】1121x y =⎧⎨=-⎩，2212x y =⎧⎨=-⎩，33
21x y =-⎧⎨=⎩，4412x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】
试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可．
试题解析：解：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩
①② 由①得：（x ﹣y ）2=9
所以x ﹣y =3③，x ﹣y =﹣3④
③②与④②联立得：22223355x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩
， 解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩
，得：12122112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，； 解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：343
42112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 所以原方程组的解为：31243
12422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，． 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．
4．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩
【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【解析】
分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．
详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩
①② 由②得2
(2)1x y -=，
所以21x y -=③，21x y -=-④
由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=⎧-=⎨⎩
，23
21x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组23
21x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{
11x y == 解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 所以原方程组的解为：11
11x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．
5．计算：
（1
（2）解方程组：3534106x y x y -=-⎧⎨-+=⎩ （3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：623421113
2x x x x -≥-⎧⎪--⎨-<⎪⎩ 【答案】（1）12-；（2）035x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
；（3）21137x -≤≤. 【解析】
【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再在数轴上表示解集.
【详解】解：（1）原式=-3+4-32=12
- （2）3534106x y x y -=-⎧⎨-+=⎩①②
①×2+②，得x=0
把x=0代入①式 y=35 所以，方程组的解是0
35x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
（3）6234211132x x x x -≥-⎧⎪⎨---<⎪⎩
①② 由①式得，x≥-
23 由②式得，x ＜117
所以，不等式组的解集是21137x -
≤≤， 把解集在数轴上表示：
【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关解法.
6．解方程组()()22x y x y 0x y 8⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩
. 【答案】11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】
【分析】
先把方程组转化成两个二元二次方程组，再求出两个方程组的解即可．
【详解】
解：由原方程组变形得：22x y 0x y 8⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②， 22x-y 0x y 8⎧=⎪⎨+=⎪⎩
③④ 由①变形得：y=-x ，
把y=-x 代入②得：22x -x 8+=（），解得12x =2x =-2，，
把12x =2x =-2，代入②解得：12y =-2y =2，，
所以解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩
，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 由③变形得：y=x ，
把y=x 代入②得：22x x 8+=，解得34x =2x =-2，，
把34x =2x =-2，代入②解得：34y =2y =-2，，
所以解为：33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 综上所述解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩
，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键．
7．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?
【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元
【解析】
【分析】
根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．
【详解】
解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.
根据题意 ，可列方程组
()()4001012000
120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩
解得：1212
800800,2020x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩(舍去)， 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
8．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩
【答案】123434120033,,,333322
x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．
【详解】
∵x(x+y)=0，
①当x=0时,(x+2y)2 =9，
解得：y 1=
32 ,y 2 =−32
； ②当x≠0，x+y=0时，
∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33
x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322
x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】
此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.
9．解方程组：222449{0
x xy y x xy ++=+=. 【答案】0{
1.5x y ==，3{3x y =-=，0{ 1.5x y ==-，3{3
x y ==-. 【解析】
【分析】
先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．
【详解】 2224490x xy y x xy ⎧++=⎨+=⎩
①② 由①得：（x+2y ）2＝9，
x +2y ＝±3，
由②得：x （x+y ）＝0，
x ＝0，x +y ＝0，
即原方程组化为：230x y x +=⎧⎨=⎩，230x y x y +=⎧⎨+=⎩，230x y x +=-⎧⎨=⎩，230x y x y +=-⎧⎨+=⎩
，
解得：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩
， 所以原方程组的解为：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩
． 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
10．解方程组：248
x y x xy +=⎧⎨-=⎩.
【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】
【分析】
把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.
【详解】
解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①②
由①得，4y x ＝﹣
③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝
整理，得2240x x ﹣﹣＝
解得：1211x x ＝＝，
把1x ＝③
，得1413y ＝﹣（
把1x ③
，得2413y ＝﹣（
所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】
本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.
11．21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩
【答案】231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 【解析】
【分析】
将x 和z 分别都用y 表示出来，代入第三个方程，解出y ，然后就可以解出x 、z ．
【详解】
解：21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩
①②③ 由①得：12y x y -=
-④ 由②得：382
y z y -=-⑤ 将④⑤代入③得：
1384(38)3(1)82222y y y y y y y y ----=+-----g ， 去分母整理得：2422300y y -+=，
∴2(3)(25)0y y --=，
3y ∴=或52
=， 将3y =分别代入④⑤得：2x =，1z =； 将52
y =分别代入④⑤得：3x =，1z =-； 综上所述，方程组的解为：231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】
本题考查了三元二次方程组的解法，解方程的基本思想是消元，任意选择两个方程将两个未知数用第三个未知数表示，即可代入第三个方程，解出一个未知数之后，剩下两未知数就可直接算出．
12．21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩
【答案】10x y =-⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩
【解析】
【分析】
本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y ，求出未知数x 的值后，进而求得这个方程组的解．
【详解】
解：由①得：1y x =+③
把③代入②，得22(1)20x x x -+-=,
整理得：220x x --=，
解得11x =-，22x =．
当11x =-时，1110y =-+=
当22x =时，2213y =+=
∴原方程组的解为1110x y =-⎧⎨=⎩，22
23x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．
13．(
)()22244922120x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩ 【答案】117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．
【详解】
解：()()22244922120x xy y x y x y ⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩①
②
将①因式分解得：2(2)9x y -=，
∴23x y -=或23x y -=-
将②因式分解得：(24)(23)0x y x y +-++=
∴240x y +-=或230x y ++=
∴原方程化为：23240x y x y -=⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=⎧⎨++=⎩或23240x y x y -=-⎧⎨+-=⎩或23230x y x y -=-⎧⎨++=⎩
解上述方程组得：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为：117214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22032x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，331274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，4430x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．
14．解方程组：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩
． 【答案】7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或12x y =⎧⎨=⎩． 【解析】
【分析】
将方程22
210x y xy +--=变形整理求出1x y -=或1x y -=-，然后分别与25x y +=组成方程组，求出对应的x ，y 的值即可．
【详解】
解：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩
①②， 对②变形得：()21x y -=，
∴1x y -=③或1x y -=-④，
①－③得：34y =，解得：43y =
， 把43
y =代入①得：4253x +⨯=，解得：73x =； ①－④得：36y =，解得：2y =，
把2y =代入①得：225x +⨯=，解得：1x =， 故原方程组的解为：7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y =⎧⎨=⎩．
【点睛】
本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”，掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键．
15．温州三垟湿地的瓯柑名气很大，但今年经济不景气，某经销商为了打开销路，对1220斤瓯柑进行包装优惠出售．包装方式及售价如下图．假设用这两种包装方式恰好装完全部瓯柑．
（1）若销售2箱纸盒装和3筐萝筐装瓯柑的收入共 元(请直接写出答案).
（2）假如预计这批瓯柑全部售完，总销售额为3210元时．请问纸盒装包装了多少箱，箩筐装包装了多少筐？
（3）但由于天气原因，瓯柑腐烂了a 斤（不能出售），在售价不变的情况下，为了保证总．销售额为．．．．3210元，剩余瓯柑必须用以上两种方式重新包装，且恰好装完,那么纸盒装 箱, 箩筐装 箱.(请直接写出答案)
【答案】（1）495；（2）纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐；（3）41，6
【解析】
（1）根据题意可得出方程解出即可；
（2）设纸盒装包装了x 箱，箩筐装包装了y 筐，根据等量关系列出方程组，解出即可； （3）根据（3）问的条件直接写出答案即可.
解：（1）495元
（2）设纸盒装包装了x 箱，箩筐装包装了y 筐，根据题意得：
20501220601253210x y x y +=⎧⎨+=⎩
1618x y =⎧⎨=⎩
解得 答：纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐.
（3）41箱，6箱.
“点睛”本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是仔细审题，理解题目所给条件，转化为方程思想求解.
16．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②
【答案】5{
5x y ==-或21
x y =⎧⎨=⎩. 【解析】
【分析】
将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.
【详解】 2220{25x xy y x y --=+=①②
由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，
∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25
x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21
x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5
{5x y ==-或21
x y =⎧⎨=⎩.
17．解方程组：222220,21,x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩
【答案】1123;13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【解析】
【分析】
先对方程①②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成4个二元一次方程组，解之即可．
【详解】
2222x 2y 0x 2y 1xy xy ⎧--=⎨++=⎩
①②， 由①得 （x+y ）（x-2y ）=0，
∴x+y=0或x-2y=0，
由②得 （x+y ）2=1，
∴x+y=1或x+y=-1，
所以原方程组化为01x y x y +=⎧⎨+=⎩或01x y x y +=⎧⎨+=-⎩或201x y x y -=⎧⎨+=⎩或201x y x y -=⎧⎨+=-⎩
， 所以原方程组的解为121222x x 3311y y 33⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩
． 【点睛】
本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
18．解方程22220x y x xy y -=⎧⎨--=⎩
①② 【答案】114,2x y =⎧⎨
=⎩，22
1,1x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】 先把2220x xy y --=化为(2)()0x y x y -+=，得到20x y -=或0x y +=，再分别联立2x y -=求出x,y 即可．
【详解】
2220x xy y --=可以化为：(2)()0x y x y -+=，
所以：20x y -=或0x y +=
原方程组可以化为：2,20x y x y -=⎧⎨-=⎩（Ⅰ）与2,0x y x y -=⎧⎨+=⎩
（Ⅱ） 解（Ⅰ）得4,2x y =⎧⎨=⎩，解（Ⅱ）得1,1x y =⎧⎨=-⎩
答：原方程组的解为114,2x y =⎧⎨=⎩与22
1,1x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】
此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求解．
19．(
)28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】3022x y =-⎧⎨
=⎩
【解析】
【分析】
运用代入法进行消元降次，即可得解.
【详解】
()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①
②
由①，得8x y +=-③
将③代入②，得6424x +=，解得30x =-④
将④代入①，得22y =
∴方程组的解为3022x y =-⎧⎨
=⎩
. 【点睛】
此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.
20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②
【答案】11613{1
13x y =
=-
,221{1
x y ==. 【解析】
【分析】 先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.
【详解】
解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0
得x+6y=0或x ﹣y=0 将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩
解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
,2211x y =⎧⎨=⎩．
故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。