关于广义正态分布性质的研究

一、引言
正态分布是由德国著名数学家高斯首先得到的，所以也常常称为高斯分布。

正态分布在数学、物理、化学及工程中都具有非常重要的地位，尤其在统计学中有着重大的影响力。

事实上，正态分布是应用最为广泛的一种分布，它存在于人们生产生活的各个方面。

例如，同一机器生产出的大量产品的质量分布；同一年龄段人类的身高、体重分布；某一地区年降水量的分布；科学实验中测量同一物体的误差分布，理想气体的速度分布等等。

现在人们知道，正态分布是由中心极限定理保证的。

实际应用中，还存在一些其他形式的分布，例如t分布、F分布等，其实，这些分布也是由正态分布直接导出的。

正态分布可以用来估计频数分布，制定参考值范围，质量控制等等。

然而，我们知道，作为保证正态分布的中心极限定理，是以大数法则为前提的，具体地说，事件的数目越多，中心极限定理越严格，才能保证趋向于正态分布。

理论上讲，事件的数目为无穷大时，中心极限定理才严格正确，分布才是正态分布。

实际生活中，事件的数目显然不是无穷大，因此正态分布实际上并不能准确无误地表示分布规律。

在本篇文章中提出以广义正态分布代替传统正态分布，可以很有效地解决这一矛盾。

二、广义正态分布及其运算法则
传统正态分布的分布函数可表示为：
p（x）=12√πσe（x-μ）2σ（1）
从上式可以看出，正态分布的核心是自然指数e，是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值约为2.71828……，它是一个超越数。

自然指数在整个数学史上都具有非常重要的地位。

自然指数是由一个重要极限给出的。

即当n趋于无限时lim n→x（1+1/n）n=e。

以自然指数为底数的对数叫做自然对数，一般用ln表示。

自然对数的含义是在单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

所谓广义正态分布，就是在传统的正态分布基础上，增加上一个量q，该量称为非广延参数，已经被广泛应用于物理、化学、生物、工程、经济、计算机科学等各个领域中。

它的正确性已经得到了广泛承认。

接下来，从微分方程出发研究广义正态分布：考虑这样一个简单的一阶线性微分方程：dy/dx=y，它的解是y=e x，反函数是y=ln x。

很容易看出该微分方程导出了自然指数和自然对数。

再考虑非线性微分方程：dy/dx=y q，它的解是y=［1+（1-q）x］1/（1-q）=e x q，反函数是y=
x1-q-11-q=ln q x。

当q无限接近1时，得到了自然指数和自然对数的极限形式，以后简单称之为广义自然指数和广义自然对数。

以广义自然指数为基础，便可以得到广义正态分布函数：
p（x）=12√πσe q（x-μ）2σ=12√πσ［1-（1-q）（x-μ）22σ2］1/（1-q）（2）对于自然对数和自然底数，有如下基本性质：
（a）ex·ey=e x+y；（b）ln x+ln y=ln xy。

这两个基本性质是正态分布得以广泛应用的一个重要理由，因为它们使得正态分布在运算中极为简便，若缺少这两个基本性质，几乎所有涉及正态分布的运算量都将增大很多倍。

然而，广义自然指数与广义自然底数却不具备传统自然对数与传统自然底数的这些优良性质，即e x q·e y q=e q（x+y+（1-q）xy），很显然e x q·e y q不等于e xy q；同理从ln q（xy）=ln q x+ln q y+（1-q）ln q ln q y可以看出当q不
等于1时，ln q x+ln q y不等于ln q（xy），这使得广义正态分布在实际应用中计算繁琐，下面定义一套新的运算法则，可以有效简化广义正态分布的计算量。

如果同时定义广义乘法与广义加法规则如下：
广义乘法：x×y=［x1-q+y1-q-1］1/（1-q）；广义加法：x+y=x+y+（1-q）xy。

则以上性质可以得到保持：
e x q×e y q=［1+（1-q）x］1/（1-q）×［1+（1-q）y］1/（1-q）
=［1+（1-q）xy］1/（1-q）（3）
可以看到在广义乘法规则下e x q×e y q正好等于e x+y q；
ln q x+ln q y=x1-q-11-q+y1-q-11-q
=（xy）1-q-1
1-q（4）
可以看到，在广义加法规则下ln q x+ln q y正好等于ln q xy。

既然定义了广义乘法与广义加法规则，广义除法与广义减法规则也就自然而然地给出，此处不再详述。

接下来，在此基础上建立较为复杂的运算：广义微分和广义积分，从而形成一整套广义运算规则。

首先定义广义微分：
Dqf（x）=lim y→x f（x）-f（y）
（x-y）q=［1+（1-q）x］
df（x）
d x（5）
于是相应的广义积分由下式给出：
q∫f（x）dx=∫f（x）1+（1-q）x dx（6）
以上讨论的广义正态分布下的运算法则都是相对简洁的，事实上实际运算中还会出现很多本文未能包含的情况，但不管多么复杂的运算，总能从本文定义的加减乘除以及微分积分经过适当的组合以及变形给出。

在广义运算规则下，广义正态分布中的运算量大大减少，这很好地减轻了工业生产和科学实验中的计算量，具有非常重要的实际意义。

三、广义正态分布的跨学科应用
为了进一步说明广义正态分布的重要性，
关于广义正态分布性质的研究
殷清涛
（甘肃省敦煌市敦煌中学）
（下转第198页）196--
（上接第196页）以下将举出两个广义正态分布成功应用的例子。

例1.某地抽样调查两百名十九岁的男大学生的身高，发现平均身高为172.5厘米，标准差为3.98厘米。

求这两百名十九岁男大学生中，有多少人身高分布在168.5厘米到176.5厘米之间？若依照传统正态分布理论，可以很容易得出67%的男大学生处在该范围，于是算出应该有134人身高分布在168.5厘米到176.5厘米之间。

然而实际情况却有所偏差。

该地抽样调查结果显示，这两百名十九岁的男大学生身高处在该范围的人数为136人。

应用广义正态分布理论，取q值为0.96，可发现广义正态分布计算所得值为136人，与实际抽样调查结果相同。

事实上，传统正态分布与实际的偏差来源于抽样的局限性。

抽样的样本容量越小，理论与实际的偏差越大，q越偏离1，越应该使用广义正态分布。

传统正态分布严格来讲只适用于抽样容量无限大的情况。

例2.理想气体分子的速度分量分布。

物理学中经常以理想气体为例来验证新理论的正确性。

所谓理想气体，是指气体分子本身体积与容器总体积相比很小，可忽略不计，且气体分子之间的作用力也很小，也可忽略不计的气体。

一般认为，理想气体的速度分量遵循麦克斯韦分布律，麦克斯韦分布律实质上也就是正态分布。

然而，理想气体的速度分量分布，是否真的遵从正态分布，一般多年来都是作为一个既定的事实，从未在实验上直接测量验证过。

近年来，越来越多的科学家认为，正态分布或许只是一种可能的分布，而不是唯一的分布。

另外，理想气体的条件过于苛刻，实际上不存在能够满足理想气体条件的真实气体。

广义正态分布为对应的广义麦克斯韦分布律提供了一种可能，对于不同的气体，取不同的q值，可以更好地描述真实气体系统。

参考文献：
周秋生.广义正态分布及其二次函数的性质［J］.测绘工程，1999（1）.
•编辑薄跃华
不妨碍后续布线为原则，建议每根导线的两端都应套上编码套管，为后续检查线路提供方便。

6.自检。

安装完毕的控制线路板，必须经过认真检查以后，才允许通电试车，以防止错接、漏接造成不能正常运转或短路事故。

（1）按电路图或接线图从电源端开始，逐步核对接线及接线端子处线号是否正确，有无漏接、错接之处。

检查导线接点是否符合要求，压接是否牢固。

接触应良好，以免带负载运行时产生闪弧现象。

（2）用万用表检查电路的通断情况。

检查时，应选用倍率适当的电阻档，并进行校零，以防短路故障的发生。

对控制电路的检查（可断开主电路），可将表棒分别搭在U11、V11线端上，读数应为“∞”。

按下SB时，读数应为接触器线圈的直流电阻值。

然后，断开控制电路再检查主电路有无开路或短路现象，此时可用手动来代替接触器通电进行检查。

7.交验。

为保证线路安装的正确与通电安全，应由小组组长再检查一遍线路是否安装正确。

在任务的实施过程中，教师要做好巡查工作，对学生的参与情况做好记录，在检查的过程中鼓励学生提出问题并引导学生解决问题。

六、检查控制
必须在老师的监督下完成，禁止学生单独通电，防止带电拆、接线，手持工具操作等，避免发生触电事故。

为保证人身安全，在通电试车时，要认真执行安全操作规程的有关规定，一人监护，一人操作。

（1）用仪表再次检查线路的正确性，确保通电安全；
（2）学生按照原理图接好三相电源线，电动机的连接线；
（3）由教师接通三相电源L1、L2、L3，学生合上电源开关QF 后，按下控制按钮，观察接触器工作情况是否正常，是否符合线路功能要求；
（4）通电试车完毕，停转，切断电源。

先拆除三相电源线，再拆除电动机线。

（5）教师现场进行任务评分，填写任务完成情况评分表；
（6）任务完成后，学生整理学习工位、技术文件，填写自动卷帘门电气控制线路装调交付验收单，上交填写完成的工作页。

七、总结评价
通过自评、互评引导学生通过自我反思和相互评价了解自己的优势和不足，学习别人的特长和优点，让学生在互评中相互学习、相互促进、共同提高。

教师根据学生在整个任务实施过程中的参与度、团队协作、提出问题、解决问题等方面对每一位学生进行点评，做得好的提出表扬，做得不够的给予鼓励，以提高学生的学习积极性和自信心。

由于整个任务实施过程都是由学生自己完成，所以给学生打分的时候为了提高学生的学习积极性、主动性和团队协作沟通能力，能更好地在后面的任务中让学生发挥主观能动性，我把对学生的考核设置为：自评和互评各占30%，教师对学生评价占40%，对整个任务综合评价设置为：任务实施过程和任务完成情况各占50%。

整个教学过程按照一体化教学模式开展，上课几乎没有睡觉的学生，学生的参与度有了明显的提高，另外，学生的语言表达能力、动手能力、团队协作能力等水平都弥足见长。

中职教育不同于本科教育，在教学过程中要充分利用中职生好奇、好动、好强的心理，采用多元化的教学手段让学生置身于教师设计的教学环节中，让学生感受到学习既是工作，工作也是在学习，这样既能教会学生如何学习，又能提高学生的动手能力和团队协作能力。

参考文献：
马玉忠.三相异步电动机正反转的控制方法［J］.石家庄理工职业学院学术研究，2015（2）.
•编辑薄跃华
198--。