3.3.1两条直线的交点坐标

3.3.1 两条直线的交点坐标求两直线的交点
求下列两条直线的交点坐标：
l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0.
1．求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：
(1)l1：2x＋3y＝12，l2：x－2y＝4；
(2)l1：x＝2，l2：3x＋2y－12＝0.
两条直线的位置关系的判断
判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1)2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1；
(2)x －3y －10＝0，y ＝x ＋53
； (3)3x －5y ＋10＝0，9x －15y ＋30＝0.
求两点间的距离
已知点A (－1，2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．
3．求下列两点间的距离：
(1)A (6，0)，B (－2，0)；(2)C (0，－4)，D (0，－1)；
(3)P (6，0)，Q(0，－2)；(4)M (2，1)，N(5，－1)．
坐标法证明几何问题
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
4．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．
若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )
A ．a ＝1或a ＝－2
B ．a ≠±1
C ．a ≠1且a ≠－2
D ．a ≠±1且a ≠－2
5．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )
A ．12
B ．－12
C ．23
D ．－23
某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？
A组训练
1．已知点A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于()
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是() A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
3．若过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为()
A．6 B． 2
C．2 D．不能确定
4.已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是()
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
5．点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()
A．(5，2) B．(2，5)
C．(－5，－2) D．(－2，5)
6．直线y＝ax＋1与y＝x＋b交于点(1，1)，则a＝________，b＝________．
7．直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．
8．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．
9．(1)求在x 轴上与点A (5，12)的距离为13的点的坐标；
(2)已知点P 的横坐标是7，点P 与点N(－1，5)间的距离等于10，求点P 的纵坐标．
10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的2倍的直线l 的方程．
B 组训练
1．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )
A ．(－1，0)
B ．(1，0)
C ．(225
，0) D ．(0，225
)
2．若三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________．
3．已知AO是△ABC边BC的中线，求证：
|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
4．已知两点A(－2，4)，B(4，2)和直线l：y＝kx－2.
(1)求直线l恒过的定点P的坐标；
(2)若直线l与线段AB相交，试求k的取值范围．
3.3.1 两条直线的交点坐标参考答案
求两直线的交点
求下列两条直线的交点坐标：
l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0.
[解] 解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，
2x ＋y ＋2＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.
所以，l 1与l 2的交点坐标是M (－2，2)．
1．求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：
(1)l 1：2x ＋3y ＝12，l 2：x －2y ＝4；
(2)l 1：x ＝2，l 2：3x ＋2y －12＝0.
解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝12，
x －2y ＝4，
解得⎩
⎨⎧x ＝367，y ＝47， ∴交点坐标为(367，47
)．如图(1)．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，3x ＋2y －12＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝3， ∴交点坐标为(2，3)，如图(2)．
两条直线的位置关系的判断
判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)l 1：x －y ＝0，l 2：3x ＋3y －10＝0；
(2)l 1：3x －y ＋4＝0，l 2：6x －2y －1＝0；
(3)l 1：3x ＋4y －5＝0，l 2：6x ＋8y －10＝0.
[解] (1)解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＝0
3x ＋3y －10＝0， 得⎩⎨⎧x ＝53y ＝53
. 所以，l 1与l 2相交，交点坐标是M (53，53)． (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋4＝0， ①
6x －2y －1＝0， ②
①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，
所以两直线无公共点，l 1∥l 2.
(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0， ①
6x ＋8y －10＝0， ②
①×2得6x ＋8y －10＝0.
因此，①和②可以化成同一个方程，
即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．
2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
(1)2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1；
(2)x －3y －10＝0，y ＝x ＋53
； (3)3x －5y ＋10＝0，9x －15y ＋30＝0.
解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，
y ＝3.
所以两直线相交，交点坐标为(－2，3)．
(2)两直线方程分别化为y ＝13x －103
， y ＝13x ＋53
.由斜率相等，纵截距不等知两直线平行． (3)将3x －5y ＋10＝0的两边同乘以3得，
9x－15y＋30＝0，与第二个方程完全相同，
故两直线重合．
求两点间的距离
已知点A(－1，2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．[解]设所求点为P(x，0)，
∵|P A|＝|PB|，
∴（x＋1）2＋（0－2）2＝（x－2）2＋（0－7）2，
∴x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
∴所求点为P(1，0)，
|P A|＝（1＋1）2＋（0－2）2＝2 2.
3．求下列两点间的距离：
(1)A(6，0)，B(－2，0)；(2)C(0，－4)，D(0，－1)；
(3)P(6，0)，Q(0，－2)；(4)M(2，1)，N(5，－1)．
解：(1)|AB|＝[6－（－2）]2＋（0－0）2＝8.
(2)|CD|＝（0－0）2＋[－4－（－1）]2＝3.
(3)|P Q|＝（6－0）2＋[0－（－2）]2＝210.
(4)|M N|＝（2－5）2＋[1－（－1）]2＝13.
坐标法证明几何问题
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
[证明]
如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0)．设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)．
因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，
|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，
|BD |2＝(b －a )2＋c 2.
所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，
|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．
所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
4．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．
证明：
以两直角边OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，C 为AB 的中点，设A (a ，
0)，B (0，b )，则C (a 2，b 2
)． ∴|OC |＝
（a 2）2＋（b 2）2＝12 a 2＋b 2，
|AB |＝ a 2＋b 2. ∴|OC |＝12
|AB |， 即直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等．
若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )
A ．a ＝1或a ＝－2
B ．a ≠±1
C ．a ≠1且a ≠－2
D ．a ≠±1且a ≠－2
[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
(1)若三条直线交于一点，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，
将l 2，l 3 的交点(－a －1，1)代入l 1的方程解得
a ＝1或a ＝－2①
；
(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0， 得a ＝±1②
，当a ＝1时，l 1与l 2重合；
(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0， 得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0， 得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；
当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.
[答案] D
5．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A ．12
B ．－12
C ．23
D ．－23
解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋10y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9
y ＝－8
，
把点(－9，－8)代入y ＝ax －2，得－8＝－9a －2， 解得a ＝69＝2
3
.
某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？
[解]
如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.
因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值． 设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋12＋2×
b ＋22－10＝0，b －2a －1·（－1
2）＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，
b ＝6，
即A ′(3，6)，
所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎨⎧x ＝38
11，y ＝3611.
所以P 点的坐标为(3811，36
11)．
故供水站应建在点P (3811，36
11)处，
此时|P A |＋|PB |＝|A ′B |＝
（3－4）2＋（6－0）2＝37.
A 组训练
1．已知点A (－3，4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( ) A ．0或8 B ．0或－8 C ．0或6 D ．0或－6 解析：选A ．由|AB |＝5得（－3－0）2＋（4－b ）2＝5，
所以(4－b )2＝16， ∴4－b ＝±4， ∴b ＝0或b ＝8.
2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0
解析：选A ．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0x －y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝6，
故过点(1，6)与x －2y ＝0垂直的直线为y －6＝－
2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.
3．若过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6
B ． 2
C ．2
D ．不能确定
解析：选B ．因为直线AB 与y ＝x ＋m 平行，则b －a
5－4＝1，即b －a ＝1，
|AB |＝
（4－5）2＋（a －b ）2＝ 2.
4.已知A (2，1)，B (3，2)，C (－1，4)，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 解析：选A ．∵|AB |＝（2－3）2＋（1－2）2＝2，
|BC |＝（3＋1）2＋（2－4）2＝20， |AC |＝
（2＋1）2＋（1－4）2＝18，
所以|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， 所以△ABC 为直角三角形．
5．点P (2，5)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标是( ) A ．(5，2) B ．(2，5) C ．(－5，－2) D ．(－2，5) 解析：选C ．设对称点P ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
y －5x －2＝1x ＋22＋y ＋52＝0，
∴x ＝－5，y ＝－2.
6．直线y ＝ax ＋1与y ＝x ＋b 交于点(1，1)，则a ＝________，b ＝________． 解析：因为直线y ＝ax ＋1与y ＝x ＋b 的交点为(1，1)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ＋11＝1＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0
.
答案：0 0
7．直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M 的线段的中点是(1，0)，那么点M 到原点的距离为________．
解析：设M 的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x 2＝15＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－5，
所以|OM |＝
42＋（－5）2＝41.
答案：41
8．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋10＝03x ＋4y －2＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2
y ＝2，
垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的斜率为－2
3，
故所求的直线方程为y －2＝－2
3(x ＋2)，
即2x ＋3y －2＝0.
答案：2x ＋3y －2＝0
9．(1)求在x 轴上与点A (5，12)的距离为13的点的坐标；
(2)已知点P 的横坐标是7，点P 与点N(－1，5)间的距离等于10，求点P 的纵坐标． 解：(1)设x 轴上的点为B (x ，0)， 由|AB |＝13， 得
（x －5）2＋（0－12）2＝13，
∴(x －5)2＝25， ∴x －5＝5或x －5＝－5. ∴x ＝10或x ＝0，
即点B 的坐标为(10，0)或(0，0)．
(2)设点P 的纵坐标为y ，即P (7，y )． 由于|P N|＝10， ∴
[7－（－1）]2＋（y －5）2＝10，
∴(y －5)2＝36，
∴y －5＝6或y －5＝－6，从而y ＝11或y ＝－1， ∴P 点的纵坐标为11或－1.
10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的2倍的直线l 的方程．
解：(1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0. 令x ＝0，得y ＝－1－8λ
λ－2；
令y ＝0，得x ＝－1－8λ
1＋2λ
.
所以－1－8λλ－2＝2·(－1－8λ1＋2λ)，解得λ＝18，
此时直线l 的方程为2x －3y ＝0.
综合(1)(2)，所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0.
B 组训练
1．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )
A ．(－1，0)
B ．(1，0)
C ．(22
5，0)
D ．(0，22
5
)
解析：选B ．
A (－3，8)关于x 轴对称的点A ′(－3，－8)，A ′
B 与x 轴的交点，就是使|MA |＋|MB |最短的M 点，
直线A ′B 的方程为 y ＋8
2＋8＝x ＋32＋3
， 当y ＝0时，得x ＝1， 即此时M 的坐标为(1，0)．
2．若三条直线x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________． 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0
2x －y ＋8＝0
，
得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－3
y ＝2，即两直线的交点坐标为(－3，2)． 依题意知，实数a 满足的条件为⎩⎨⎧a ·（－3）＋3×2－5≠0
－a
3≠－1
－a 3
≠2，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ≠13
a ≠3a ≠－6
，
即实数a 满足的条件为a ∈R ，且a ≠1
3且a ≠3且a ≠－6.
答案：a ≠1
3
且a ≠3且a ≠－6
3．已知AO 是△ABC 边BC 的中线，求证： |AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)． 证明：
以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)．
则|AB|2＋|AC|2＝[b－(－a)]2＋
(c－0)2＋(b－a)2＋(c－0)2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AO|2＋|OC|2＝b2＋c2＋a2.
故|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
4．已知两点A(－2，4)，B(4，2)和直线l：y＝kx－2.
(1)求直线l恒过的定点P的坐标；
(2)若直线l与线段AB相交，试求k的取值范围．
解：(1)令x＝0，则y＝－2，所以不论k取什么值，
直线l：y＝kx－2都过定点P(0，－2)．
(2)
直线l：y＝kx－2过定点P(0，－2)，所以k P A＝
－2－4
0－（－2）
＝－3，
k PB＝－2－2
0－4
＝1.
如图所示，所以直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．。