九年级数学上册期末试卷测试卷(含答案解析)

九年级数学上册期末试卷测试卷（含答案解析）
一、选择题
1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0＜b ）的图像与x 轴只有一个交点，下列结论：①x ＜0时，y 随x 增大而增大；②a ＋b ＋c ＜0；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．②③
C ．①③
D ．①②③ 2．已知△ABC ，以AB 为直径作⊙O ，∠C ＝88°，则点C 在（ ）
A ．⊙O 上
B ．⊙O 外
C ．⊙O 内
3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，
4
3
=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）
A ．3或4
B ．83
或4
C ．83
或6
D ．4或6
4．将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A ．23(2)3y x =++
B ．23(2)3y x =-+
C ．23(2)3y x =+-
D ．23(2)3y x =-- 5．已知⊙O 的半径为5cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切
C ．相离
D ．无法确定
6．把二次函数y =2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是
（ ）
A ．22(3)2y x =-+
B ．22(3)2y x =++
C ．22(3)?2y x =-
D ．22(3)?2y x =+
7．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
8．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区
域的概率为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
13
D ．
19
10．袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是（ ） A ．
35
B ．
38
C ．
58
D ．
34
11．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（ ） A ．12×108 B ．1.2×108 C ．1.2×109 D ．0.12×109 12．若二次函数y ＝x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n 的值是（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．6
二、填空题
13．平面直角坐标系内的三个点A （1，－3）、B （0，－3）、C （2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
14．已知扇形半径为5cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm ．
15．设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，则1212x x x x ++=______. 16．已知三点A （0，0），B （5，12），C （14，0），则△ABC 内心的坐标为____． 17．若关于x 的一元二次方程12
x 2
﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．
18．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．
19．某一时刻，测得身高1.6m 的同学在阳光下的影长为2.8m ，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2m ，则教学楼的高为__________m .
20．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．
21．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中黑色区域的概率是_____．
22．已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠，y 与x 的部分对应值如下表所示：
x
… -1 0 1 2 3 4 … y
…
6
1
-2
-3
-2
m
…
下面有四个论断：
①抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(23)-，
； ②240b ac -=；
③关于x 的方程2=2ax bx c ++-的解为12=13x x =，； ④=3m -．
其中，正确的有___________________．
23．如图，在⊙O 中，分别将弧AB 、弧CD 沿两条互相平行的弦AB 、CD 折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O 的半径为4，则四边形ABCD 的面积是__________________．
24．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．
三、解答题
25．画图并回答问题：
（1）在网格图中，画出函数2y x x 2=--与1y x =+的图像； （2）直接写出不等式221x x x -->+的解集.
26．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）： 小华：7，8，7，8，9，9； 小亮：5，8，7，8，10，10． （1）填写下表：
平均数（环） 中位数（环） 方差（环2） 小华 8 小亮
8
3
（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？
（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差 ．（填“变大”、“变小”、“不变”）
27．⊙O 中，直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，且60DEB ∠=︒，
求CD的长．
28．如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．
（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值．
29．如图1，矩形OABC的顶点A的坐标为（4,0），O为坐标原点，点B在第一象限，连接AC， tan∠ACO=2，D是BC的中点，
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OM=2
3
OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P、
D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F.
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时点P的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M 时，点G也随之运动，请直接写出点G运动的路径的长.
30．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为OC中点，点P在抛物线上．
（1）直接写出A、B、C、D坐标；
（2）点P在第四象限，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE交BC、BD于G、H，是否存在这样的点P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若直线y＝1
3
x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点，直接写出t的取值
范围．
31．如图，AD 、A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，且AB BD AD
A B B D A D ==''''''
．判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由．
32．如图示，在平面直角坐标系中，二次函数2
6y ax bx =++（0a ≠）交x 轴于
()4,0A -，()2,0B ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D 是第二象限内的点抛物线上一动点 ①求ADE ∆面积最大值并写出此时点D 的坐标； ②若1
tan 3
AED ∠=
，求此时点D 坐标； （3）连接AC ，点P 是线段CA 上的动点.连接OP ，把线段PO 绕着点P 顺时针旋转90︒至PQ ，点Q 是点O 的对应点.当动点P 从点C 运动到点A ，则动点Q 所经过的路径长等于______（直接写出答案）
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
①根据对称轴及增减性进行判断； ②根据函数在x=1处的函数值判断；
③利用抛物线与直线y=-2有两个交点进行判断． 【详解】
解：∵a ＜0＜b ，∴二次函数的对称轴为x=2b
a
->0，在y 轴右边，且开口向下， ∴x ＜0时，y 随x 增大而增大； 故①正确；
根据二次函数的系数，可得图像大致如下， 由于对称轴x=2b
a
-
的值未知， ∴当x=1时，y=a+b+c 的值无法判断， 故②不正确；
由图像可知，y=＝ax 2＋bx ＋c ≤0，
∴二次函数与直线y=-2有两个不同的交点， ∴方程ax 2＋bx ＋c =-2有两个不相等的实数根. 故③正确. 故选C. 【点睛】
本题考查了二次函数的图像的性质，二次函数的图像与系数的关系，二次函数与方程的关系，借助图像解决问题是关键.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据圆周角定理可知当∠C=90°时，点C 在圆上，由由题意∠C ＝88°，根据三角形外角的性质可知点C 在圆外. 【详解】
解：∵以AB 为直径作⊙O ， 当点C 在圆上时,则∠C=90°
而由题意∠C ＝88°，根据三角形外角的性质 ∴点C 在圆外．
故选：B ． 【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN AC
AC CB
=，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =
，165BH k =，则16
85
CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可． 【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10， CAN CAB ∴∠≠∠，
设3CN k =，4BM k =，
①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽， ∴CN AC
AC CB =， ∴
3668k =， 32
k ∴=
， 6BM ∴=．
②当CAN MCB
∠=∠时，如图2中，过点M作MH CB
⊥，可得BMH BAC
∆∆
∽，
∴BM MH BH
BA AC BC
==，
∴4
1068
k MH BH
==，
12
5
MH k
∴=，
16
5
BH k
=，
16
8
5
CH k
∴=-，
MCB CAN
∠=∠，90
CHM ACN
∠=∠=︒，
ACN CHM
∴∆∆
∽，
∴CN MH
AC CH
=，
∴
12
35
16
68
5
k
k
k
=
-
，
1
k
∴=，
4
BM
∴=．
综上所述，4
BM=或6．
故选：D．
【点睛】
本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
将抛物线2
3
y x
=向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为2
3(2)3
y x
=++，故答案选A．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切． 【详解】
∵圆心到直线的距离5cm=5cm ， ∴直线和圆相切， 故选B ． 【点睛】
本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．
6．A
解析：A 【解析】
将二次函数2
2y x =的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：
22(3)2y x =-+.
故选A.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【详解】
x=0时，两个函数的函数值y=b ，
所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误； 由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a ＞0，
所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限， 所以，A 选项错误，C 选项正确． 故选C ．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据极差的概念最大值减去最小值即可求解． 【详解】
解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4． 故选A ．
本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．
【详解】
解：∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB ＝60°，
∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，
设OB ＝a ，则OA ＝2a ，
则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为
()2214
2a a ππ=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．
【详解】
因为白球5个，黑球3个一共是8个球，所以从中随机摸出1个球，则摸出黑球的概率是38
． 故选B ．
【点睛】
本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．B
解析：B
【解析】
科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】
120 000 000＝1.2×108，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
二次函数y =x 2+4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则240b ac =-=⊿，据此即可求得．
【详解】
∵1a =，4b =，c n =，
根据题意得：2244410b ac n =-=⨯⨯=⊿﹣，
解得：n =4，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数2
y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a ≠0）的交点与一元二次方程20ax bx c ++=根之间的关系．24b ac =-⊿决定抛物线与x 轴的交点个数．⊿＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；0=⊿时，抛物线与x 轴有1个交点；⊿＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
二、填空题
13．不能
【解析】
【分析】
根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【详解】
解：∵B（0，-3）、C （2，-3），
∴BC∥x 轴，
而点A （1，-3）与C 、
解析：不能
【解析】
【分析】
根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【详解】
解：∵B （0，-3）、C （2，-3），
∴BC ∥x 轴，
而点A （1，-3）与C 、B 共线，
∴点A 、B 、C 共线，
∴三个点A （1，-3）、B （0，-3）、C （2，-3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【点睛】
本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
14．【解析】
【分析】
直接利用弧长公式进行计算．
【详解】
解：由题意得：=,
故答案是：
【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 解析：53
π 【解析】
【分析】 直接利用弧长公式180n R l π=
进行计算． 【详解】 解：由题意得：605180l π==53
π, 故答案是：
53π 【点睛】
本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 15．－5.
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵，是关于的一元二次方程的两根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果，是方
解析：－5.
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，
∴12121
4x x x x +=-=-，， ∴()1212145x x x x ++=-+-=-，
故答案为：5-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果1x ，2x 是方程2
0x px q ++=的两根，那么12x x p +=﹣，12x x q =． 16．（6，4）．
【解析】
【分析】
作BQ⊥AC 于点Q ，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC 、AB 的长，继而利用三角形面积，可得△OAB 内切圆半径，过点P 作PD⊥AC 于D ，PF⊥AB 于F ，P
解析：（6，4）．
【解析】
【分析】
作BQ ⊥AC 于点Q ，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC 、AB 的长，继而利用三角形面积，可得△OAB 内切圆半径，过点P 作PD ⊥AC 于D ，PF ⊥AB 于F ，PE ⊥BC 于E ，设AD=AF=x ，则CD=CE=14-x ，BF=13-x ，BE=BC-CE=15-（14-x ）=1+x ，由BF=BE 可得13-x=1+x ，解之求出x 的值，从而得出点P 的坐标，即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，
则AQ=5，BQ=12，
∴AB=2213AQ BQ +=，CQ=AC-AQ=9，
∴BC=2215BQ CQ +=
设⊙P 的半径为r ，根据三角形的面积可得：r=
14124141315
⨯=++ 过点P 作PD ⊥AC 于D ，PF ⊥AB 于F ，PE ⊥BC 于E ，
设AD=AF=x ，则CD=CE=14-x ，BF=13-x ，
∴BE=BC-CE=15-（14-x ）=1+x ，
由BF=BE 可得13-x=1+x ，
解得：x=6，
∴点P 的坐标为（6，4），
故答案为：（6，4）．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆半径公式及切线长定理，根据三角形的内切圆半径公式及切线长定理求出点P 的坐标是解题的关键．
17．【解析】
【分析】
根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.
【详解】
解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，
∴
解析：72
【解析】
【分析】
根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.
【详解】 解：∵一元二次方程
12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ∴2214241402b ac k k ,
整理得，2
2410k k ， ∴21+22
k k 2221k k k 224k k
224k k
当21+22
k k 时， 224k k
142=-+ 72
= 故答案为：
72. 【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.
18．4
【解析】
【分析】
根据图形中的数字，可以写出前n 行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．
【详解】
解：由图可知，
第一行1个数，
第二行2个数，
第
解析：4
【解析】
【分析】
根据图形中的数字，可以写出前n 行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第
几个数字，本题得以解决．【详解】
解：由图可知，
第一行1个数，
第二行2个数，
第三行3个数，
…，
则第n行n个数，
故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝
(1)
2
n n+
，
∵当n＝63时，前63行共有6364
2
⨯
＝2016个数字，2020﹣2016＝4，
∴2020在第64行左起第4个数，
故答案为：64，4．
【点睛】
本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键. 19．4
【解析】
【分析】
根据题意可知，，代入数据可得出答案．
【详解】
解：由题意得出：，
即，
解得，教学楼高=14.4．
故答案为：14.4．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平
解析：4
【解析】
【分析】
根据题意可知，
1.6
2.8
=
身高教学楼高
影长教学楼影长
，代入数据可得出答案．
【详解】
解：由题意得出：
1.6
2.8
=
身高教学楼高
影长教学楼影长
，
即，1.6
2.825.2
=
教学楼高
解得，教学楼高=14.4．
故答案为：14.4．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平行投影，熟记同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键．
20．2或
【解析】
【分析】
求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】
解：二次函数的对称轴为直线x=m ，且开口向下，
解析：2或
【解析】
【分析】
求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】
解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，
①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4， 解得74
m =-， 724
->-， ∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m 取得最大值，m 2+1=4，
解得m =
所以m =，
③m ＞1时，x=1取得最大值，-（1-m ）2+m 2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．
故答案为：2或
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．
21．【解析】
【分析】
根据几何概率的求解公式即可求解.
【详解】
解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为．
【点睛】
此题主要
解析：1 3
【解析】
【分析】
根据几何概率的求解公式即可求解.
【详解】
解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积
∴飞镖落在阴影部分的概率是31 93 =，
故答案为1
3
．
【点睛】
此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知几何概率的公式.
22．①③．
【解析】
【分析】
根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可. 【详解】
由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：
该函数图象是开口向上的抛
解析：①③．
【解析】
【分析】
根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.
【详解】
由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，m=1；
∴①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；
②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；
③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x1＝1，x2＝3，结论正确；
④m＝﹣3，结论错误，
其中，正确的有. ①③
故答案为：①③
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.
23．【解析】
【分析】
作OH⊥AB，延长OH交于E，反向延长OH交CD于G，交于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因
AB∥CD，所以四边形ABCD是平行
解析：163
【解析】
【分析】
作OH⊥AB，延长OH交O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解．
【详解】
如图，作OH⊥AB，垂足为H，延长OH交O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，
∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH=HE=1
×4=2
2
，OG=GF=
1
×4=2
2
，即OH=OG，
又∵OB=OD，
∴Rt△OHB≌Rt△OGD，
∴HB=GD，
同理，可得AH=CG= HB=GD
∴AB=CD
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△OHA中，由勾股定理得：
==
∴AB=
∴四边形ABCD的面积=AB×GH=
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD是矩形．
24．【解析】
【分析】
根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】
从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、
解析：1 4
【解析】
【分析】
根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】
从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，
其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8，
所以恰好能搭成一个三角形的概率＝1
4
．
故答案为1
4
．
【点睛】
本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．
三、解答题
25．（1）画图见解析；（2）x<-1或x>3
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数与一次函数图象的性质即可作图,
（2）观察图像,找到抛物线在直线上方的图象即可解题.
【详解】
（1）画图
（2）221x x x -->+在图象中代表着抛物线在直线上方的图象
∴解集是x ＜-1或x ＞3
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
26．（1）8，8，
23；（2）选择小华参赛．（3）变小 【解析】
【分析】
（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；
（2）根据方差的意义求解；
（3）根据方差公式求解．
【详解】
（1）解：小华射击命中的平均数:7+8+7+8+9+96
=8,
小华射击命中的方差:2222122(78)2(88)2(98)63S ⎡⎤=
-+-+-=⎣⎦, 小亮射击命中的中位数:8+8=82
； （2）解：∵x 小华＝x 小亮，S 2小华＜S 2小亮
∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．
（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.
【点睛】
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数． 27．26（cm ）
【解析】
【分析】
先求出圆的半径，再通过作OP ⊥CD 于P ，求出OP 长，再根据勾股定理求出DP 长，最后利用垂径定理确定CD 长度.
【详解】
解：作OP ⊥CD 于P ，连接OD ，
∴CP ＝PD ，
∵AE ＝1，EB ＝5，∴AB ＝6，∴OE ＝2，
在Rt △OPE 中，OP ＝OE•sin ∠DEB 3，
∴PD 2200D P -6，
∴CD ＝2PD ＝6（cm ）．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造直角 三角形及构造出符合垂径定理的条件是解答此题的关键.
28．（1）PD 是⊙O 的切线．证明见解析.（2）8.
【解析】
试题分析：（1）连结OP ，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD 和∠D 的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD 是⊙O 的切线；
（2）连结BC ，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC 长，再证明
△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．
试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．
证明如下：
连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．
（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，
∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA ，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=8．
考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．
29．（1）D（2,2）；（2）①P（0,0）；②1 3
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数求出OC的长度，再根据中点的性质求出CD的长度，即可求出D点的坐标；
（2）①证明在该种情况下DE为△ABC的中位线，由此可得F为AB的中点，结合三角形全等即可求得E点坐标，结合二次函数的性质可设二次函数表达式（此表达式为交点式的变形，利用了二次函数的平移的特点），将E点代入即可求得二次函数的表达式，根据表达式的特征可知P点坐标；
②可得G点的运动轨迹为'
GG，证明△DFF'≌△FGG'，可得GG'＝FF'，求得P点运动到M 点时的解析式即可求出F'的坐标，结合①可求得FF'即GG'的长度.
【详解】
解：（1）∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=4，∠AOC=90°，
∵在Rt△ACO中，tan∠ACO=OA
OC
=2，
∴OC=2，
又∵D为CB中点，∴CD=2，
∴D（2,2）；
（2）①如下图所示，
若点B 恰好落在AC 上的'B 时,根据折叠的性质1'','2
BDF B DF BDB BD B D ∠=∠=
∠=, ∵D 为BC 的中点，
∴CD=BD,
∴'CD B D =, ∴1''2
BCA DB C BDB ∠=∠=
∠, ∴BCA BDF ∠=∠， ∴//DF AC ,DF 为△ABC 的中位线，
∴AF=BF,
∵四边形ABCD 为矩形
∴∠ABC=∠BAE=90°
在△BDF 和△AEF 中，
∵ABC BAE BF AF BFD AFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△BDF ≌△AEF ，
∴AE=BD=2,
∴E(6,0),
设(2)(4)2y
a x x ，将E （6,0）带入，8a+2=0 ∴a=14
-，则二次函数解析式为21342y x x =-+，此时P （0,0）； ②如图，当动点P 从点O 运动到点M 时，点F 运动到点F'，点G 也随之运动到G'．连接GG'．当点P 向点M 运动时，抛物线开口变大，F 点向上线性移动，所以G 也是线性移动．
∵OM=23OC=43 ∴4
(0,)3M ,
当P 点运动到M 点时，设此时二次函数表达式为1(2)(4)2y
a x x ，将4(0,)3M 代入得14823a ，解得1112a ，所以抛物线解析式为1(2)(4)212y x x ，整理得21141223y x x =-++. 当y=0时，211401223
x x -
++=，解得x=8（已舍去负值）， 所以此时(8,0)E ， 设此时直线'DF 的解析式为y=kx+b ，
将D （2,2），E （8,0）代入2208k b k b =+⎧⎨=+⎩解得1383k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 所以1833
y x =-+， 当x=4时，43y =，所以4'3AF =, 由①得112
AF AB ==， 所以1''3FF AF AF =-=
, ∵△DFG 、△DF'G'为等边三角形，
∴∠GDF ＝∠G'DF'＝60°，DG ＝DF ，DG'＝DF'，
∴∠GDF ﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'，
即∠G'DG ＝∠F'DF ，
在△DFF'与△FGG'中，
''''DF DG F DF G DG DF DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DFF'≌△FGG'（SAS ），
∴GG'＝FF'，
即G 运动路径的长为
13． 【点睛】
本题考查二次函数综合，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，一次函数的应用，折叠问题.（1）中能根据正切求得OC 的长度是解决此问的关键；（2）①熟练掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题关键；②中能通过分析得出G 点的运动轨迹为线段GG',它的长度等于FF'，是解题关键.
30．（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣32)；（2）存在，(12，﹣154)；（3）﹣
15736
＜t ＜﹣1 【解析】
【分析】 （1）可通过二次函数的解析式列出方程，即可求出相关点的坐标；
（2）存在，先求出直线BC 和直线BD 的解析式，设点P 的坐标为（x ，x 2﹣2x ﹣3），则E （x ，0），H （x ，
12x ﹣32），G （x ，x ﹣3），列出等式方程，即可求出点P 坐标； （3）求出直线y ＝13x+t 经过点B 时t 的值，再列出当直线y ＝13
x+t 与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3只有一个交点时的方程，使根的判别式为0，求出t 的值，即可写出t 的取值范围．
【详解】
解：（1）在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，
当x ＝0时，y ＝﹣3；当y ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝3，
∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），
∵D 为OC 的中点，
∴D （0，﹣32
）； （2）存在，理由如下：
设直线BC 的解析式为y ＝kx ﹣3，
将点B （3，0）代入y ＝kx ﹣3，
解得k ＝1，
∴直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3，
设直线BD 的解析式为y ＝mx ﹣32
，
将点B（3，0）代入y＝mx﹣3
2
，
解得m＝1
2
，
∴直线BD的解析式为y＝1
2
x﹣
3
2
，
设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，1
2
x﹣
3
2
），G（x，x﹣3），
∴EH＝﹣1
2
x+
3
2
，HG＝
1
2
x﹣
3
2
﹣（x﹣3）＝﹣
1
2
x+
3
2
，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣
x2+3x，
当EH＝HG＝GP时，﹣1
2
x+
3
2
＝﹣x2+3x，
解得x1＝1
2
，x2＝3（舍去），
∴点P的坐标为（1
2
，﹣
15
4
）；
（3）当直线y＝1
3
x+t经过点B时，
将点B（3，0）代入y＝1
3
x+t，
得，t＝﹣1，
当直线y＝1
3
x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程
1
3
x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个
解，
即x2﹣7
3
x﹣3﹣t＝0，
△＝（7
3
）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，
解得t＝﹣157 36
，
∴由图2可以看出，当直线y＝1
3
x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t
的取值范围为：﹣157
36
＜t＜﹣1时．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合，涉及了求二次函数与坐标轴的交点坐标、一次函数的解析式、解一元二次方程、确定一次函数与二次函数的图像的交点个数，灵活运用一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键.
31．△ABC ∽△A 'B 'C '，理由见解析
【解析】
【分析】
由题意知，根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，可证得
△ABD ∽△A 'B 'D '，进而可得∠B ＝∠B '，再根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC ∽△A 'B 'C '．
【详解】
△ABC ∽△A 'B 'C '， 理由：∵
==''''''
AB BD AD A B B D A D ∴△ABD ∽△A 'B 'D '，
∴∠B ＝∠B '， ∵AD 、A 'D '分别是△ABC 和△A 'B 'C '的中线
∴12BD BC =，1''''2
B D B
C =， ∴12==1''''
''2
BC AB BC A B B C B C ， 在△ABC 和△A 'B 'C '中 ∵
=''''
AB BC A B B C ，且∠B ＝∠B ' ∴△ABC ∽△A 'B 'C '．
【点睛】 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成。