【辽宁省大连】2016届高三下学年期第二次模拟考试文科数学年试题

19．证明：（1）取 MC 中点，记为点 D，连结 PD，OD
∵P 为 MA 中点，D 为 MC 中点Leabharlann ∴ PD∥AC又∵
CD

1 3
DC1
，
BQ

1 3
QC1
，
∴ QD∥BC
又∵ PD QD D
∴ 平面PQD∥平面ABC ………………………………………………………………….4 分
又 PQ 平面PQD
辽宁省大连市 2016 届高三下学期第二次模拟考试文科数学试卷
答案
一、选择题 1~5．CACBA 6~10．DCDBB 11~12．CA 二、填空题 13．0.6 14．2 15．6 16． (1, 2) 三、解答题 17．解：（1） b acosC 3 asinC
3 ∴ sinB sinAcosC 3 sinAsinC …………………………………………………………2 分
A {(a1,b1)(a1,b2 )(a1,b3)(a1,b4 )(a2,b1)(a2,b2 )(a2,b3)(a2,b4 )(b1,b2 )}
A 中含基本事件 8 个，…………………………………………………………….10 分
∴ P( A) 8 ．………………………………………………………………………..12 分 15
176 58.67 …………………………………………………….…………….6 分 3
（2）由数据知，6 名同学中成绩在 (120,135) 之间的有两人，记为 a1 ， a2 ，成绩不在 (120,135) 之间的有 4
人，记为 b1 ， b2 ， b3 ， b4 ，从 6 位同学中随机抽取 2 名同学所有可能结果组成的基本事件空间可以为
22
2 ……………………………..8 分 8
P 点到平面 BMQ 的距离 h 为 A 点到平面 BMQ 的距离的 1 ， 2
即 h 1 2 2 3 6 ，………………………………………………………….10 分
2
22
∴ VAPBQ

1 3
2 8
6 3 ………………………………………………………...12 分 2 24
{(a1, a2 )(a1,b1)(a1,b2 )(a1,b3)(a1,b4 )(a2 ,b1)(a2,b2 )(a2,b3)(a2,b4 )(b1,b2 )(b1,b3)(b1,b4 )(b2 ,b3 )(b2 ,b4 )(b3 ,b4 )}
基本事件空间中共有基本事件 15 个，…………………………………………..8 分 设恰有 1 位同学成绩在区间 (120,135) 中为事件 A，
∴ PF1F2 QF1F2 90 ……………………………………………………………………………….12 分
21．解：（1）∵ f (x) (2x a)ex (x2 ax a)ex (x 2)(x a) ,(x 0)
e2x
ex
若 a 0 ，由 f (x) 0 得 x 2 ；由 f (x) 0 ，可得 x 2 ，即函数 f (x) 在 (2, ) 上为增函数；由 f (x) 0 ，
3 sinAcosC cosAsinC sinAcosC 3 sinAsinC ………………………………………….4 分
3 即 cosAsinC 3 sinAsinC
3 又 sinC 0 ∴ cosA 3 sinA
3 即 tanA 3 ∴ A π ………………………………………………………………………..6 分
4/6
极大值点 x 2 ，极小值点 x a ………………………………………………6 分
（2） g(x) f (x) f (x) 2x a ，则 g(x) 2x2 (2 a)x 2
x 1
(x 1)ex
(x 1)2 ex
记 h(x) 2x2 (2 a)x 2 ，由题意可知方程 h(x) 0 即 2x2 (2 a)x 2 0 在 (0, ) 上有两个不等实数根
f
(x) 在 (0, ) 上单调递增，无极值
点．
④若 a 2 ，由 f (x) 0 得 x 2 ， x a ；由 f (x) 0 可得 x 2 或 x a ，所以函数 f (x) 在 (0, 2) ，(a, )
上为增函数，由 f (x) 0 可得 2 x a ，所以函数 f (x) 在 (2, a) 上为减函数，所以函数 f (x) 在 (0, ) 上有
e2
22．（1）证明：∵CA 为圆 O 的切线，∴ CAE ABC ，
又∵ BE 为直径， ADF 45 ，∴ AFD 45 ． 又∵ ADF ABC DCB ， AFD CAE ACD ， ∴ ACD BCD ， ∴CD 为 ACB 的平分线……………………………………………………………4 分 （2）解：∵ AB AC ，∴ B ACB CAE ，
a 22 16 0

x1 ，
x2
．所以

x1


x2

a
2
2

0

x1
x2
1
0
解得： a 2 …………………………………………………………………….……8 分
g ( x1 ) g ( x2
)

(2x1 a)(2x2 a) (x1 1)ex1 (x2 1)ex2
x0 y1 y0 x1 c(x0 x1)
||
x02 y12 y02 x12 c2 (x02 x12 )
|

1 2
|
x02 (2

x12 ) 2 x02

x12 (2 x12

x02 2
)
|
1 2
|
2(x02 x12 ) x02 x12
| 1…………………….10
分
∴ PF1F2 与 QF1F2 互余，
3
3
1/6
∴ b c 4 3 (sinB sinC) ……………………………………………………8 分 3
∴ b c 4 3 (sinB sin(A B)) 3
∴ b c 4sin(B π) …………………………………………………………...10 分 6
∵ B (0, 2π) 3
3/6
∵ PF1F2 和 QF1F2 均为锐角，
x0 y1 y0 x1
∴ tanPF1F2 |
x0 x1 c
| x0 y1 y0 x1 c(x0 x1)
tanQF1F2
|
x0 y1 y0 x1 c(x0 x1)
|
∴ tanPF1F2
tanQF1F2
|
x0 y1 y0 x1 c(x0 x1)
方法二：
∵ SBQM

1 4 SBC1M
1 8 SBC1C
1 1 82
22
2 …………………………………8 分 8
∴VAPBQ VAMBQ VM PBQ ………………………………………………..…………..10 分
1 2 6 1 2 6 3 …………………………..……………..12 分
（2）设 B(x0 , y0 )
，
D(x1,
y1 )
，则
A(x0, y0 ) ，直线
BD
方程为
y

y1

y0 x0

y1 x1
(x
x1) ，
令 x 0 ，则 y x0 y1 y0 x1 x0 x1
∴ Q(0, x0 y1 y0 x1 ) x0 x1
同理 P(0, x0 y1 y0 x1 ) …………………………………………………………………..7 分 x0 x1
又由三角形边的性质知，
∴ b c 2 ，………………………………………………….………….10 分
∴ b c (2,4]．………………………………………………………….12 分
解法二：
∵ab c sinA sinB sinC
∴ b 4 3 sinB ， c 4 3 sinC
上为增函数；由 f (x) 0 ，可得 a x 2 ，即函数 f (x) 在 (a, 2) 上为减函数，所以函数 f (x) 在 (0, ) 上有
极大值点 x a ，极小值点 x 2 ．
若a
2 ，则
f
(x)
(x 2) 2 ex
，在 (0, )
上大于等于零恒成立，故函数
∴ PQ∥平面ABC …………………………………………………………………………6 分
2/6
（2）方法一：由于 P 为 AM 中点，故 A，M 两点到平面 PBQ 的距离相等
∴ VAPBQ VM PBQ VPMBQ
又∵ SBQM

1 4 SBC1M
1 8 SBC1C
1 1 82
又∵ B+ACB+CAE+BAE 180 ， ∴ B ACB CAE=30 ，
所以 AC sin30 3 …………………………………………………………….10 分 BC sin120 3
23．解：（1）设 C1 上任意一点的极坐标为 (, ) 则点 (2, ) 在圆 C 上，故 2 4sin ， 所以 C1 的极坐标方程为 2sin ( 0) ………………………………………..4 分 （2）A，B 两点的极坐标分别为 A(4sin,) ， B(2sin,) ，

4x1x2 [x1x2 (
2a(x1 x1 x2 )
x2 ) a2 1]ex1x2
∵a2

2(2 a)
(2

a

2
)e
a
2 2

4
a2
e2
………………………………………………10 分
2
a2
∴ e 2 e2
∴ g(x1)g(x2 )
4
a2

4 e2
…………………………………………………..………12 分
可得 0 x 2 ，即函数 f (x) 在 (0, 2) 上为减函数，所以函数 f (x) 在 (0, ) 上有唯一的极小值点 x 2 ，无极 大值点．
若 0 a 2 ，由 f (x) 0 得 x 2 ，x a ；由 f (x) 0 ，可得 0 x a 或 x 2 ，即函数 f (x) 在 (0, a) ，(2, )
3 （2）解法一：∵ a2 b2 c2 2bccosA
∴ 22 b2 c2 bc (b c)2 3bc …………………………………………………………..8 分
∵ b c 2 bc
∴ (b c)2 4 (b c)2 4 3
∴ (b c)2 16 ，即 b c 4
∴ b c (2,4]……………………………………………………………………12 分
18．（1）由
x

110
124
130 6
x4
110
111
117
得
x4
117
……………2
分
S 2 (110 117)2 (124 117)2 (130 117)2 (117 117)2 (110 117)2 (111117)2 6
38
3 8 2 24
20．解：（1）∵ e c 2 ∴ a 2c a2
| MF1 | | MF2 | | F1F2 | 2a 2c 2 2c 2c 4 2 2
∴ c 2 ， a 2 ………………………………………………………………………….3 分
∴椭圆方程为 x2 y2 1…………………………………………………………………4 分 42
5/6
又因为 0 π ，
所以| AB || 4sin 2sin || 2sin | 2sin 3 ，
故 sin 3 ，所以 π 或 2π ………………………………………………..10 分
2
33
24．证明：（1）∵
2(
1 a2

1 b2

1 c2
)

2 ab

2 bc

2 ac
∴1 11 1 11 a2 b2 c2 ab bc ac
又∵ (1 a

1 b

1)2 c