相似三角形的判定及习题精讲

相似三角形的判定
（一）填空：
1．若3x-7y=0, 则y∶x=_______, =________。

2．若a=7, b=4, c=5, 则b, a, c的第四比例项d=_______。

3．若线段a=4, b=6, 则a, b的比例xx项为________。

4．已知：===, 则 =______，=_________。

5．已知：a∶b∶c=3∶4∶5, a+b-c=4, 则4a+2b-3c=________。

6．若=, 则 x=_______。

7．已知：ΔABCxx，DE//BC交AB于D，AC于E，AB=10，AD-DB=2，BC=9，则DE=________。

8．已知：RtΔABCxx，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=4，BD=2，则CD=________，AC=_________。

9．ΔABCxx，∠ACB=90°，CD是高，AC=3，BC=4，则CD=_______，AD=_________，BD=_________。

10．ΔABCxx，AB=AC=10，∠A=36°，BD是角平分线交AC于D，则CD=_________。

11．等边三角形的边长为a，则它的内接正方形的边长为_________。

12．ΔABCxx，DE//BC，DE交AB，AC于D，E，AD∶DB=5∶4，则S梯形BCED∶SΔADE=________。

13．两个相似多边形面积比是1∶3，则周长比是_______。

14．两个相似多边形的面积比为25∶9，其xx一个多边形的周长为45，则另一个多边形的周长为_________。

15．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，那么这两个多边形的周长分别为__________。

（二）选择题：
1．在ΔABCxx，DE//BC交AB于D，AC于E，若四边形DECB的面积为ΔADE面积的3倍，则DE∶BC=（）
A、1∶3
B、1∶9
C、3∶1
D、1∶2
2．如图，在ΔABCxx=，=，设AD与CE的交点为P，则CP∶PE=（）。

A、5∶1
B、4∶1
C、3∶1
D、5∶2
3．一个直角三角形两条直角xx比是1∶2，则它们在斜边xx射影的比是（）
A、1∶
B、1∶
C、1∶4
D、1∶5
4．ΔABCxx，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列式子xx错误的是（）
A、AD2=BD·DC
B、CD2=CF·CA
C、DE2=AE·EB
D、AD2=AF·AC
5．ΔABCxx，D，E，F分别在AB，BC，ACxx，四边形ADEF是菱形，AB=a, AC=b，则菱形ADEF的边长是（）
A、B、C、D、
6．正方形ABCDxx，E是ADxx点，BM⊥CE于M，AB=6cm, 则BM的长为（）。

A、12cm
B、cm
C、3cm
D、cm
7．要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍。

A、2
B、4
C、2
D、64
8．梯形ABCDxx，AD//BC，AC、BD交于E点，SΔADE∶SΔADC=1∶3，则SΔADE∶SΔDBC=（）。

A、1∶3
B、1∶4
C、1∶5
D、1∶6
（三）已知：如图，在ΔABCxx，AD为xx线，E在ABxx，AE=AC，CE 交AD于F，EF∶FC=3∶5，EB=8cm，求：AB，AC的长。

（四）矩形DGFE内接于ΔABC，DG∶DE=3∶5， S矩形DGFE=60cm2, 高AH=10cm，求：SΔABC。

（五）如图，在ΔABCxx，AD是BC边上xx线，E是ADxx点，
求证：AF=FC，EF=BE。

（六）已知：如图，在ΔABCxx，D为AB边上一点，Q为BCxx
上一点，DQ交AC于P，且∠BDQ=∠PCQ，求证：AB·QD=AC·QB。

（七）已知：ΔABCxx，∠C=90°，AC=8cm, BC=6cm
求：在ΔABC内作正方形，使正方形的四个顶点都在三角形的边或顶
点上，求这个正方形的边长。

练习参考答案：
（一）填空：
1．3∶7；（合比性质）
2．（注意顺序为b, a,c的第四比例项）
3．2（注意线段的比例xx项仍然是线段）
4．；（本题用到等比性质）5．10
6．±2（注意与3小题的区别）
7．5.4（由平行得比例，从而计算出DE的长）
8．2，2（双垂直条件下，灵活运用乘积式及勾股定理）
9．CD=，AD=，BD=（方法与8小题类似）
10．提示：如图，易证ΔABC∽ΔBCD，∴ =，
∵ BC=BD=AD=10-CD，∴ =，解得CD=15-5。

ΔABC是一个特殊的三角形，我们应熟悉它的一些性质。

11．提示：应利用“相似三角形对应高的比等于相似比的性质”如图，等边ΔABC，AB=BC=AC=a，正方形DEFG内接于ΔABC，设正方形边长为x，作AH⊥BC于H，交DG于P，∵ DG//BC，∴
ΔADG∽ΔABC，∴ =，∵ AH=a,
∴ =，解得x=(2-3)a.
12．56∶25（用到相似三角形面积比等于相似比的平方）
13．
14．75或27，提示：当小多边形的周长为45时，大多边形的周长为×45=75；当大多边形的周长为45时，小多边形的周长为×45=27。

15．100cm和40cm
（二）选择题：
1. D2．A 。

提示：过E作EG//AD交BD于G，则==，设BG=2k, GD=3k, 则BD=5k, CD=15k, ∵ EG//PD，∴ ===
3．C 4. A 5.D
6．B。

提示：如图，易证ΔBMC∽ΔCDE，
∵ ED=AD=3，CD=6，
∴ EC==3，
∴ =，∴ =，
∵ BM=7. C8. D
（三）AB=20cm, AC=12cm。

提示：过D点作DH//AB交CE于H，∵ AD 是中线，∴ EH=CH，设EF=3k, FC=5k, 则EH=4k, FH=k,
∵ BE=8cm, ∴ DHBE, ∴ DH=4cm, ∵ DH//AE, ∴ ==,
∴ AE=3DH=12cm, ∴ AC=AE=12cm, AB=20cm.
（四）125cm2. 提示：设DG=3k, DE=5k, ∵ S矩形DGFE= 60cm2, ∴ 3k·5k=60, 求得k=2, 得DG=6cm, DE=10cm, ∵ DE//BC,
∴ ΔADE∽ΔABC，由相似三角形对应高的比等于相似比可得=，即=，∴ BC=25，
∴ SΔABC=BC·AH=×25×10=125(cm2).
（五）略
（六）提示：过点D作DM//AC交BC于M，证ΔBDM∽ΔBAC及
ΔQDM∽ΔQBD，通过等比代换可得。

（七）本题由正方形在三角形中的位置不同引起分类讨论。

提示如下：解：直角三角形内接正方形有两种不同的位置。

如下图：
（1）如图（1），作CP⊥AB于P，交GF于H，则CH⊥GF，
∵ GF//AB，∴ ΔCGF∽ΔCAB，∴ =，
∵ ∠ACB=90°，AC=8，BC=6由勾股定理得AB=10,
∵ AC·BC=AB·CP，∴ CP===，
设GF=x, 则CH=-x, ∴ =,∴ x=.
（2）如图（2），∵ DE//AC，∴ ΔBDE∽ΔBAC，∴ =，设CF=x, 则BE=6-x, DE=x,
∴ =,∴ x=.
答：ΔABC内接正方形的边长为cm或cm。