2022-2023学年江苏省南通市海安市高二(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省南通市海安市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |x 2≤x }，B ＝{x |y ＝log 2（x ﹣1）}，则A ∪B ＝（ ） A ．[1，+∞）
B ．[0，+∞）
C ．（0，1）
D ．[0，1]
2．已知复数z 满足z （1+i ）＝（z +1）（2i ﹣1），则复数z 的实部与虚部的和为（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．1
5
D ．−1
5
3．使命题“∀x ∈[1，2），x 2﹣a ≤0”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．a ≥1
B ．a ＞1
C ．a ≥4
D ．a ＞4
4．为了远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A 340，它是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A 310，假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知A 340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A 310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行，若要使A 340飞机比A 310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（ ） A ．(2
3，1)
B ．(1
3，1)
C ．（0，2
3
）
D ．（0，1
3
）
5．为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩X ～N （70，100），其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ） 附：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ≤X ＜μ+2σ）＝0.9544． A ．该校学生体育成绩的方差为10
B ．该校学生体育成绩的期望为85
C ．该校学生体育成绩的及格率小于85%
D ．该校学生体育成绩的优秀率大于3%
6．“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到A ，B ，C 三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（ ） A ．72
B ．36
C ．48
D ．18
7．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ） A ．0.155
B ．0.175
C ．0.016
D ．0.096
8．在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2BC ＝2，∠ABC ＝60°，设侧面PBC 与底面ABC 的夹角为α，若三棱锥P
﹣ABC 的体积为√3
3
，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，tan α＝（ ） A ．
4√33
B ．
√34
C ．√3
D ．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知函数f(x)=(3x −2
x )n ，则下列关于f （x ）的展开式的命题中，正确的是（ ） A ．当n ＝11时，f （x ）的展开式共有11项
B ．当n ＝8时，f （x ）的展开式第3项与第6项的二项式系数之比为1：2
C ．当n ＝7时，f （x ）的展开式中，各项系数之和为﹣1
D ．若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则n ＝7
10．教育部《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中指出，“各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素”，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率直分图如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A ．样本的众数为67.5
B ．样本的80百分位数为72.5
C ．样本的平均值为66
D ．该校男生中低于60kg 的学生大约为300人
11．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A ．P （A ）＝P （B ）＝P （C ） B ．P （BC ）＝P （AC ）＝P （AB ）
C ．P(B|A)=1
2
D ．P(ABC)=81
12．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，点P 满足：AP →=λAB →+μAD →+γAA 1→
，λ、μ、γ∈[0，1]，下列结论正确的是（ ）
A ．当λ＝1，γ＝0时，P 到A 1D 1的距离为√3
B ．当μ＝1时，点P 到平面BDD 1B 1的距离的最大值为1
C ．当λ＝0，μ＝1时，直线PB 与平面ABC
D 所成角的正切值的最大值为√24
D ．当λ＝μ＝1，γ=12
时，四棱锥P ﹣BB 1DD 1外接球的表面积为
289π32
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．(x 2+
1
x
2−2)2展开式中的常数项是 ． 14．甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有 种不同的坐法． 15．某工厂为研究某种产品的产量x （吨）与所需某种原材料的质量y （吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（x ，y ），如表所示．（残差＝观测值﹣预测值）
根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为y =0.7x +a ．据此计算出在样本（4，3）处的残差为﹣0.15，则表中m 的值为 ．
16．已知正六棱柱ABCDEF ﹣A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，P 是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP →
⋅AB →
的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业，如表是某地各年新增企业数量的有关数据：
（1）请根据如表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2024年此地新增企业的数量； （2）若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X 表示抽取的3个为“专精特新”企业个数，求随机变量X 的分布列与期望． 参考公式：
回归方程y =a +b x 中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为b =
∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n
i=1(x i −x)
2
，a =y −b x ．
18．（12分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表： 单位：人
（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关； （2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X ，求X 的分布列及数学期望．
附：χ2
=m(ad−bc)
2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．
19．（12分）如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB ＝AE ＝2BF ＝2．
（1）证明：CF ∥平面ADE ；
（2）在棱EC 上有一点M （不包括端点），使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为√15
5
，求点M 到平面BCF 的距离．
20．（12分）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是CD 的中点，将△DAE 沿AE 折起至△P AE 的位置，使得平面P AE ⊥平面ABCE ，如图2． （1）证明：平面P AE ⊥平面PBE ；
（2）M 为CE 的中点，求直线BM 与平面P AM 所成角的正弦值．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动点C 到定点F （1，0）的距离与它到直线l ：x ＝4的距离之比为1
2．
（1）求动点C 的轨迹方程；
（2）点P 为直线l 上的动点，过点P 的动直线m 与动点C 的轨迹相交于不同的A ，B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足|AP |＝λ|PB |，|AQ |＝λ|QB |，求证：点Q 总在一条动直线上且该动直线恒过定点． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣
1lnx ，g （x ）＝x 2﹣x ．
（1）讨论f （x ）的单调性；
（2）证明：当x ∈（0，2）时，f （x ）≤g （x ）．
2022-2023学年江苏省南通市海安市高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。

在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |x 2≤x }，B ＝{x |y ＝log 2（x ﹣1）}，则A ∪B ＝（ ） A ．[1，+∞）
B ．[0，+∞）
C ．（0，1）
D ．[0，1]
解：∵A ＝{x |x 2≤x }＝[0，1]，B ＝{x |y ＝log 2（x ﹣1）}＝（1，+∞）， ∴A ∪B ＝[0，1]∪（1，+∞）＝[0，+∞）． 故选：B ．
2．已知复数z 满足z （1+i ）＝（z +1）（2i ﹣1），则复数z 的实部与虚部的和为（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．1
5
D ．−1
5
解：∵z （1+i ）＝（z +1）（2i ﹣1）， ∴z （1+i ）＝z （2i ﹣1）+2i ﹣1， ∴z （2﹣i ）＝﹣1+2i ，
∴z =−1+2i
2−i =(−1+2i)(2+i)
(2−i)(2+i)=−4
5+3
5i ， ∴复数z 的实部与虚部的和为−4
5+3
5=−1
5． 故选：D ．
3．使命题“∀x ∈[1，2），x 2﹣a ≤0”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．a ≥1
B ．a ＞1
C ．a ≥4
D ．a ＞4
解：因为∀x ∈[1，2），x 2﹣a ≤0，
即a ≥x 2在[1，2）上恒成立，只需a ≥（x 2）max ， 又x ∈[1，2），所以（x 2）max ＜4，则a ≥4，
又{a |a ≥1}⫌{a |a ≥4}，{a |a ＞1}⫌{a |a ≥4}，{a |a ＞4}⫋{a |a ≥4}，
所以使命题“∀x ∈[1，2），x 2﹣a ≤0”成立的一个充分不必要条件可以是a ＞4． 故选：D ．
4．为了远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A 340，它是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A 310，假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知A 340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A 310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行，若要使A 340飞机比A 310飞机更安
全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是（ ） A ．(2
3，1)
B ．(1
3，1)
C ．（0，2
3）
D ．（0，1
3
）
解：C 43p 3
(1−p)+p 4＞p 2⇒13
＜p ＜1⇒0＜1−p ＜2
3
．
故选：C ．
5．为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩X ～N （70，100），其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（ ） 附：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ≤X ＜μ+2σ）＝0.9544． A ．该校学生体育成绩的方差为10 B ．该校学生体育成绩的期望为85
C ．该校学生体育成绩的及格率小于85%
D ．该校学生体育成绩的优秀率大于3% 解：因为X ～N （70，100），
所以该校学生体育成绩的期望为70，方差为100，所以A ，B 错误； 因为60分及以上为及格， 所以P(X ≥60)=1−
1−P(70−10≤X ＜70+10)
2
=0.8413＜0.85，C 正确；
因为90分及以上为优秀， 所以P(X ≥90)=1−P(70−20≤X ＜70+20)
2
=0.0228＜0.03，D 错误． 故选：C ．
6．“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到A ，B ，C 三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（ ） A ．72
B ．36
C ．48
D ．18
解：根据题意，有一个地方去2个专家，另二个地方各去1个专家，共有C 42C 21C 1
1A 2
2•A 33=36，
所以分派方法的种数为36． 故选：B ．
7．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ）
A ．0.155
B ．0.175
C ．0.016
D ．0.096
解：一个被保险人在一年内出事故的概率为0.2×0.05+0.5×0.15+0.3×0.3＝0.175． 故选：B ．
8．在三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝2BC ＝2，∠ABC ＝60°，设侧面PBC 与底面ABC 的夹角为α，若三棱锥P ﹣ABC 的体积为√3
3
，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，tan α＝（ ） A ．
4√33
B ．
√34
C ．√3
D ．4
解：∵AB ＝2BC ＝2，∠ABC ＝60°，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2BC •AB cos B ＝3， ∴AC =√3，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，
∴AB 中点M 为外接圆的圆心，∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心在过M 且垂直于平面ABC 的直线上， 设外接球的球心为O ，连接PO ，OC ， 当PO ⊥平面ABC 时，外接球半径R 最小， 又三棱锥P ﹣ABC 的体积为√3
3
， ∴1
3×
1
2
×AC ×BC ×PM =√3
3，∴PM ＝2， ∴（PO ﹣R ）2+AM 2＝R 2，即（2﹣R ）2+12＝R 2，解得R =5
4， 又∵OC ＝OB ＝OA ＝1，
过M 作MF ⊥BC 于F ，连接PF ，可得∠PFM 为侧面PBC 与底面ABC 所成二面角的平面角， 易求MF =√3
2，
∴tan α＝tan ∠PFM =PM MF =2√32
=4√3
3
． 故选：A ．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知函数f(x)=(3x −2
x )n ，则下列关于f （x ）的展开式的命题中，正确的是（ ）
A ．当n ＝11时，f （x ）的展开式共有11项
B ．当n ＝8时，f （x ）的展开式第3项与第6项的二项式系数之比为1：2
C ．当n ＝7时，f （x ）的展开式中，各项系数之和为﹣1
D ．若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则n ＝7
解：对于A ，易知当n ＝11时，f （x ）展开式共有12项，故A 错误； 对于B ，n ＝8时，f （x ）展开式第3项与第6项的二项式系数之比为C 82C 8
5=1
2
，故B 正确；
对于C ，n ＝7时，设f （x ）＝（3x −2
x ）7＝a 7x 7+a 6x 5+…+a 0x ﹣
7，
令x ＝1，得f （1）＝1＝a 7+a 6+…+a 0，故C 错误；
对于D ，若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则n ＝4×2﹣1＝7，故D 正确． 故选：BD ．
10．教育部《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中指出，“各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素”，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率直分图如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A ．样本的众数为67.5
B ．样本的80百分位数为72.5
C ．样本的平均值为66
D ．该校男生中低于60kg 的学生大约为300人
解：对于A ，样本的众数为
65+70
2
=67.5，故A 正确；
对于B ，由频率分布直方图可知样本的80%分位数为70+0.1
0.2×5=72.5，故B 正确； 对于C ，由直方图估计样本平均值为：
57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1＝66.75，故C 错误；
对于D ，2000名男生体重低于60kg 的人数大约为2000×5×0.03＝300，故D 正确．
故选：ABD ．
11．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A ．P （A ）＝P （B ）＝P （C ） B ．P （BC ）＝P （AC ）＝P （AB ）
C ．P(B|A)=1
2
D ．P(ABC)=81
解：甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，
甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8， 同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”， 事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，
则P （A ）=C 21C 21
+C 21C 21
4×4=12，P （B ）=24=12，P （C ）=24=1
2，
∴P （A ）＝P （B ）＝P （C ），故A 正确；
P （BC ）＝P （B ）P （C ）=12×12=14，P （AC ）=C 21C 21
4×4=14，P （AB ）=C 21C 21
4×4=14
，
∴P （BC ）＝P （AC ）＝P （AB ），故B 正确；
P （B |A ）=P(AB)P(A)=1
412=1
2
，故C 正确；
P （ABC ）=C 21C 21
4×4=1
4，故D 错误．
故选：ABC ．
12．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，点P 满足：AP →
=λAB →
+μAD →
+γAA 1→
，λ、μ、γ∈[0，1]，下列结论正确的是（ ）
A ．当λ＝1，γ＝0时，P 到A 1D 1的距离为√3
B ．当μ＝1时，点P 到平面BDD 1B 1的距离的最大值为1
C ．当λ＝0，μ＝1时，直线PB 与平面ABC
D 所成角的正切值的最大值为√2
4
D ．当λ＝μ＝1，γ=1
2时，四棱锥P ﹣BB 1DD 1外接球的表面积为
289π32
解：A .AP →=AB →+μAD →=AB →+μBC →
，μ∈[0，1]，
∴点P 在BC 上，∵A 1D 1∥BC ，∴P 到A 1D 1的距离为A 1B =√22+12=√5，故A 错误．
B ．当μ＝1时，AP →
=λAB →
+AD →
+γAA 1→
=AD →
+λDC →
+γDD 1→
，λ、γ∈[0，1]，即AP →
−AD →
=λAB →
+γDD 1→
，即DP →
=λAB →
+γDD 1→，λ、γ∈[0，1]， ∴点P 在平面CDD 1C 1上，
则当P 位于CC 1上，P 到平面BDD 1B 1的距离的最大，此时的最大值为CO =√2，故B 错误．
C ．当λ＝0，μ＝1时，AP →
=AD →
+γDD 1→
， 即AP →
−AD →
=DP →
=γDD 1→，
则P 位于线段DD 1上，当P 位于D 1时，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值最大，
此时tan ∠D 1BD =DD 1BD =22=√24，即正切值最大为√24
，故C 正确，
D ．当λ＝μ＝1，γ=12时，AP →=AB →+AD →+12DD 1→=AC →+12
DD 1→
，即P 是CC 1中点，
则PB ＝PB 1=√4+14=√17
2，
则四棱锥P ﹣BB 1DD 1外接球的球心在P 与A 1A 中点M 的连线上，且过长方形BB 1DD 1的对角线的交点O 1，
∵BD 1=√BD 2+DD 12=3，则B 1O 1=32，PO 1=√PB 12−B 1O 12
=√174−9
4=√2，
设球心为O，球半径为R，
则O1O2+O1B12=OB12，即（R−√2）2+94=R2，
得R=
17
8√2
，则外接球的表面积S＝4πR2＝4π×（
8√2
）2=
289π
32
，故D正确．
故选：CD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13．(x2+1
x2
−2)2展开式中的常数项是6．
解：∵(x2+1
x2
−2)2=(x−
1
x
)4，
∴(x−1
x
)4展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r C4r x4﹣2r；
令4﹣2r＝0得r＝2，
所以展开式的常数项为C42＝6．
故答案为：6．
14．甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有16种不同的坐法．解：先排甲乙，共有A22种方法，产生3个空，要求甲、乙两人位于丙的同侧，故丙有2种选择，三人排好后，产生4个空，故丁有4种选择，
故共有A22×2×4＝16种不同的坐法．
故答案为：16．
15．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（x，y），如表所示．（残差＝观测值﹣预测值）
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为y=0.7x+a．据此计算出在样本（4，3）处的残差为﹣0.15，则表中m的值为 4.5．
解：∵在样本（4，3）处的残差为﹣0.15，
∴3﹣（0.7×4+a）＝﹣0.15，解得a=0.35，
∴经验回归方程为y=0.7x+0.35，
x=3+4+5+6
4
=4.5，y=
2.5+3+4+m
4
=
9.5+m
4
，
则
9.5+m 4
=0.7×4.5+0.35，解得m ＝4.5．
故答案为：4.5．
16．已知正六棱柱ABCDEF ﹣A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，P 是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP →
⋅
AB →
的取值范围是 （−12，3
2
） ．
解：建立空间直角坐标系，如图所示：
正六棱柱ABCDEF ﹣A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1， 所以A （0，0，0），B （1，0，0），C （3
2
，
√32
，0），F （−12，√32，0），
设P （x ，y ，z ），则x ∈（−12，32
），
所以AB →=（1，0，0），AP →
=（x ，y ，z ）， 所以AP →
•AB →
=x ，且x ∈（−1
2，3
2
），
即AP →•AB →
的取值范围是（−1
2，3
2
）．
故答案为：（−1
2
，3
2
）．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业，如表是某地各年新增企业数量的有关数据：
（1）请根据如表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2024年此地新增企业的数量； （2）若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X 表示抽取的3个为“专精特新”企业个数，求随机变量X 的分布列与期望． 参考公式：
回归方程y =a +b x 中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n
i=1(x i −x)
2
，a =y −b x ．
解：（1）x =
1+2+3+4+55=3，y =8+17+29+24+42
5
=24， ∑ 5i=1(x 1−x)(y i −y)=(−2)×(−16)+(−1)×(−7)+0×5+1×0+2×18=75， ∑(x i −x)25
i=1=4+1+0+1+4=10， 所以b =
∑
(x i
−x)(y i −y)
5
i=1∑ 5i=1
(x i −x)2
=7.5，a =y −b x =1.5，
所以y =1.5+7.5x ，
2024年，即当x ＝7时，由线性回归方程可得y =54， 所以估计2024年此地新增企业的数量的为54家； （2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，
因为P(X =0)=C 3
3C 73=135，P(X =1)=C 43C 32
C 73=12
35，
P(X =2)=C 42C 3
1
C 73=1835，P(X =3)=C 43
C 7
3=4
35， 所以X 的分布列为：
所以E （X ）=1×12
35+2×18
35+3×4
35=12
7．
18．（12分）新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车主，经统计其购车种类与性别情况如下表：
单位：人
（1）根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关； （2）用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X ，求X 的分布列及数学期望．
附：χ2
=m(ad−bc)
2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，n ＝a +b +c +d ．
解：（1）设零假设为H 0：购车种类与性别无关，
根据数表可得K 2
=100×(15×50−25×10)2
75×25×60×40=509
≈5.556＞5.024， 所以零假设H 0是错的，即在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，可以认为购车种类与性别有关． （2）随机抽取1辆汽车属于传统燃油汽车的概率为
25100
=1
4
，
被抽取的3辆汽车中属于传统燃油汽车的辆数为X ，X 的可能值为：0，1，2，3， 依题意，X ～B （3，1
4
），
P （X ＝0）=C 30(1
4)0(34)3=2764，P （X ＝1）=C 31(14)1(34)2=2764，P （X ＝2）=C 32(14)2(34)1=964
，P （X ＝3）=C 33(14)3(34)0=1
64，
所以X 的分布列为：
X 的数学期望E （X ）＝3×1
4=3
4．
19．（12分）如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB ＝AE ＝2BF ＝2．
（1）证明：CF ∥平面ADE ；
（2）在棱EC 上有一点M （不包括端点），使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为√15
5
，求点M 到平面BCF 的距离．
（1）证明：取AE 的中点G ，连接GD ，GF ，
因为BF ∥EA ，且BF =1
2AE ，所以AG ∥BF 且AG ＝BF ， 所以四边形AGFB 是平行四边形， 所以GF ∥AB ，
又因为ABCD 是菱形，所以AB ∥DC ，且AB ＝DC ， 所以GF ∥DC 且GF ＝DC ，
所以四边形CFGD 是平行四边形，CF ∥DG ， 又CF ⊄平面ADE ，DG ⊂平面ADE ， 所以CF ∥平面ADE ；
解：（2）连接BD 交AC 于N ，取CE 中点P ，
∵PN ∥AE ，EA ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥平面ABCD ，且CN ⊥BN ，
∴以N 为原点，NC ，NB ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
设在棱EC 上存在点M 使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为
√15
5
， E(−1，0，2)，B(0，√3，0)，C(1，0，0)，F(0，√3，1)，A(−1，0，0)，D(0，−√3，0) 则设CM →
=λCE →
=λ(−2，0，2)(0＜λ＜1)，∴M （1﹣2λ，0，2λ），
所以DM →
=(1−2λ，√3，2λ)，DB →
=(0，2√3，0)，BC →
=(1，−√3，0)，FB →
=(0，0，−1) 设平面DBM 的一个法向量为n →
=(x ，y ，z)，
则{n →
⋅DM →
=0n →
⋅DB →=0，即{(1−2λ)x +√3y +2λz =02√3y =0，令y ＝0，x ＝﹣2λ，z ＝1﹣2λ， 得n →=(−2λ，0，1−2λ)，
设平面FBC 的一个法向量为m →
=（a ，b ，c ）， 则{m →
⋅BC →
=0m →⋅FB →=0，即{a −√3b =0−c =0，取b ＝1， 得m →=(√3，1，0)，
∴|cos〈n →
，m →
〉|=|m →⋅n →
||m →|⋅|n →|=|−2√3λ|
2√(−2λ)+(1−2i)=√155，
解得λ=13
或λ＝1，又∵0＜λ＜1，
∴λ=13，此时M(13，0，23
)，∴CM →
=(−23，0，23
)，
∴点M 到平面BCF 的距离d =|CM →⋅m →
||m →|
=2√3
3
2=√33．
20．（12分）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是CD 的中点，将△DAE 沿AE 折起至△P AE 的位置，使得平面P AE ⊥平面ABCE ，如图2． （1）证明：平面P AE ⊥平面PBE ；
（2）M 为CE 的中点，求直线BM 与平面P AM 所成角的正弦值．
证明：（1）在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 是CD 的中点，
AE =√2，BE =√2所以AE 2+BE 2＝AB 2，所以BE ⊥AE ， 在折叠后的图形中，也有BE ⊥AE ，
因为平面P AE ⊥平面ABCE ，平面P AE ∩平面ABCE ＝AE ， BE ⊂平面ABCE 且BE ⊥AE ，所以BE ⊥平面P AE ， 因为P A ⊂平面P AE ，所以BE ⊥P A ， 因为P A ⊥PE ，且PE ∩BE ＝E ， 所以P A ⊥平面PBE ． 又因为P A ⊂平面P AE ， ∴平面P AE ⊥平面PBE ．
解：（2）取AE 的中点O ，AB 的中点F ，连PO ，OF ，
因为P A ＝PE ，所以PO ⊥AO ，因为OF ∥BE ，BE ⊥AE ，所以OA ⊥OF ， 因为BE ⊥平面P AE ，所以BE ⊥PO ，所以OF ⊥PO ， 所以PO ，OA ，OF 两两垂直，
以O 为原点，OA ，OF ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图：
则A(
√2
2
，0，0)，P(0，0，√22)，B(−√22，√2，0)，M(−3√24，√2
4，0)，
则BM →
=(−√2
4，−3√24，0)，PA →=(√22，0，−√22)，AM →=(−5√24
，√2
4，0)，
设平面P AM 的法向量n →
=（x ，y ，z ）， 则{
n →
⋅PA →
=√2
2x −√2
2z =0
n →⋅AM →
=−5√24x +√2
4y =0
，令x ＝1，得y ＝5，z ＝1，得n →
=（1，5，1），
所以直线 BM 与平面 P AM 所成角的正弦值为 |
n →⋅BM
→
|n →
|⋅|BM →
|
|=−√
24−15√
2
4
√216+18
16
=8√30
45． 21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知动点C 到定点F （1，0）的距离与它到直线l ：x ＝4的距离之比为1
2
．
（1）求动点C 的轨迹方程；
（2）点P 为直线l 上的动点，过点P 的动直线m 与动点C 的轨迹相交于不同的A ，B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足|AP |＝λ|PB |，|AQ |＝λ|QB |，求证：点Q 总在一条动直线上且该动直线恒过定点． 解：（1）设动点C （x ，y ），由动点C 到定点F （1，0）的距离与它到直线l ：x ＝4的距离之比为1
2．
得
√(x−1)2+y 2
|x−4|=1
2
，
化简得x 24
+y 23
=1，即点C 的轨迹方程为
x 24
+
y 23
=1；
（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），Q （x ，y ），P （4，t ）， 直线AB 的斜率显然存在设为k ，则AB 的方程为y ＝k （x ﹣4）+t ， 因为A ，P ，B ，Q 四点共线，不妨设x 1＜x ＜x 2＜4， 由|AP |＝λ|PB |，|AQ |＝λ|QB |可得，AP →
=λBP →
，AQ →
=λQB →
， 即（4﹣x 1，t ﹣y 1）＝λ（4﹣x 2，t ﹣y 2）， （x ﹣x 1，y ﹣y 1）＝λ（x 2﹣x ，y 2﹣y ）， 所以4﹣x 1＝λ（4﹣x 2），x ﹣x 1＝λ（x 2﹣x ）， t ﹣y 1＝λ（t ﹣y 2），y ﹣y 1＝λ（y 2﹣y ），
可得（4﹣x 1）（x 2﹣x ）＝（x ﹣x 1）（4﹣x 2），化简可得2x 1x 2﹣（x 1+x 2）（4+x ）+8x ＝0，（*） 联立直线y ＝k （x ﹣4）+t 和椭圆C 的方程：
{
x 24
+y 2
3=1y =k(x −4)+t ，消去得：（4k 2+3）x 2+8k （t ﹣4k ）x +4（t ﹣4k ）2﹣12＝0， 由韦达定理，x 1+x 2=−
8k(t−4k)4k 2
+3
，x 1x 2=
4(t−4k)2
−12
4k 2
+3
．代入（*）
化简得x =4kt+3−t 2kt+3=4−9+t 2
kt+3，即9+t 2kt+3=4−x ，
又k =y−t
x−4代入上式：9+t 2y−t x−4
t+3
=4−x ，化简：3x +ty ﹣3＝0，
所以点Q 总在一条动直线3x +ty ﹣3＝0上，且该直线过定点（1，0）． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣
1lnx ，g （x ）＝x 2﹣x ．
（1）讨论f （x ）的单调性；
（2）证明：当x ∈（0，2）时，f （x ）≤g （x ）．
解：（1）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′(x)=e x−1lnx +e x−1
x =e x−1(lnx +1
x )， 记ℎ(x)=lnx +1
x ，则ℎ′(x)=1
x −
1x 2=x−1
x 2
，
所以当0＜x ＜1时，h '（x ）＜0，函数h （x ）单调递减， 当x ＞1时，h '（x ）＞0，函数h （x ）单调递增， 所以h （x ）≥h （1）＝1， 所以f ′(x)=e x−1(lnx +1
x )＞0，
所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； （2）原不等式为e x ﹣
1lnx ≤x 2﹣x ＝x （x ﹣1），即
lnx x
≤
x−1e x−1
，
即证
lnx
e lnx
≤
x−1e x−1
在x ∈（0，2）上恒成立，
设l(x)=
x e x ，则l ′(x)=e x −xe x (e x )
2=1−x
e x ， 所以，当x ＜1时，l '（x ）＞0，l （x ）单调递增；当x ＞1时，l '（x ）＜0，l （x ）单调递减， 所以l(x)≤l(1)=1
e
，
令t(x)=lnx −x +1，t ′(x)=
1x −1=1−x
x
， 当0＜x ＜1时，t '（x ）＞0，t （x ）单调递增；当x ＞1时，t ′（x ）＜0，t （x ）单调递减， 所以t （x ）max ＝t （1）＝0，所以lnx ≤x ﹣1， 且在x ∈（0，2）上有{
lnx ＜1
x −1＜1
，所以可得到l （lnx ）≤l （x ﹣1），即lnx
e lnx ≤x−1
e x−1，
所以在x ∈（0，2）时，有f （x ）≤g （x ）成立．。