湖南省长沙市2016届九年级中考模拟考试数学试题解析(解析版)

湖南省长沙市2016届九年级中考模拟考试（三）
数学试题
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）.
1．﹣4的相反数（ ）.
A ．4
B ．﹣4
C ．14
D ．14
- 【答案】A.
【解析】
试题分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．所以﹣4的相反数4．
故选：A ．
考点：相反数．
2．下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为（ ）.
【答案】C.
【解析】
试题分析：根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合所给图形进行判断即可．A 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误. 故选：C ．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
3．下列运算正确的是（ ）.
A ．235x x x +=
B ．824x x x ÷=
C ．3x ﹣2x=1
D ．()326x x =
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据同底数幂的乘法与除法，幂的乘方的运算法则计算即可．A 、2x 与3x 不是同类项，不能合并，故选项错误；B 、应为826x x x ÷=，故选项错误；C 、应为3x ﹣2x=x ，故选项错误；D 、()32
6x x =，
正确．
故选：D ．
考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
4．如图所示是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）.
【答案】A.
【解析】
试题分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．从上面看易得：第一层最左边有1个正方形，第二层有3个正方形．
故选：A ．
考点：简单组合体的三视图．
5．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）.
A ．x （a ﹣b ）=ax ﹣bx
B ．()()222
111x y x x y -+=-++ C ．2y ﹣1=（y+1）（y ﹣1）
D ．ax+by+c=x （a+b ）+c
【答案】C.
【解析】 试题分析：根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．A 、是整式的乘法，故A 错误；
B 、没把一个多项式转化成几个整式积，故B 错误；
C 、把一个多项式转化成几个整式积，故C 正确；
D 、没把一个多项式转化成几个整式积，故D 错误.
故选：C ．
考点：因式分解的意义．
6．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.3环，方差分别为2S 甲=0.56，2S 乙=0.60，2S 丙=0.50，2S 丁=0.45，则成绩最稳定的是（ ）.
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D.
考点：方差；算术平均数．
7．反比例函数y=5x
-的图象在（ ）. A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据反比例函数的图象与系数的关系即可得出结论．∵反比例函数y=5x
-
中，k=﹣5＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限．
故选：D ．
考点：反比例函数的性质．
8．一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）.
A ．2
B ．4
C ． 6
D ．8 【答案】D.
【解析】
试题分析：先求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积公式即可得出结论．∵令x=0，则y=4；令y=0，则x=4，∴直线与两坐标轴的交点分别为：（0，4），（4，0），∴一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴所围成
的三角形的面积=
12
×4×4=8． 故选：D ． 考点：一次函数图象上点的坐标特征．
9．在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的扇形的面积为（ ）.
A ．6π
B ．4π
C ．2π
D ．π
【答案】A.
【解析】
试题分析：根据扇形的面积公式S=2360n R π进行解答即可．依题意到所求扇形的面积=2
606360
π⨯=6π． 故选：A ．
考点：扇形面积的计算．
10．如图，以两条直线1l ，2l 的交点坐标为解的方程组是（ ）.
A ．121x y x y -=⎧⎨-=⎩
B ．121x y x y -=-⎧⎨-=-⎩
C ．121x y x y -=-⎧⎨-=⎩
D ．121
x y x y -=⎧⎨-=-⎩
【答案】C.
【解析】
试题分析：两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．直线1l 经过（2，3）、（0，﹣1），易知其函数解析式为y=2x ﹣1；直线2l 经过（2，3）、（0，1），易知其函数解
析式为y=x+1；因此以两条直线1l ，2l 的交点坐标为解的方程组是：121x y x y -=-⎧⎨-=⎩
． 故选：C ．
考点：一次函数与二元一次方程（组）．
11．如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（）.（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）
A．164m B．178m C．200m D．1618m
【答案】C.
【解析】
试题分析：首先在Rt△ABC中，根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在Rt△DBA中，用BA表示出BD，
根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．∵在Rt△ABC中，AB
BC
=tanα=1，∴BC=AB，∵在RtADB中，
∴AB
BD
=tan26.6°=0.50，即：BD=2AB，∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣AB=200，解得：AB=200米.
故选：C．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
12．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则tan∠AHE的值为（）.
A．1
5
B．
3
10
C．
1
6
D．
2
7
【答案】A.
【解析】
试题分析：先求出△AEH与△BFE相似，再根据其相似比EF：FG=3：1设出AE、BF的长及AB、BC的长，求
出AE
AH
的值即可．∵四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，∴∠HEA+∠FEB=90°，
∵∠FEB+∠EFB=90°，∴∠HEA=∠EFB，∵∠HAE=∠B，∴Rt△HAE∽△EBF，∴
1
3
HA AE HE
EB FB EF
===，同理
可得，∠GHD=∠EFB，HG=EF，∴△GDH≌△EBF，DH=BF，DG=EB，设AB=2x，BC=x，AE=a，BF=3a，则AH=x﹣
3a，AE=a，∴tan∠AHE=tan∠BEF，即
3
32
a a
x a x a
=
--
，解得：x=8a，∴tan∠AHE=
3
a
x a
-
=
83
a
a a
-
=
1
5
．
故选：A.
考点：勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定；相似三角形的判定与性质．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）.
13．一次函数y=3x+6中，y的值随x的增大而．
【答案】增大.
【解析】
试题分析：根据一次函数的性质可知“当k＞0时，变量y的值随x的值增大而增大”，由此可得出结论．考点：一次函数的性质．∵一次函数y=3x+6中，k＞0，∴变量y的值随x的值增大而增大.
故答案为：增大.
14．不等式组
()
421
23
x
x x
⎧≥-
⎨
-≥-
⎩
的解集是．
【答案】﹣1≤x≤1.
【解析】
试题分析：先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．由（1）解得x≥﹣1．由（2）解得x≤1．故原不等式组的解集为：﹣1≤x≤1．
故答案为：﹣1≤x≤1.
考点：解一元一次不等式组．
15．若∠A=45°30′，那么∠A的余角是．
【答案】44°30′.
【解析】
试题分析：根据互为余角的两个角的和等于90°列式进行计算即可得解．则∠A的余角是90°﹣
45°30′=44°30′．
故答案为：44°30′．
考点：余角和补角；度分秒的换算．
16．已知一组数据3，4，4，2，5，这组数据的中位数为．
【答案】4.
【解析】
试题分析：要求中位数，是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可．从小到大排列此数据为：2、3、4、4、5，第3位是4，则这组数据的中位数是4．
故答案为：4．
考点：中位数．
17．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，点P是AB上任意一点（不与A、B重合，点C在AP的延长线上），则∠BPC= .
【答案】50°.
【解析】
试题分析：在优弧AB上取点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出∠ADB=1
2
∠AOB=50°，根据圆内接四
边形的性质可得∠BPC=∠ADB=50°.
故答案为：50°．
考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理．
18．在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，
这称为一次变换，已知点A的坐标为（﹣1，0），则点A经过连续2016次这样的变换得到的点
2016
A的坐标是．
【答案】（﹣1，0）.
【解析】
试题分析：分别求得第一、二、三…八次变换后的坐标，得到每8次循环一次．则2016÷8=252即可求得
），第二次旋转后的坐标为（0，﹣1），第三次旋转后的
坐标为（），第四次旋转后的坐标为（1，0），第五次旋转后的坐标为（，，第六
次旋转后的坐标为（0，1），），第八次旋转后的坐标为（﹣1，0），因为2016÷8=252，所以把点A 经过连续2016次这样的变换得到的点A2016的坐标是（﹣1，0）． 故答案是：（﹣1，0）．
考点：关于原点对称的点的坐标．
三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题6分，第23、24小题每小题6分，第25、26小题每小题6分，共66分）.
19．计算：)20
1122-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭
. 【答案】1.
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
20．先化简再求值：2125422
x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪-++⎝⎭，其中2+．
【答案】原式化简得12x -
-，代入数值得． 【解析】 试题分析：先把括号里式子通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简，最后代值计算．
试题解析：原式=(
)()()()()221222225x x x x x x x x ⎡⎤-++-⨯⎢⎥+-+--⎣⎦ =()()52225
x x x x x -+⨯+-- =12x -
-，
当2+时，原式=
． 考点：分式的化简求值；分母有理化．
21．今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求全班学生人数和m的值．
（2）直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
【答案】(1)50；18；(2) 51﹣56分数段；(3) 2
3
．
【解析】
试题分析：（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；
（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．
试题解析：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人）；
m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18（人）；
（2）∵全班学生人数：50人，
∴第25和第26个数据的平均数是中位数，
∴中位数落在51﹣56分数段；
（3）如图所示，将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1
P（一男一女）=
6=
3
．
考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．
22．如图，点E、F分别是等边△ABC中AC、AB边上的中点，以AE为边向外作等边△ADE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）连接DC，若BC=10，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)证明详见解析；．
【解析】
试题分析：（1）由等边三角形的性质得出AF=EF=AE=DE=AD，由四边相等的四边形是菱形，即可得出结论；（2）作AM⊥BC于M，由等边三角形的性质和三角函数求出AM，在求出AD的长，证出四边形ABCD是梯形，由梯形的面积公式即可得出结果．
试题解析：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形，
∴AF=EF=AE=DE=AD，∠ACB=∠DAE=60°，
∴四边形AFED是菱形；
（2）解：作AM⊥BC于M，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=10，∠B=60°，
=，
∵E是AC的中点，
∴AE=AD=12
AC=5， ∵∠ACB=∠DAE=60°，
∴AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 是梯形，
∴四边形ABCD 的面积=12（AD+BC ）×AM=12（5+10）×．
考点：菱形的判定与性质；等边三角形的性质．
23．为了促进营业额不断增长，某大型超市决定购进甲、乙两种商品，已知甲种商品每件进价为150元，售价为168元；乙种商品每件进价为120元，售价为140元，该超市用42000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利5600元．
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）超市第二次以原价购进甲、乙两种商品共400件，且购进甲种商品的件数多于乙种商品的件数，要使第二次经营活动的获利不少于7580元，共有几种进货方案？写出利润最大的进货方案．
【答案】(1) 购进甲、乙两种商品分别为200件和100件；(2) 共有10种进货方案，当购进甲201件，乙种商品购进199件时，最大利润为7598元．
【解析】
试题分析：（1）设购进甲种商品x 件，购进乙种商品y 件，利用总成本和总利润列二元一次方程组，然后解方程组即可；
（2）设超市第二次以原价购进甲a 件，则乙种商品购进（400﹣a ）件，利用“购进甲种商品的件数多于乙种商品的件数，要使第二次经营活动的获利不少于7580元”列不等式组，然后求出不等式组的整数解即可得到进货方案，再利用每件乙商品的利润比每件甲商品的利润大可确定利润最大的进货方案．
试题解析：（1）设购进甲种商品x 件，购进乙种商品y 件，
根据题意得()()150120420001681501401205600x y x y +=⎧⎨-+-=⎩
，解得200100x y =⎧⎨=⎩，
答：该超市购进甲、乙两种商品分别为200件和100件；
（2）设超市第二次以原价购进甲a 件，则乙种商品购进（400﹣a ）件，
根据题意得()40018204007580a a a a -⎧⎨+-≥⎩
，解得200＜a ≤210， 因为a 为整数，
所以a=201、202、203、204、205、206、207、208、209、210，
所以共有10种进货方案，
因为每件乙商品的利润比每件甲商品的利润大，
所以当购进甲201件，乙种商品购进199件时，利润最大，最大利润为201×18+199×20=7598（元）． 考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
24．如图，已知AB 为⊙O 的直径，F 为⊙O 上一点，AC 平分∠BAF 且交⊙O 于点C ，过点C 作CD ⊥AF 于点D ，延长AB 、DC 交于点E ，连接BC 、CF ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若AD=6，DE=8，求BE 的长；
（3）求证：AF+2DF=AB ．
【答案】(1)证明详见解析；(2)
52；(3)证明详见解析. 【解析】
试题分析：（1）连接OC ，由AB 为⊙O 的直径，得到∠ACB=90°，求得∠ACB=∠D ，根据角平分线的性质得到∠BAC=∠CAD ，通过相似三角形得到∠ABC=∠ACD ，等量代换得到∠OCB=∠ACD ，求出∠OCD=90°，即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到OE OC AE AD =，代入数据得到r=154
，于是得到结论； （3）过C 作 CG ⊥AE 于G ，根据全等三角形的性质得到AG=AD ，CG=CD ，推出Rt △BCG ≌Rt △FCD ，由全等三角形的性质得到BG=FD ，等量代换即可得到结论．
试题解析：（1）连接OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AF，
∴∠D=90°，
∴∠ACB=∠D，
∵AC平分∠BAF，
∴∠BAC=∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴∠ABC=∠ACD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠ACD，
∵∠OCB+∠ACO=∠ACO+∠ACD=90°，∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵AD=6，DE=8，
∴=10，
∵OC∥AD，
∴∠OCE=∠ADE，
∴△OCE∽△ADE，
∴OE OC
AE AD
=，即
10
106
r r
-
=，
∴r=15
4
，
∴BE=10﹣15
2
=
5
2
；
（3）过C作 CG⊥AE于G，
在△ACG与△ACD中，
∠GAC=∠DAC，∠CGA=∠CDA，AC=AC，∴△ACG≌△ACD，
∴AG=AD ，CG=CD ，
∵BC=CF ，
在Rt △BCG 与Rt △FCD 中，
CG=CD ，BC=CF ，
∴Rt △BCG ≌Rt △FCD ，
∴BG=FD ，
∴AF+2DF=AD+DF=AG+GB=AB ，
即AF+2DF=AB ．
考点：切线的判定．
25．（10分）（2016•长沙模拟）已知二次函数y=211524
kx x ++（k 是常数）． （1）若该函数的图象与x 轴有两个不同的交点，试求k 的取值范围；
（2）若点（1，k ）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y=211524kx x +
+都是y 随x 的增大而增大，求k 应满足的条件及x 的取值范围；
（3）若抛物线y=211524
kx x ++与x 轴交于A （A x ，0）、B （B x ，0）两点，且A x ＜B x ，22A B x x +=34，若与y 轴不平行的直线y=ax+b 经过点P （1，3），且与抛物线交于1Q （1x ，1y ）、2Q （2x ，2y ）两点，试探究1212
Q P Q P Q Q 是否为定值，并写出探究过程． 【答案】(1) k ＜
160，且k ≠0；(2) k ＜0；x ＜14k -；(3)1，理由详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据题意k ≠0，△＞0，列出不等式组即可解决问题．
（2）设反比例函数解析式为y=
m x
，因为经过点（1，k ），所以m=k ，再根据条件即可确定k 的值以及x 的范围．
（3）结论：1212
Q P Q P Q Q =1．令y=0，则有211524kx x ++=0，所以A x +B x =12k -，A B x x =154k ，根据22A B x x +=34，列出方程求出k 的值，设过点P 的直线为y=kx+3﹣k ，由231115424
y kx k y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩消去y 得2x +（4k ﹣2）x ﹣3﹣4k=0，得12x x +=﹣（4k ﹣2），12x x =﹣3﹣4k ，根据
1212Q P Q P Q Q ()2221x - 试题解析：（1）∵二次函数y=211524
kx x ++与x 轴有两个不同的交点， ∴01154044
k k ≠⎧⎪⎨-⎪⎩， 解得k ＜160
，且k ≠0． 所以若该函数的图象与x 轴有两个不同的交点，k 的取值范围是k ＜
160，且k ≠0； （2）设反比例函数解析式为y=
m x ， ∵经过点（1，k ），
∴m=k ，
∵反比例函数和二次函数y=211524
kx x ++都是y 随x 的增大而增大， ∴k ＜0，x ＜1
22k -，即x ＜14k
-． （3）结论：1212
Q P Q P Q Q =1． 理由：令y=0，则有211524
kx x ++=0， ∴A x +B x =12k -，A B x x =154k ∵22
A B x x +=34，
∴()22A B A B x x x x +-=34，
∴2
1153422k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=0， 解得k=14-或134
， 由（1）可知k ＜160
， ∴k=14
-， ∴抛物线解析式为y=21115424x x -++， 设过点P 的直线为y=kx+b ，把P （1，3）代入得3=k+b ，
∴b=3﹣k ，
∴过点P 的直线为y=kx+3﹣k ，
∵过点P 的直线为y=kx+3﹣k 与物线交于1Q （1x ，1y ）、2Q （2x ，2y ）两点，
∴1y =k 1x +3﹣k ，2y =k 2x +3﹣k ， 由231115424
y kx k y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩消去y 得2x +（4k ﹣2）x ﹣3﹣4k=0， ∴12x x +=﹣（4k ﹣2），12x x =﹣3﹣4k ， ∴1212Q P Q P Q Q ()2221x -)(2234161k k --++考点：二次函数综合题．
26．（10分）（2016•长沙模拟）已知直线y=34
-x+3与两坐标轴分别相交于A 、B 两点，若点P 、Q 分别是线段AB 、OB 上的动点，且点P 不与A 、B 重合，点Q 不与O 、B 重合．
（1）若OP ⊥AB 于点P ，△OPQ 为等腰三角形，这时满足条件的点Q 有几个？请直接写出相应的OQ 的长；
（2）当点P 是AB 的中点时，若△OPQ 与△ABO 相似，这时满足条件的点Q 有几个？请分别求出相应的OQ 的长；
（3）试探究是否存在以点P 为直角顶点的Rt △OPQ ？若存在，求出相应的OQ 的范围，并求出OQ 取最小值时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 点Q 有三个，OQ 的长为2或
125或7225 ；(2) 2个，OQ 的长为2或258；(3)存在，OQ 取最小值时点P 的坐标（
125，65
）． 【解析】
试题分析：（1）如图1中，满足条件的点Q 有三个，分三种情形讨论即可①QO=QP ，②OP=OQ ，③PO=PQ ．
（2）如图2中，满足条件的点Q 有2个．作1PQ ⊥OB 于1Q ，2Q P ⊥OP 于2Q ，可以证明1Q 、2Q 满足条件，理由相似三角形的性质即可解决问题．
（3）存在．以OQ 为直径作⊙G ，当⊙G 与AB 相切于点P 时，∠OPQ=90°，此时OQ 的值最小．由此求出OQ ，即可解决问题．
试题解析：（1）如图1中，满足条件的点Q 有三个．
理由：作PM ⊥OB 于M ，作OP 的垂直平分线交OP 于F ，交OB 于1Q ．则1PQ =1Q O ，△1OPQ 是等腰三角形，此时1Q O =12
OB=2． ∵A （0，3），B （4，0），
∴OA=3，OB=4，AB=5，
∵OP ⊥AB ，
∴
12•OA•OB=12
•AB•OP， ∴OP=345⨯=125， 当2OQ =OP 时，△2OPQ 是等腰三角形，此时2OQ =
125
， 当PO=3PQ 时，∵PM ⊥3OQ ，
∴3OQ =2OM ，
∵∠POM=∠3POQ ，∠PMO=∠OPB ，
∴△OPM ∽△OBP ，
∴2OP =OM •OB， ∴OM=23625
OP OB =， ∴3OQ =7225
. 综上所述，△OPQ 为等腰三角形时，满足条件的点Q 有三个，OQ 的长为2或
125或7225． （2）如图2中，满足条件的点Q 有2个．
理由：作1PQ ⊥OB 于1Q ，2Q P ⊥OP 于2Q ，
∵PA=PB ，∠AOB=90°，
∴PA=PB=PO ，
∴∠1POQ =∠ABO ，∵∠1PQ O =∠AOB ，
∴△1POQ ∽△BAO ，
∵PA=PB ，1PQ ∥OA ，
∴1OQ =1BQ =12
OB=2， ∵∠2POQ =∠ABO ，∠2OPQ =∠AOB ，
∴△2OPQ ∽△BOA ， ∴
2OQ OP AB OB
=， ∴25
OQ 254
=， ∴2OQ =258， 综上所述，△OPQ 与△ABO 相似时，满足条件的点Q 有2个，OQ 的长为2或
258
． （3）存在．理由如下：
如图3中，以OQ 为直径作⊙G ，当⊙G 与AB 相切于点P 时，∠OPQ=90°，此时OQ 的值最小．
∴设OG=GP=r ，
∵AO=AP=3，
∴PB=AB=AP=2，
在Rt △PBG 中，∵∠GPB=90°，PG=r ，BG=4﹣r ，PB=2，
∴()2
2224r r +=-， ∴r=32
， ∴OQ=2r=3，
∴当3≤OQ ＜4时，△OPQ 可为直角三角形．
作PM⊥OB于M．∵PM∥OA，
∴PM PB BM OA AB BO
==，
∴
2
354 PM BM
==，
∴PM=6
5
，BM=
8
5
，
∴OM=4﹣8
5
=
12
5
，
∴OQ取最小值时点P的坐标（12
5
，
6
5
）．
考点：一次函数综合题．。