湖南高考理科数学试卷和答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数2
2i 1+i ⎛⎫
⎪⎝⎭
等于（ ）
A ．4i
B ．4i -
C ．2i
D ．2i -
2．不等式
2
01
x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，，
B ．[12]-，
C ．(1)
[2)-∞-+∞，， D ．(12]-，
3．设M N ，是两个集合，则“M N =∅”是“M N ≠∅”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ）
A ．⊥a b
B ．∥a b
C ．||||=a b
D ．||||≠a b
5．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=（ ）
A ．0.025
B ．0.050
C ．0.950
D ．0.975
6．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩
， ≤，
，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7．下列四个命题中，不正确．．．
的是（ ） A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则00
lim ()lim ()x x x x f x f x +
-=→→
B ．函数
2
2
()4
x f x x +=
-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞
-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
=→→
D
．1
11
lim
12
x x =-→ 8．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） A
．
2
B ．1
C
．12
+
D
9．设12F F ，分别是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1
PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．02⎛
⎝⎦
，
B
．0⎛
⎝⎦
C
．12⎫
⎪⎪
⎣⎭
D
．1⎫
⎪⎪
⎣⎭
10．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的
{}
i i i S a b =，，
{}
j j j S a b =，（
i j
≠，
{123}
i j k ∈、，，，，），都有
min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩
⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ． 12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b
，c =π
3
C =
，则B = ．
13．函数3
()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ．
14．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅，
（1）b 的取值范围是 ； （2）若()x y A
B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ．
15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 图1
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2
π()cos 12f x x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭，1
()1sin 22
g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．
（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II ）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望． 18．（本小题满分12分） 如图2，
E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，
GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD <．连结2BG ，如图3．
图2
图3
（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ； （II ）当12AB =，25BC
=，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角．
19．（本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与
山脚所在水平面α所成的二面角为θ（0
90θ<<），且2
sin 5
θ=
，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路
改建费用为2
a 万元/km ．当山坡上公路长度为l km （12l ≤≤）时，其造价为2
(1)l a +万元．已知
OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =
，OA =．
（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；
（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小． （III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线22
2x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点． （I ）若动点M 满足1
111FM F A F B FO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程；
（II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA ·CB 为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分13分）
已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线x y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，
…． （I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
（2n ≤）是常数数列； （II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．2
2
(1)(1)2x y -+-=
12．
5π6 13．16-
Ｏ
A
E
D
B
H
P
14．（1）[1)+∞，（2）9
2
15．2
1n
-，32
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（I ）由题设知
1π()[1cos(2)]26
f x x =++．
因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0
π
26
x +
πk =， 即0
π
2π6x k =-
（k ∈Z ）． 所以0011π
()1sin 21sin(π)226
g x x k =+=+-．
当k 为偶数时，01π13()1sin 12644
g x ⎛⎫
=+
-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644
g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=
+=
++++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ 1π3sin 2232x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭． 当πππ2π22π232k x k -
++≤≤，即5ππ
ππ1212
k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，（k ∈Z ）． 17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件
A ，“该人参加过计算机培训”为事件
B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．
（I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=． 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．
（II ）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布(30.9)B ，
，
33()0.90.1k k k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，，即ξ的分布列是
ξ的期望是10.02720.24330.729 2.7E ξ=⨯+⨯+⨯=．
（或ξ的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=）
18．解：解法一：（Ｉ）因为平面1G AB ⊥平面
ABCD ，平面1G AB
平面
ABCD AB
=，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面1G AB ，又AD ⊂平面12G ADG ，所以平面
1G AB ⊥平面12G ADG ．
（II ）过点B 作1BH AG ⊥于点H ，连结2G H ． 由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G ADG ， 所以2BG H ∠是2BG 和平面12G ADG 所成的角． 因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB
平面ABCD AB =
，1G E AB ⊥，
1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，故1G E EF ⊥．
因为12G G AD <，
AD EF =，所以可在EF 上取一点O ，使12EO G G
=，又因为
12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EOG 是矩形．
由题设12AB =，25BC
=，8EG =，则17GF =．所以218G O G E ==，217G F =，
15OF =，1210G G EO ==．
因为AD ⊥平面1G AB ，1
2G G AD ∥，所以12G G ⊥平面1
G AB ，从而121G G G B ⊥． 故2
2
2
2
2
2
2
21126810200BG BE EG G G =++=++=
，2
BG =．
又1
10AG ==，由11BH AG G E AB =得81248
105
BH ⨯=
=． 故2248sin 525
BH BG H
BG ∠=
==
．
即直线2BG 与平面12G ADG 所成的角是arcsin
． 解法二：（I ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB
平面ABCD AB =
，1G E AB ⊥，
1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，从而1G E AD ⊥．又AB AD ⊥，所以AD ⊥平面
1G AB ．因为AD ⊂平面12G ADG ，所以平面1G AB ⊥平面12G ADG ．
（II ）由（I ）可知，1G E ⊥平面ABCD ．故可以E 为原点，分别以直线1EB EF EG ，，为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图）， 由题设12AB =，25BC
=，8EG =，则6EB =，
25EF =，18EG =，相关各点的坐标分别是(600)A -，，， (6250)D -，，，1(008)G ，，，(600)B ，，． 所以(0250)AD =，
，，1(608)AG =，，．
设()n x y z =，，是平面12G ADG 的一个法向量，
由100n AD n AG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，.得250680
y x z =⎧⎨+=⎩，
故可取(403)n =-，
，． 过点2G 作2G O ⊥平面ABCD 于点O ，因为22G C G D =，所以OC OD =，于是点O 在y 轴上． 因为12G G AD ∥，所以12G G EF ∥，218G O G E ==．
设2(08)G m ，，
（025m <<），由222
178(25)m =+-，解得10m =， 所以2
(0108)(600)(6108)BG =-=-，，，，，，．
设2BG 和平面12G ADG 所成的角是θ，则
2222
22
2sin 25
610843
BG n BG n
θ=
=
=
+++． 故直线2BG 与平面12G ADG 所成的角是arcsin
25
． 19．解：（I ）如图，PH α⊥，HB α⊂，PB AB ⊥， 由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥
，所以PBH ∠是 山坡与
α所成二面角的平面角，则PBH
θ∠=，
1sin PH
PB θ
=
=． 设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则
PD
=[12]∈，
． 记总造价为1()f x 万元，
据题设有2211111
()(1)(224
f x PD AD AO a x x a =++
+=-+ 当14x =
，即1
(km)4
BD =时，总造价1()f x 最小． （II ）设(km)AE y =，5
04
y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有
22131()1224f y PD y a ⎡⎤
⎛⎫=++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦43216y a a ⎫=+⎪⎭．
则(
)21
2f y a ⎛⎫'⎪=⎪⎭
，由2()0f y '=，得1y =．
当(01)y ∈，时，
2()0f y '<，2()f y 在(01)，
内是减函数； 当51
4y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫
⎪⎝⎭
，内是增函数．
故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为67
16
a 万元． （III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．
事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可
设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，123
02
x y +≤≤，总造价为S 万元，
则2
11111224x y S x a ⎛⎫=-
++ ⎪⎝
⎭．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216
x x --≥
，1322y ≥，当且仅当11
4x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD '=，1(km)AE =，S 取得最小值67
16
a ，点D E ''，分别与点D E ，重合，所以不存在
这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得
6716
a =
． 当且仅当
114x =
且11)y y ，即11114
x y ==，同时成立时，S 取得最小值67
16
a ，以上同解法一． 20．解：由条件知1(20)F -，
，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． 解法一：（I ）设()M x y ，，则则1
(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，，
1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得
121226x x x y y y +=++⎧⎨
=+⎩，即1212
4x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，
于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
当AB 不与x 轴垂直时，1212248
22
y
y y y x x x x -==
----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以2
2
112x y -=，2
2
222x y -=，两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．
将12
12()8
y
y y x x x -=
--代入上式，化简得22(6)4x y --=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是2
2
(6)4x y --=．
（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．
当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．
代入2
2
2x y -=有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421
k x x k +=-，
于是2
1212()()(2)(2)CA CB x m x m k
x x =--+--
22
222
2(12)2442(12)11
m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =1-．
当AB 与x 轴垂直时，点A B ，
的坐标可分别设为(2
，(2，，
此时(1
2)(12)1CA CB =-=-，，．
故在x 轴上存在定点(1
0)C ，，使CA CB 为常数． 解法二：（I ）同解法一的（I ）有1212
4x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，
当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入2
2
2x y -=有2
2
2
2
(1)4(42)0k x k x k -+-+=．
则12x x ，是上述方程的两个实根，所以2
12241
k x x k +=-．
212122
44(4)411k k
y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭
． 由①②③得2
2441
k x k -=-．…………………………………………………④
2
41
k
y k =
-．……………………………………………………………………⑤ 当0k
≠时，0y ≠，由④⑤得，
4
x k y
-=，将其代入⑤有 222
2
4
44(4)(4)(4)1x y x y y x x y
y -⨯
-==----．整理得22
(6)4x y --=． 当0k
=时，点M 的坐标为(40)，
，满足上述方程． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是2
2
(6)4x y --=．
（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使CA CB 为常数，
当AB 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k +=-，212242
1
k x x k +=-．
以上同解法一的（II ）．
21．解：（I ）当2n ≥时，由已知得2
2
2
13n n n S S n a --=．
因为10n n n a S S -=-≠，所以2
13n n S S n -+=． …… ① 于是2
13(1)n n S S n ++=+． ……② 由②－①得163n n a a n ++=+． …… ③ 于是2169n n a a n +++=+． …… ④
由④－③得26n n a a +-=， …… ⑤ 所以2262n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)n n b n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
≥是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，所以332a a =+，4182a a =-．
而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列， 所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N*， 数列{}n a 是单调递增数列12a a ⇔<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立． 12a a ⇔<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+-
1234a a a a ⇔<<<9151223218244
a a a a a ⇔<-<+<-⇔<<． 即所求a 的取值集合是9154
4M a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭． （III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n n
a a n n n n n n n
b b e e k a a a a ++++--==-- 任取0x ，设函数0
0()x x e e f x x x -=-，则0020()()()()
x x x e x x e e f x x x ---=- 记00()()()x x x g x e x x e e =---，则00()()()x x x x
g x e x x e e e x x '=-+-=-， 当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，
上为增函数， 当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，
所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，
上都是增函数．
由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，
取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n n
a a n n
e e a a ++-<-． 取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-2
2
n n a a n n e e a a ++->-．
所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增． 解法二：设函数11
()n a x n e e f x x a ++-=-，同解法一得，()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，上都是增函数， 所以111111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→，211111211lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a ++++++++++--=>=--→． 故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．。