浙江省舟山市东海中学2019届高三高考模拟命题比赛参赛试题

高中数学命题参赛试题
第Ⅰ卷选择题 （共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．集合A={－1，0，1}，B={y|y=cosx ，x ∈A}，则A B=（ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0，1} D ．{－1，0，1} 2、设x 是实数，则“x>0”是“|x|>0”的 （ ）
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3、已知,,a b c 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）(A)a c b c a ⇒⊥⊥,//b (B)a //α,b //αa ⇒//b (C)α⇒γ⊥βγ⊥α,//β (D)α//γ,β//α⇒γ//β
4、设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪
+⎨⎪⎩
≥≤≥，则目标函数
z ＝2x +4y 的最大值为（ ）
A.10
B.12
C.13
D.14
5执行如图的程序框图，如果输入5p =，则输出的=S （ ）
(A)
1516 (B) 3116 (C) 3132 (D) 63
32
6、设向量a , b 满足:1||=a , 2||=b , 0(=+⋅b)a a , 则a 与b 的夹角是（ ）
(A) 30 (B)
60
(C) 90 (D)
120
（7）一个多面体的三视图分别是正方形、 等腰三角形和矩形， 其尺寸如图， 则该多面体的体积为
（A ）3
48cm （B ）3
24cm
（第5题）
（C ）332cm （D ）328cm 8、已知)2
cos()(),2sin()(π
π
-=+=x x g x x f ，则下列结论中正确的是（ ） A ．函数)()(x g x f y ⋅=的周期为2； B ．函数)()(x g x f y ⋅=的最大值为1； C ．将)(x f 的图象向左平移
2π
个单位后得到)(x g 的图象；
D ．将)(x f 的图象向右平移2
π
个单位后得到)(x g 的图象；
9、过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一个焦点F 作一条渐近的垂线，垂足为点A ，与
另一条渐近线并于点B ，若2=，则此双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
10、2
()2,()2(0)f x x x g x ax a =-=+>，对10[1,2],[1,2],x x ∀∈-∃∈-使10()()g x f x =，则的取值范围是 （ ）
A ．1(0,]2
B ．1[,3]2
C ．[3,)+∞
D ．(0,3]
试卷Ⅱ(非选择题，共100分)
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）．
11、若i b i i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a ． 12、某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时 速不得超过70/km h ，否则视为违规扣分．某天， 有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到 这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示， 则违规扣分的汽车大约为 辆．
13、大小相同的4个小球上分别写有数字1，2，3，4，从这4个小球中随机抽取2个小球，则取出的2个小球上的数字之和为奇数的概率为`________
14、设直线3x ＋4y －5＝0与圆C 1: 42
2=+y x 交于A , B 两点, 若圆C 2的圆心在线段A B 上, 且圆C 2与圆C 1相切, 切点在圆C 1的劣弧⌒
AB 上, 则圆C 2的半径的最大值是_______
（第11题）
15.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2021≥=+-n S S a n n n ，5.01=a ，则=n S _ 16．函数sin(2)(0)2y x π
ϕϕ=+<<图象的一条对称轴在(,),63
ππ
ϕ内则的取值范围为
.
17、在平面几何里，有：“若ABC ∆的三边长分别为,,,c b a 内切圆半径为r ，则三角形面积
为r c b a S ABC )(2
1
++=
∆”
，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体BCD A -的四个面的面积分别为,,,,4321S S S S 内切球的半径为r ，则四面体的体积为 ”
三、解答题:本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 18、（本题满分14分）在△ABC 中，a ,b ,c 分别为角A 、B 、C 的对边，
.4
3,2的面积为
ABC c b ∆=+ （1）求A 的最大值;
（2）当角A 最大时，求a .
19、（本题满分14分）已知数列}{n a 是首项为1公差为正的等差数列，数列}{n b 是首项
为1的等比数列，设n n n c a b =*
()n ∈N ，且数列}{n c 的前三项依次为1，4，12， （1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）若等差数列}{n a 的前n 项和为S n ,求数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项的和T n ．
(20)（本题满分14分）已知ABCD 为平行四边形，
2AB =
，BC =45ABC ∠=︒，BEFC
是长方形，S 是EF 的中点，,5=
BE 平面
⊥BEFC 平面ABCD ， （Ⅰ）求证：SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD 与平面BEFC 所
成角的正切值．
21．（本题15分）已知函数3
2
()21f x x x ax =+-+.
（I ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线斜率为4，求实数a 的值； （II ）若函数()()g x f x '=在区间)1,1(-上存在零点，求实数a 的取值。

(22)(本题满分15分) 已知抛物线C 的顶点在原点, 焦点为F (0, 1). (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;
(Ⅱ) 在抛物线C 上是否存在点P , 使得过点P
的直线交C 于另一点Q , 满足PF ⊥QF , 且 PQ 与C 在点P 处的切线垂直?
若存在, 求出点P 的坐标; 若不存在,请说明理由.
F
D
C
B
S
(第22题)
高中数学命题参赛试题
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）．
11、 1 12、 110 13、
2
3
14、 1 15、 1/2n 16、 0,)6π( 17、r S S S S V BCD A )(3
1
4321+++=-四面体
所以把a 1=1，b 1=1代入方程组解得⎩⎨
⎧==2
1
q d 7分
(2)由(1)知等差数列}{n a 的前n 项和S n =na 1+
d n n 2
)
1(-
所以
2
)1(1d n a n s n -+= 所以数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是首项是a 1
=1，公差为2d =21的等差数列 11分 所以T n =n a 1+22)1(d n n -=n+4
)1(-n n =432n
n + 14分
（20）、解：（Ⅰ）做BC SM ⊥于M 点，连结,MA
因为S 是EF 的中点，,2=
∴MB
2,45,,AB ABC AM BC ︒=∠=∴⊥
,BC SMA SA BC ∴⊥∴⊥面 ………7分
（Ⅱ）作,DN BC N SN ⊥于点，连结
平面BEFC ⊥平面ABCD ，
DSN SD BEFC DN BEFC ∴⊥∴∠面，是与面所成的角，
,1326
13
2tan 13,2===
∠∴==SN DN DSN SN DN 所以直线SD 与平面BEFC 所成角的正切值为
.13
26
…………………14分 21、（本题15分）由题意得2
()()34g x f x x x a '==+-.
（I ）(1)3443f a a '=+-=∴= 4分 （II ）讨论：（1）当(1)10,1g a a -=--==-时，()()g x f x '=的零点1
(1,1)3
x =-∈-； （2）当(1)70g a =-=时，)(x f '的零点7
(1,1)3
x =-
∉-，不合题意； 3分 （3）当(1)(1)0g g -<时，17a -<<
（4）当4(43
)02113
(1)0
(1)0
a g g ∆=+≥⎧⎪⎪-<-<⎪
⎨⎪>⎪->⎪⎩时，413a ∴-≤<- 综上所述，4[,7)3a ∈- 8分
（II ）另解：()()g x f x '=在区间)1,1(-上存在零点，等价于2
34x x a +=在区间)1,1(-
上
有解，
也等价于直线y a =与曲线2
34,(1,1)y x x x =+∈-有公共点，
作图可得 4
[,7)3
a ∈-
. 15分 或者：又等价于当(1,1)x ∈-时 ，求值域：2
2
244
343()[,7)3
33
a x x x =+=+-
∈-. 8分 (22) 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析
几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

(Ⅰ) 解: 设抛物线C 的方程是x 2 = ay ,
则
14
=a
, 即a = 4 . 故所求抛物线C 的方程为x 2 = 4y . …………………(5分) (Ⅱ) 解:设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ,
则抛物线C 在点P 处的切线方程是： 11
2
y x x y -=, 直线PQ 的方程是： 11
22
y x x y ++-
=. 将上式代入抛物线C 的方程, 得：0)2(4811
2
=+-+y x x x ,
故 x 1+x 2=18
x -, x 1x 2=－8－4y 1,
所以 x 2=18x -－x 1 , y 2=1
4
y +y 1+4 .
而FP ＝(x 1, y 1－1), ＝(x 2, y 2－1),
⋅＝x 1 x 2＋(y 1－1) (y 2－1)＝x 1 x 2＋y 1 y 2－(y 1＋y 2)＋1
＝－4(2+y 1)+ y 1(14y +y 1+4)－(14
y +2y 1+4)+1
＝21y －2y 1 －14y －7＝(2
1y ＋2y 1＋1)－4(1
1y +y 1+2)
＝(y 1＋1)2
－1
21)1(4y y +＝12
11)1)(4(y y y +-＝0,
故 y 1＝4, 此时, 点P 的坐标是(±4,4) . 经检验, 符合题意.
所以, 满足条件的点P 存在, 其坐标为P (±4,4). ………………(15分)。