2019年高三数学(理)二轮专项检测：专项5解析几何专项检测

2019年高三数学（理）二轮专项检测：专项5解析几何专
项检测
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

(本卷总分值150分，考试用时120分钟)
【一】选择题(本大题共12小题，每题5分，共计60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1、过点(－2,0)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为 A 、2x ＋y ＋4＝0 B 、－2x ＋y －4＝0
C 、x －2y ＋2＝0
D 、－x ＋2y －2＝0 解析易知所求直线的斜率为－2，
所以方程为y －0＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋4＝0. 答案A
2、(2017·中山模拟)假设抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 2
2＝1的右焦点重合，那么p 的值为
A 、－2
B 、2
C 、－4
D 、4
解析据题意p
2＝2，∴p ＝4. 答案D
3、以下曲线中离心率为6
2的是
A.x 24＋y 22＝1
B.x 24－y 22＝1
C.x 24＋y 210＝1
D.x 24－y 2
10＝1
解析选项A 、B 、C 、D 中曲线的离心率分别是22、62、155、14
2. 答案B
4、抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”的
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
解析由⎩
⎨⎧
y 2
＝x
y ＝kx ＋1得ky 2
－y ＋1＝0，
当k ≠0时，Δ＝1－4k ＞0，得k ＜1
4.
即假设直线l 与抛物线C 有两个不同的交点，
那么k ＜1
4且k ≠0，应选D. 答案D
5、圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，那么圆C 的方程为
A 、(x ＋1)2＋(y －1)2＝2
B 、(x －1)2＋(y ＋1)2＝2
C 、(x －1)2＋(y －1)2＝2
D 、(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2
解析设圆心坐标为(a ，－a )，∴r ＝|2a |2＝|2a －4|
2， 解得a ＝1，∴r ＝2，
故所求的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案B
6、假设曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，那么k 的值为
A 、1
B 、－1 C.1
2 D 、2 解析曲线方程可化为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， 由题设知直线过圆心，
即k ×(－1)＋2×3－4＝0，∴k ＝2.应选D. 答案D
7、椭圆x 24＋y 2
3＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，满足∠F 1PF 2
＝30°，那么△F 1PF 2的面积为
A 、3(2＋3)
B 、3(2－3)
C 、2＋ 3
D 、2－ 3
解析由题意，得
⎩⎨⎧
|PF 1|＋|PF 2
|＝2a ＝4，
|PF 1
|2
＋|PF 2
|2
－2|PF 1
|·|PF 2
|·cos 30° ＝|F 1F 2
|2＝4，
所以|PF 1|·|PF 2|＝12(2－3)，
所以S △F 1PF 2＝1
2|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝3(2－3)、 答案B
8、直线ax －y ＋2a ＝0(a ≥0)与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是 A 、相离 B 、相交 C 、相切 D 、不确定 解析圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.
由点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2得该圆圆心(0,0)到直线ax －y ＋
2a ＝0的距离d ＝2a
a 2
1
2＝2a
a 2＋12，由基本不等式可以知道2a ≤
a 2
＋12
，从而d ＝2a
a 2＋12≤1＜r ＝3，故直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是相交、
答案B
9、(2017·大纲全国卷)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，那么cos ∠AFB ＝
A.45
B.35
C 、－35
D 、－45 解析解法一由⎩⎨⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎨⎧
x ＝4，
y ＝4.
令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5.
∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |
＝4＋25－45
2×2×5 ＝－45.
解法二由解法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴FA →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)，
∴|FA →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.
∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →|·|FB →|
＝3×0＋42
5×2
＝－45.
答案D
10、椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2
3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
A 、x ＝±15
2y
B 、y ＝±15
2x
C 、x ＝±34y
D 、y ＝±3
4x 解析由双曲线方程判断出公共焦点在x 轴上， ∴椭圆的右焦点(3m 2－5n 2，0)， 双曲线的右焦点(2m 2＋3n 2，0)， ∴3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2， 即|m |＝22|n |，
∴双曲线的渐近线为y ＝±3·|n |2·|m |x ＝±3
4x ，
即y ＝±3
4x . 答案D
11、(2017·课标全国卷)双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为
A.x 23－y 26＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 26－y 23＝1
D.x 25－y 24＝1
解析∵k AB ＝0＋15
3＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3. 由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9.
设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，
那么x 2a 2－x －32
b 2
＝1.整理，得 (b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
那么x 1＋x 2＝6a 2
a 2－
b 2＝2×(－12)，∴a 2＝－4a 2＋4b 2， ∴5a 2＝4b 2.
又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5.
∴双曲线E 的方程为x 24－y 2
5＝1. 答案B
12、如下图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，那么离心率为
A.3＋12
B.3－1
C.3－1
2 D.3＋1
解析设F 2(c,0)，那么圆O 的方程是x 2＋y 2＝c 2.与双曲线方程联立，消掉y
得x 2a 2－c 2－x 2
b 2＝1，
解得x ＝－a b 2＋c 2
c (舍去正值)、由于O 是正三角形F 2AB 的外接圆的圆心，也是其重心，
故F 2到直线AB 的距离等于32|OF 2|＝3c 2，
即c ＋a b 2＋c 2c
＝3c 2，即2a b 2＋c 2＝c 2. 将b 2＝c 2－a 2代入上式，并平方得4a 2(2c 2－a 2)＝c 4， 整理，得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，
两端同时除以a 4，得e 4－8e 2＋4＝0. 解方程得e 2＝4±23，由于e 2＞1， 故e 2＝4＋23，所以e ＝3＋1.
答案D
【二】填空题(本大题共4小题，每题4分，共计16分、把答案填在题中的横线上)
13、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2上一点M ，点M 的横坐标是2，那么M 到抛物线焦点的距离是________、
解析因为点M 的横坐标是2，
故其纵坐标为8，又p 2＝1
8，
所以M 到抛物线焦点的距离为8＋18＝65
8.
答案658
14、点P 为双曲线x 2
4－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，那么点M 的轨迹方程是________、
解析设P (x 0，y 0)，M (x ，y )， 那么x 0＝2x ，y 0＝2y ，
代入双曲线方程得x 2－4y 2＝1. 答案x 2－4y 2＝1
15、椭圆的中心在原点，离心率e ＝3
2，且它的一个焦点与抛物线x 2＝－43y 的焦点重合，那么此椭圆的方程为________、
解析抛物线的焦点为(0，－3)，椭圆的中心在原点， 那么所求椭圆的一个焦点为(0，－3)，半焦距c ＝3，
又离心率e ＝c a ＝3
2，
所以a ＝2，b ＝1，故所求椭圆的方程为x 2＋y 2
4＝1.
答案x 2＋y 2
4＝1
16、a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，
那么直线l 的一般方程是________、
解析∵a ＋2b ＝(6,2)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12＝(－2,3)，
∴与向量a ＋2b 平行的直线的斜率为－3
2，
又l 与向量a ＋2b 垂直，∴l 的斜率k ＝2
3. 又l 过点A (3，－1)，
∴直线l 的方程为y ＋1＝2
3(x －3)， 化成一般式为2x －3y －9＝0. 答案2x －3y －9＝0
【三】解答题(本大题共6小题，共74分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(12分)(2017·福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .
(1)求实数b 的值；
(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程、
解析(1)由⎩⎨⎧
y ＝x ＋b ，
x 2＝4y
得x 2
－4x －4b ＝0.(*) 因为直线l 与抛物线C 相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.
(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0， 解得x ＝2.将其代入x 2＝4y ，得y ＝1. 故点A (2,1)、
因为圆A 与抛物线C 的准线相切，
所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.
18、(12分)(2017·安徽)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.
(1)证明：l 1与l 2相交；
(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上、
证明(1)假设l 1与l 2不相交，那么l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，
得k 21＋2＝0，这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交、
(2)解法一由方程组⎩⎨⎧
y ＝k 1x ＋1，
y ＝k 2x －1
解得交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2
k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1，
而2x 2
＋y 2
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
k 2＋k 1k 2－k 12
＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 2
2＋4
k 21＋k 22＋4
＝1. 此即说明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上、
解法二交点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧
y －1＝k 1x ，
y ＋1＝k 2x .
故知x ≠0.
从而⎩⎪⎨⎪⎧
k 1＝y －1
x ，k 2
＝y ＋1
x .
代入k 1k 2＋2＝0，得y －1x ·y ＋1
x ＋2＝0. 整理后，得2x 2＋y 2＝1，
所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上、
19、(12分)(2017·开封模拟)如下图，圆O ：x 2＋y 2＝4，直线m ：kx －y ＋1＝0.
(1)求证：直线m 与圆O 有两个相异交点；
(2)设直线m 与圆O 的两个交点为A 、B ，求△AOB 面积S 的最大值、 解析(1)证明直线m ：kx －y ＋1＝0可化为y －1＝kx ， 故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O ：x 2＋y 2＝4内部， 所以直线m 与圆O 恒有两个不同交点、 (2)圆心O 到直线m 的距离为
d ＝1
1＋k 2，而圆O 的半径r ＝2，
故弦AB 的长为|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2，
故△AOB 面积S ＝12|AB |×d ＝1
2×24－d 2×d
＝4d 2－d 4＝d 2－22＋4.
而d 2＝11＋k 2，因为1＋k 2≥1，所以d 2
＝11＋k 2∈(0,1]， 显然当d 2∈(0,1]时，S 单调递增，
所以当d 2＝1，即k ＝0时，S 取得最大值3， 此时直线m 的方程为y －1＝0.
20、(12分)圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.
(1)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，假设|AB |＝23，求直线l 的方程；
(2)过圆C 上一动点M (不在x 轴上)作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，假设向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线、
解析(1)当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，
l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其距离为23，满足题意、 假设直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y －k ＋2＝0.
设圆心到此直线的距离为d ，那么23＝24－d 2，得d ＝1.
所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34， 故所求直线方程为3x －4y ＋5＝0.
综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.
(2)设点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，Q 点坐标为(x ，y )， 那么N 点坐标是(0，y 0)、 因为OQ →＝OM →＋ON →，
所以(x ，y )＝(x 0,2y 0)，即x 0＝x ，y 0＝y
2. 又因为M 是圆C 上一点，
所以x 20＋y 20＝4，所以x 2＋y 2
4＝4(y ≠0)，
所以Q 点的轨迹方程是x 24＋y 2
16＝1(y ≠0)，
这说明轨迹是中心在原点，焦点在y 轴，长轴为8、短轴为4的椭圆，除去短轴端点、
21、(12分)(2017·上海)椭圆C ：x 2
m 2＋y 2＝1(常数m ＞1)，P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)、
(1)假设M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； (2)假设m ＝3，求|PA |的最大值与最小值；
(3)假设|PA |的最小值为|MA |，求实数m 的取值范围、
解析(1)由题意知m ＝2，椭圆方程为x 2
4＋y 2＝1，
c ＝4－1＝3，
∴左、右焦点坐标分别为(－3，0)，(3，0)、
(2)m ＝3，椭圆方程为x 2
9＋y 2＝1，设P (x ，y )，那么
|PA |2
＝(x －2)2
＋y 2
＝(x －2)2
＋1－x 29＝89⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －942＋12(－3≤x ≤3)，
∴当x ＝94时，|PA |min ＝2
2； 当x ＝－3时，|PA |max ＝5. (3)设动点P (x ，y )，那么
|PA |2＝(x －2)2＋y 2＝(x －2)2＋1－x 2m 2＝m 2－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2m 2m 2－12－4m 2
m 2－1＋5(－m ≤x ≤m )、
∵当x ＝m 时，|PA |取最小值，且m 2－1
m 2＞0，
∴2m 2
m 2－1≥m 且m ＞1，解得1＜m ≤1＋ 2.
22、(14分)如下图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，假设|AF 1|＝72，|AF 2|＝5
2，
(1)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线方程；
(2)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、
E 四点，假设G 为CD 的中点，H 为BE 的中点，问|BE ||CD |·|G
F 2|
|HF 2|是否为定值？假设是，求出定值；假设不是，请说明理由、
解析(1)解法一设椭圆方程为
x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
那么2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋5
2＝6， 得a ＝3.
设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
那么(x ＋c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
522
，
两式相减，得xc ＝3
2，
由抛物线定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝5
2，
那么c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝3
2(因∠AF 2F 1为钝角，故舍去)、
所以椭圆方程为x 29＋y 2
8＝1，抛物线方程为y 2＝4x .
解法二设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，抛物线方程为y 2＝2px . 如下图，过F 1作垂直于x 轴的直线x ＝－
c ，
即抛物线的准线，过A 作AN 垂直于该准线于点N ，作AM ⊥x 轴于点M ， 那么由抛物线的定义，得|AF 2|＝|AN |，
所以|AM |＝|AF 1|2－|F 1M |2＝|AF 1|2－|AN |2＝|AF 1|2－|AF 2|2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
522＝ 6. |F 2M |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－6＝12， 得|F 1F 2|＝52－1
2＝2，
所以c ＝1.由p
2＝c 得p ＝2. 由2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6， 得a ＝3.b 2＝a 2－c 2＝8.
所以椭圆方程为x 29＋y 2
8＝1，
抛物线方程为y 2＝4x .
(2)设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线y ＝k (x －1)，
由题意知k ≠0，代入x 29＋y 2
8＝1， 得8⎝ ⎛⎭⎪⎫
y k ＋12＋9y 2－72＝0， 即(8＋9k 2
)y 2＋16ky －64k 2＝0，
那么y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 2
8＋9k 2. 同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ， 得ky 2－4y －4k ＝0，
那么y 3＋y 4＝4
k ，y 3y 4＝－ 4.
所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·1
2|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝
y 1－y 22
y 1＋y 22·y 3＋y 4
2y 3－y 4
2
＝
y 1＋y 22－4y 1y 2y 1＋y 22·y 3＋y 42
y 3＋y 42－4y 3y 4
＝
16k 28＋9k 22＋4×64k 28＋9k 216k 2
8＋9k 22·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4k 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 2＋16
＝3，为定值、
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