山东省威海市中考数学一模试卷

中考数学一模试卷
题号一二三四总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.在实数0，-√3，√2，-2中，最小的是（）
A. −2
B. −√3
C. 0
D. √2
2.如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，
A、B两点对应的实数分别是√3和-1，则点C所对
应的实数是（）
A. 1+√3
B. 2+√3
C. 2√3−1
D. 2√3+1
⋅(m2−1)的结果是（）
4.计算1-1+m
1−m
A. 2m2+2m
B. 0
C. −m2−2m
D. m2+2m+2
5.对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4
分4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的平均分数是（）
A. 2.2
B. 2.5
C. 2.95
D. 3.0
6.在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，
点F在BC边上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条
件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（）
A. EF//AB
B. BF=CF
C. ∠A=∠DFE
D. ∠B=∠DEF
7.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人
原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）
A. ①②③
B. 仅有①②
C. 仅有①③
D. 仅有②③
8. 如果关于x 的一元二次方程kx 2-√2k +1x +1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取
值范围是（ ）
A. k <1
2 B. k <1
2且k ≠0 C. −1
2≤k <1
2
D. −1
2≤k <1
2且k ≠0
9. 如图是由一些大小相同的小立方体组成的几何体的主视
图和左视图，则组成这个几何体的小立方体的个数不可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5
D. 6
10. 已知{2x +y =2k +1x+2y=4k
，且-1＜x -y ＜0，则k 的取值范围为（ ）
A. −1<k <−1
2
B. 0<k <1
2
C. 0<k <1
D. 1
2<k <1
11. 如图，O 是正△ABC 内一点，OA =3，OB =4，OC =5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，下列结论：
①点O 与O ′的距离为4；②∠AOB =150°；③S △ABC
−S △AOC =4√3+6．
其中正确的结论是（ ）
A. ①
B. ①②
C. ②③
D. ①②③
12. 如图有一个边长为1的正六边形ABCDEF ，其中C ，D 坐标分别为（1，0）和（2，
0），若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A ，B ，C ，D ，E ，F 中，会过点（2014，2）的是（ ）
A. 点B
B. 点C
C. 点D
D. 点E
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 因式分解：16-8（x -y ）+（x -y ）2= ______ ．
14. 已知关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x -m 2的两实数根为x 1，x 2．设y =x 1+x 2，则
y 最小值为______ ．
15.已知y-x=2，x-3y=-1，则x2-4xy+3y2的值为______ ．
16.如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OA=1，∠AOB=60°，则
图中阴影部分的面积是______ ．
17.如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=50°，则∠AEG= ______ ．
18.如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速
度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD 的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了______秒（结果保留根号）．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19.先化简，再求值：a−b
a ÷(a−2ab−b2
a
)，其中a=√3+1，b=√3−1．
四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
20.某水果店第一次用600元购进水果若干千克，第二次又用600元购进该水果，但这
次每千克的进价比第一次进价的提高了25%，购进数量比第一次少了30千克．
（1）求第一次每千克水果的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的水果按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每千克售价至少是多少元？
21.今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生
对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．
对雾霾了解程度的统计表：
对雾霾的了解程度百分比
A．非常了解5%
B．比较了解m
C．基本了解45%
D．不了解n
请结合统计图表，回答下列问题．
（1）本次参与调查的学生共有______人，m=______，n=______；
（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是______度；
（3）请补全图1示数的条形统计图；
（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解”态度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
22. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，CF ⊥AF ，且CF =CE ．
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）若sin ∠BAC =2
5，求S △CBD
S △ABC
的值．
23. 如图，一艘海上巡逻船在A 地巡航，这时接到B 地海上指挥中心紧急通知：在指挥
中心北偏西60°方向的C 地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C 地位于A 北偏西30°方向上，A 地位于B 地北偏西75°方向上，A 、B 两地之间的距离为12海里．求A 、C 两地之间的距离（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45，结果精确到0.1）
24. 情境观察
将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A ′C ′D ，如图1所示．将
△A ′C ′D 的顶点A ′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A （A ′）、
B 在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC 相等的线段是______，∠CAC ′=______°．
问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME 和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．
25.已知直线y=kx+3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P
由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB 于点C，设运动时间为t秒．
（1）当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．
时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）2+n与直线AB的另一交点为（2）当k=−3
4
D（如图2），
①求CD的长；
②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：∵正数大于0和一切负数，
所以只需比较和-2的大小，
因为|-|＜|-|，
所以最小的数是-2．
故选A．
根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
此题主要考查了实数的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
2.【答案】C
【解析】
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故A选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故B选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故D选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析可以选出答案．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
3.【答案】D
【解析】
解：设点C所对应的实数是x．
则有x-=-（-1），
解得x=2+1．
故选D．
设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．
本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．
4.【答案】D
【解析】
解：原式=1-•（m+1）（m-1）=1+•（m+1）（m-1）=1+（m+1）
2=m2+2m+2，
故选D
原式第二项变形后约分，再利用完全平方公式展开，合并即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】
解：参加体育测试的人数是：12÷30%=40（人），
成绩是3分的人数是：40×42.5%=17（人），
成绩是2分的人数是：40-3-17-12=8（人），
则平均分是：=2.95（分）．
故选C．
根据分数是4分的有12人，占30%，据此即可求得总人数，然后根据百分比的定义求得成绩是3分的人数，进而用总数减去其它各组的人数求得成绩是2分的人数，利用加权平均数公式求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的
统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
6.【答案】C
【解析】
解：A、∵EF∥AB，
∴∠BDF=∠EFD，
∵D E分别是AB AC的中点，
∴DE=BC，DE∥BC（三角形的中位线定理），
∴∠EDF=∠BFD（平行线的性质），
∵DF=DF，
∴△BFD≌△EDF，故本选项正确；
B、∵DE=BC=BF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，∴△BFD≌△EDF，故本选项正确；
C、由∠A=∠DFE证不出△BFD≌△EDF，故本选项错误；
D、∵∠B=∠DEF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，∴△BFD≌△EDF（AAS），故本选项正确．
故选：C．
根据平行线的性质得到∠BDF=∠EFD，根据D E分别是ABAC的中点，推出DE∥BC，DE=BC，得到∠EDF=∠BFD，根据全等三角形的判定即可判断A；由DE=BC=BF，∠EDF=∠BFD，DF=DF即可得到△BFD≌△EDF；由
∠A=∠DFE证不出△BFD≌△EDF；由∠B=∠DEF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，得到△BFD≌△EDF．
本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能求出证全等的3个条件是证此题的关键．
7.【答案】A
【解析】
解：甲的速度为：8÷2=4（米/秒）；
乙的速度为：500÷100=5（米/秒）；
b=5×100-4×（100+2）=92（米）；
5a-4×（a+2）=0，
解得a=8，
c=100+92÷4=123（秒），
∴正确的有①②③．
故选：A．
易得乙出发时，两人相距8m，除以时间2即为甲的速度；由于出现两人距离为0的情况，那么乙的速度较快．乙100s跑完总路程500可得乙的速度，进而求得100s时两人相距的距离可得b的值，同法求得两人距离为0时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，再加上100即为c的值．
考查一次函数的应用；得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点；得到相应行程的关系式是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】
解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1-4k＞0，
∴≤k＜，且k≠0．
故选：D．
根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式
△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次不等式的解法．
9.【答案】D
【解析】
解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有1（只有一边有）或2（左右都有）个，第二行的正方形可能有2（左边有）或3（左右都有）个，
∵1+2=3，1+3=4，2+2=4，2+3=5，
故不可能有6个．
故选：D．
主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及动手操
作能力．
10.【答案】D
【解析】
解：第二个方程减去第一个方程得到x-y=1-2k，
根据-1＜x-y＜0得到：-1＜1-2k＜0
即解得＜k＜1
k的取值范围为＜k＜1．
故选：D．
利用第二个方程减去第一个方程，得到一个不等式，根据-1＜x-y＜0得到一个不等式，组成不等式组解这个不等式即可．
要求k的取值范围可以通过解方程组，得到关于k的不等式组解决．
11.【答案】D
【解析】
解：连结OO′，如图，
（1）∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴BO′=BO=4，∠O′BO=60°，
∴△BOO′为等边三角形，
∴OO′=OB=4，所以①正确；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴∠O′BO-∠ABO=∠ABC-∠ABO，即∠O′BA=∠OBC，
在△O′BA和△OBC中
，
∴△O′BA≌△OBC，
∴O′A=OC=5，
在△AOO′中，∵OA′=5，OO′=4，OA=3，
∴OA2+OO′2=O′A2，
∴∠AOO′=90°，
∵△BOO′为等边三角形，
∴∠BOO′=60°，
∴∠AOB=60°+90°=150°，所以②正确；
（3）∵△O′BA≌△OBC，
∴S△O′BA=S△OBC，
∴S△ABC-S△AOC=S△AOB+S△BOC
=S△AOB+S△BO′A
=S四边形BOAO′
=S△BOO′+S△OO′A
=×42+×4×3
=4+6，所以③正确．
故选：D．
连结OO′，如图，根据旋转的性质得BO′=BO=4，∠O′BO=60°，可判断△BOO′为等边三角形，根据等边三角形的性质得OO′=OB=4；由△ABC为等边三角形得到BA=BC，∠ABC=60°，则∠O′BA=∠OBC，然后根据“SAS”可证明
△O′BA≌△OBC，则O′A=OC=5在△AOO′中，由于OA′=5，OO′=4，OA=3，
则OA2+OO′2=O′A2，于是可根据勾股定理的逆定理可得∠AOO′=90°，加上△BOO′为等边三角形得∠BOO′=60°，所以∠AOB=60°+90°=150°；利用
△O′BA≌△OBC得S△O′BA=S△OBC，则
S△ABC-S△AOC=S△AOB+S△BOC=S△AOB+S△BO′A=S△BOO′+S△OO′A=4+6．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
12.【答案】B
【解析】
解：如图所示：
当滚动到A′D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、
A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A′F′G=30°，
∴A′G=A′F′=，同理可得HD=，
∴A′D=2，
∵D（2，0）
∴A′（2，2），OD=2，
∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，
∴从点（2，2）开始到点（2014，2）正好滚动2012个单位长度，
∵=335…2，
∴恰好滚动335周多2个，
∴会过点（2014，2）的是点C．
故选B．
先连接A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，由正六边形的性质得出A′的坐标，再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论．
考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键．
13.【答案】（4-x+y）2
【解析】
解：16-8（x-y）+（x-y）2，
=[4-（x-y）]2，
=（4-x+y）2．
故答案为：（4-x+y）2．
将（x-y）看作整体，利用完全平方公式分解，即可求得答案．
此题考查了利用完全平方公式法分解因式．注意整体思想的应用是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】
解：方程整理为x2+2（m-1）x+m2=0，
根据题意得△=4（m-1）2-4m2≥0，解得m≤，
y=x1+x2=-2（m-1）
=-2m+2，
∵y 随m 的增大而减小，
∴当m=时，y 最小，y 的最小值=-2×+2=1．
故答案为1．
先把方程化为一般式得到x 2+2（m-1）x+m 2=0，再根据判别式的意义得到m 的取值范围为m≤，然后根据根与系数的关系得到y=x 1+x 2=-2m+2，再根据一次函数的性质得当m=时，y 最小，则把m=代入y=-2m+2中计算即可． 本题考查了一次函数的性质：一次函数y=kx+b （k≠0），当k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下
降．由于y=kx+b 与y 轴交于（0，b ），当b ＞0时，（0，b ）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b ）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．也考查了根的判别式和根与系数的关系．
15.【答案】2
【解析】
解：∵y-x=2，x-3y=-1，
∴x-y=-2，
∴x 2-4xy+3y 2=（x-y ）（x-3y ）=（-2）×
（-1）=2． 故答案为：2．
先根据y-x=2，得出x-y=-2，再把x 2-4xy+3y 2分解为（x-y ）（x-3y ），最后把x-y=-2，x-3y=-1代入即可．
此题考查了因式分解的应用；解题的关键是把x 2-4xy+3y 2分解为（x-y ）（x-3y ），在计算时要注意结果的符号．
16.【答案】√
32-1
6π 【解析】
解：∵AB 是⊙O 的切线，切点为A ，
∴OA ⊥AB ，即∠OAB=90°
． ∵在Rt △AOB 中，OA=1，∠AOB=60°
， ∴AB=OAtan ∠AOB=
． ∴
．
故答案为：．
在RT△OAB中，得出AB的长度，求出△OAB的面积，然后求出扇形OAC的面积，再由阴影部分的面积=三角形OAB的面积-扇形OAC的面积即可得出答案．
此题考查了扇形面积计算及切线的性质，属于基础题，解答本题的关键是判断出△OAB是直角三角形，难度一般．
17.【答案】80°
【解析】
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠1=50°，
∵沿EF折叠D到D′，
∴∠FEG=∠DEF=50°，
∴∠AEG=180°-50°-50°=80°，
故答案为：80°．
根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出∠DEF，根据折叠求出∠FEG，即可求出答案．
本题考查了平行线的性质，折叠性质，矩形的性质的应用，注意：平行线的性质有①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
18.【答案】（4+2√3）
【解析】
解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD
的面积不发生变化，
∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运
动的时间是4-2=2秒，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴AB=2cm，BC=2cm，
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则四边形BCFE是矩形，
∴BE=CF，BC=EF=2cm，
∵∠A=60°，
∴BE=ABsin60°=2×=，
AE=ABcos60°=2×=1，
∴×
AD×BE=3， 即×AD×=3，
解得AD=6cm ， ∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3， 在Rt △CDF 中，CD===2，
所以，动点P 运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2
=4+2， ∵动点P 的运动速度是1cm/s ，
∴点P 从开始移动到停止移动一共用了（4+2）÷1=4+2（秒）．
故答案为：（4+2）． 根据图②判断出AB 、BC 的长度，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，然后求出梯形ABCD 的高BE ，再根据t=2时△PAD 的面积求出AD 的长度，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，然后求出DF 的长度，利用勾股定理列式求出CD 的长度，然后求出AB 、BC 、CD 的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解．
本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB 、BC 的长度是解题的关键，根据梯形的问题中，经常作过梯形的上底边的两个顶点的高线作出辅助线也很关键．
19.【答案】解：原式=
a−b a ÷a 2−2ab+b 2a =a−b
a ⋅a (a−b)2 =1a−b
当a =√3+1，b =√3−1时， 原式=(√3+1)−(√3−1)=1
2．
【解析】
先将括号内部分通分，再将分式除法转化为乘法进行计算．
本题考查了分式的化简求值和二次根式的化简求值，熟悉因式分解是解题的关键．
20.【答案】解：（1）设第一次每千克水果是进价为x 元，
根据题意列方程得，600
x -600
(1+25%)x =30， 解得x =4，
经检验：x =4是原分式方程的解．
答：第一次每千克水果的进价为4元．
（2）设售价为y 元，第一次每千克水果的进价为4元，则第二次每千克水果的进价为4×（1+25%）=5（元）
根据题意列不等式为：
600
4×（y -4）+600
1+25%×（y -5）≥420， 解得y ≥6．
答：每千克水果售价至少是6元．
【解析】
（1）设第一次每千克水果的进价为x 元，则第二次每千克水果的进价为（1+25%）x 元，根据题意可列出分式方程解答；
（2）设售价为y 元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．最后不要忘记检验．
21.【答案】400；15%；35%；126
【解析】
解：（1）利用条形图和扇形图可得出：本次参与调查的学生共有：180÷
45%=400； m=
×100%=15%，n=1-5%-15%-45%=35%；
（2）图2所示的扇形统计图中D 部分扇形所对应的圆心角是：360°×35%=126°；
（3）∵D 等级的人数为：400×
35%=140； 如图所示：
；
（4）列树状图得：
所以从树状图可以看出所有可能的结果有12种，数字之和为奇数的有8种，则小明参加的概率为：P==，
小刚参加的概率为：P==，
故游戏规则不公平．
故答案为：400，15%，35%；126．
（1）根据“基本了解”的人数以及所占比例，可求得总人数；在根据频数、百分比之间的关系，可得m，n的值；
（2）根据在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360°的比可得出统计图中D部分扇形所对应的圆心角；
（3）根据D等级的人数为：400×35%=140；可得（3）的答案；
（4）用树状图列举出所有可能，进而得出答案．
此题主要考查了游戏公平性，涉及扇形统计图的意义与特点，即可以比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关
系．
22.【答案】（1）证明：连接OC．
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAF．
∴OC∥AF．
∴CF⊥OC．
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，
∴△ABC∽△CBE．
∴S△CBE S△ABC =(BC
AB
)2=（sin∠BAC）2=(2
5
)2=4
25
．
∴S△CBD S△ABC =8
25
．
【解析】
（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线；
（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S△CBD=2S△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，
继而可求得的值．
此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定
理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应
用．
23.【答案】解：过点B作BD⊥CA交CA延长线于
点D，
由题意得，∠ACB=60°-30°=30°，
∠ABC=75°-60°=15°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
在Rt△ABD中，AB=12，∠DAB=45°，
∴BD=AD=AB cos45°=6√2，
在Rt△CBD中，CD=BD
tan30∘
=6√6，
∴AC=6√6-6√2≈6.2（海里）．
答：A、C两地之间的距离约为6.2海里．
【解析】
过点B作BD⊥CA交CA延长线于点D，根据题意可得∠ACB和∠ABC的度数，然后根据三角形外角定理求出∠DAB的度数，已知AB=12海里，可求出BD、AD的长度，在Rt△CBD中，解直角三角形求出CD的长度，继而可求出A、C 之间的距离．
本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用
三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．
24.【答案】AD；90
【解析】
解：①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，
∴∠CAC′=180°-∠C′AD-∠CAB=90°；
故答案为：AD，90．
②FQ=EP，
理由如下：
∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，
∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，
又∵AF=AC，
∴△AFQ≌△CAG，
∴FQ=AG，
同理EP=AG，
∴FQ=EP．
③HE=HF．
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别
为P、Q．
∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
又AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA．
同理△ACG∽△FAQ，
∴AG：FQ=AC：FA．
∵AB=k•AE，AC=k•AF，
∴AB：EA=AC：FA=k，
∴AG：EP=AG：FQ．
∴EP=FQ．
又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）．
∴HE=HF．
①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D，即可解题；
②易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；
③过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质即可解题．
本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查
了三角形内角和为180°的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△AFQ≌△CAG是解题的关键．
25.【答案】解：（1）①C（1，2），Q（2，0）
②由题意得：P（t，0），C（t，-t+3），Q（3-t，0）．
分两种情况讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，
∴CQ⊥OA，
∵CP⊥OA，
∴点P与点Q重合，OQ=OP，
即3-t=t，
∴t=1.5；
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，
∵OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴△ACQ也是等腰直角三角形．
∵CP⊥OA，
∴AQ=2CP，
即t=2（-t+3），
∴t=2．
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒；
（2）①由题意得：C（t，-3
4
t+3），
∴以C为顶点的抛物线解析式是y=(x−t)2−3
4
t+3，
由(x−t)2−3
4t+3=−3
4
x+3，
即（x-t）2+3
4
（x-t）=0，
∴（x -t ）（x -t +34）=0， 解得x 1=t ，x 2=t −34．
过点D 作DE ⊥CP 于点E ，则∠DEC =∠AOB =90°，
∵DE ∥OA ，
∴∠EDC =∠OAB ，
∴△DEC ∽△AOB ，
∴DE AO =CD BA ，
∵AO =4，AB =5，DE =t −(t −34)=34，
∴CD =DE×BA
AO
=34×54=1516， ②∵CD =1516，CD 边上的高=
3×4
5=125， ∴S △COD =12×1516×12
5=9
8， ∴S △COD 为定值．
要使OC 边上的高h 的值最大，只要OC 最短，因为当OC ⊥AB 时OC 最短，此时OC 的长为125，∠BCO =90°，
∵∠AOB =90°，
∴∠COP =90°
-∠BOC =∠OBA ， 又∵CP ⊥OA ，
∴Rt △PCO ∽Rt △OAB ，
∴OP BO =OC BA ，
OP =OC×BO BA =125×35=36
25， 即t =3625，
∴当t 为3625秒时，h 的值最大．
【解析】
（1）①由题意可得；
②由题意得到关于t 的坐标．按照两种情形解答，从而得到答案．
（2）①以点C 为顶点的抛物线，解得关于t 的根，又由过点D 作DE ⊥CP 于点E ，则∠DEC=∠AOB=90°，又由△DEC ∽△AOB 从而解得．
②先求得三角形COD 的面积为定值，又由Rt △PCO ∽Rt △OAB ，在线段比例中t 为时，h 最大．
本题考查了二次函数的综合题，（1）①由题意知P （t ，0），C （t ，-t+3），Q （3-t ，0）
代入，分两种情况解答．（2）①以点C为顶点的函数式，设法代入关于t的方程，又由△DEC∽△AOB从而解得．②通过求解可知三角形COD的面积为定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在线段比例中t为时，h最大．从而解答．。