高考理科数学通用版三维二轮专题复习教学案：第一部分 层级二 75分的重点保分题精析精研重点攻关 Word版含

保分专题(一) 基本初等函数、函数与方程
[全国卷3年考情分析]
[师生共研·悟通]
指数与对数式的8个运算公式
(1)a m ·a n ＝a m ＋
n ；(2)(a m )n ＝a mn ；(3)(ab )m ＝a m b m ；
(4)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(5)log a M
N ＝log a M －log a N ；
(6)log a M n＝n log a M；(7)a log a N＝N；(8)log a N＝log b N log b a.
[注意](1)(2)(3)中，a>0，b>0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0. [典例](1)(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
[解析]选D由2x＝3y＝5z，可设(2)2x＝(3
3)3y＝(
5
5)5z＝t，因为x，y，z为正数，所
以t>1，因为2＝6
23＝
6
8，
3
3＝
6
32＝
6
9，所以2<
3
3；
因为2＝10
25＝
10
32，
5
5＝
10
25，所以2>
5
5，所以
5
5<2<
3
3.分别作出y＝(2)x，
y＝(3
3)x，y＝(
5
5)x的图象，如图．则3y<2x<5z，故选D.
(2)已知f(x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在
同一坐标系内的大致图象是()
[解析]选B∵f(x)＝a x－2>0恒成立，又f(4)·g(－4)<0，∴g(－4)＝log a|－4|＝log a4<0＝log a1，∴0<a<1.故函数y＝f(x)在R上单调递减，且过点(2,1)，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B正确．
[即学即用·练通]
1．已知函数f (x )＝3x －
b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )
A ．[1,81]
B ．[1,3]
C ．[1,9]
D ．[1，＋∞)
解析：选C 由f (x )的图象过点(2,1)可知b ＝2， ∴f (x )＝3x －
2，其在区间[2,4]上是增函数，
∴f (x )min ＝f (2)＝30＝1，f (x )max ＝f (4)＝32＝9. 故f (x )的值域为[1,9]．
2．若函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，那么函数g (x )＝|log a (x ＋1)|的图象大致为( )
解析：选C 法一：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，则g (x )＝|log a (x ＋1)|＝|log 2(x ＋1)|，将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位长度(纵坐标不变)，然后将x 轴下方的图象翻折上去，即可得g (x )的图象，故选C.
法二：由函数f (x )＝x a 满足f (2)＝4，得2a ＝4，∴a ＝2，即g (x )＝|log 2(x ＋1)|，由g (x )的定义域为{x |x >－1}，排除B 、D ；由x ＝0时，g (x )＝0，排除A.故选C.
3．(2016·浙江高考)已知a ＞b ＞1，若log a b ＋log b a ＝5
2，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝
________.
解析：∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12
.∵a ＞b ＞1，∴log a b ＜log a a ＝1，∴log a b ＝1
2
，∴a ＝b 2.
∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2， ∴b ＝2，a ＝4. 答案：4 2
[师生共研·悟通]
1．函数的零点及其与方程根的关系
对于函数f (x )，使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．
2．零点存在性定理
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．
[典例] (1)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2 018x ＋log 2
018x ，则函数
f (x )的零点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析]选C 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2 018x 和y ＝－log 2
018x
的图象如图所示，可知函数f (x )＝2 018x ＋log 2 018x 在x ∈(0，＋∞)
上存在一个零点，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )在x ∈(－∞，0)上只有一个零点，又f (0)＝0，∴函数f (x )的零点个数是3.
(2)(2017·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )
A ．(0,1]∪[23，＋∞)
B ．(0,1]∪[3，＋∞)
C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)
D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)
[解析]选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝⎛⎭⎫x －1
m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．
分两种情形：
①当0<m ≤1时，1
m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；
②当m >1时，0<1
m <1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需
g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．
综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．
[类题通法]
1．判断函数零点个数的3种方法
2．利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法
[即学即用·练通]
1．函数f (x )＝log 3x －x ＋2必有一个零点的区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫19，13 B.⎝⎛⎭⎫13，5
9 C.⎝⎛⎭⎫59，79 D.⎝⎛⎭
⎫7
9，1 解析：选A 因为f (x )＝log 3x －x ＋2，
所以f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319－19＋2＝－2－19＋2＝－19<0，f ⎝⎛⎭⎫13＝log 313－13＋2＝－1－13＋2＝23>0， 即f ⎝⎛⎭⎫19·
f ⎝⎛⎭⎫13<0， 所以函数f (x )＝lo
g 3x －x ＋2在⎝⎛⎭⎫19，13上必有一个零点．
2．函数f (x )＝2x －2
x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)
D ．(0,2)
解析：选C 因为f (x )在(1,2)内单调递增，依题意有f (1)·f (2)<0，所以(－a )·(3－a )<0，所以0<a <3.
3．设f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝－x 2＋6x －5，函数g (x )是这样定义的：当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1(x )，当f 1(x )<f 2(x )时，g (x )＝f 2(x )，若方程g (x )＝a 有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，4)
B ．(0,4)
C ．(0,3)
D ．(3,4)
解析：选D 作出f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝－x 2＋6x －5的图象如图，函数g (x )的图象为两
函数中位置在上的部分(即图中实线部分)，
即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋1，x ≤1，－x 2
＋6x －5，1<x ≤4，
x －1，x >4，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x －1，
y ＝－x 2
＋6x －5， 得A (4,3)，
f 2(x )＝－x 2＋6x －5的顶点坐标为B (3,4)，
要使方程g (x )＝a 有四个不同的实数解，即函数g (x )的图象与函数y ＝a 的图象有四个不同交点，数形结合可得3<a <4，故选D.
[师生共研·悟通]
[典例] (2017·湖北七市(州)联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e
－kt
.如果在前5小时消除了10%的污
染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
[解析]前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入，得(e －
k )5＝0.9，
∴e －k ＝0.915，∴P ＝P 0e －
kt ＝P 0⎝⎛⎭⎫0.915t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝⎝⎛⎭
⎫0.91
5t ，解得t ＝10，即需要花费10小时． [答案]10 [类题通法]
应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
(1)一般程序：
读题文字语言⇨建模数学语言⇨求解数学应用⇨反馈
检验作答
(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
[即学即用·练通]
1．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过
1 000元，则调运方案的种数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C 设甲地调运x 台电脑至B 地，则剩下(6－x )台电脑调运至A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N)．则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，∴y ＝20x ＋960(x ∈N,0≤x ≤6)．若y ≤1 000，则20x ＋960≤1 000，得x ≤2.又0≤x ≤6，x ∈N ，∴x ＝0,1,2，即有3种调运方案．
2．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q (x )(百台)进行统计，得数据如下：
x (月份)变化关系的模拟函数是( )
A ．Q (x )＝ax ＋b (a ≠0)
B ．Q (x )＝a |x －4|＋b (a ≠0)
C ．Q (x )＝a (x －3)2＋b (a ≠0)
D ．Q (x )＝a ·b x (a ≠0，b >0且b ≠1)
解析：选C 观察数据可知，当x 增大时，Q (x )的值先增大后减小，且大约是关于Q (3)对称，故月销售量Q (x )(百台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x ＝3对称的，显然只有选项C 满足题意，故选C.
[专题过关检测]
A 级——常考点落实练
1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：选D 设幂函数f (x )＝x a ，则f (3)＝3a ＝3，解得a ＝12，则f (x )＝x 1
2＝x ，是非
奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．
2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)
D ．(4，＋∞)
解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
3．已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝( )
A ．1
B ．a
C ．2
D ．a 2
解析：选A ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2
＝0，又f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1.
4．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )
A ．4
B ．5.5
C ．8.5
D ．10
解析：选C 由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值．
5．已知函数f (x )＝6
x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,4)
D ．(4，＋∞)
解析：选C 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－1
2<0，
所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．
6．若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x
，则f (2)＋g (4)＝( ) A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
解析：选D 法一：∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x ＝2x ，∴g (x )＝log 2x ，
∴f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.
法二：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x
，∴f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2,4)，∵函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，∴函数g (x )的图象经过点(4,2)，∴f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.
7．(2017·云南第一次统一检测)设a ＝60.7，b ＝log 70.6，c ＝log 0.60.7，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c >b >a
B ．b >c >a
C ．c >a >b
D ．a >c >b
解析：选D 因为a ＝60.7>1，b ＝log 70.6<0,0<c ＝log 0.60.7<1，所以a >c >b .
8．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )
解析：选A 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A.
9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2e x －
1，x <2，log 3
(x 2
－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)
B ．(－4，－2)∪(－1,2)
C ．(1,2)∪(10，＋∞)
D ．(10，＋∞)
解析：选C 令2e x －
1>2(x <2)，解得1<x <2； 令log 3(x 2－1)>2(x ≥2)，解得x >10.
故不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)．
10．已知直线x ＝m (m ＞1)与函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，g (x )＝log b x (b ＞0且b ≠1)的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若AB ―→＝2BC ―→
，则( )
A ．b ＝a 2
B ．a ＝b 2
C ．b ＝a 3
D ．a ＝b 3
解析：选C 由于AB ―→＝2BC ―→，则AC ―→＝3BC ―→
，则点A 的坐标为(m,3g (m ))，又点A 在函数f (x )＝log a x 的图象上，故log a m ＝3log b m ，即log a m ＝log b m 3，由对数运算可知b ＝a 3.
B 级——易错点清零练
1．已知函数f (x )＝
1
log 1
2
(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )
A.⎝⎛⎭⎫－12，0
B.⎝⎛⎭
⎫－1
2，＋∞
C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞)
D.⎝⎛⎭
⎫－1
2，2 解析：选C 由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋1≠1，2x ＋1>0，解得x >－12且x ≠0.
2．已知a ＞1，f (x )＝a x 2
＋2x ，则使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是( )
A ．－1＜x ＜0
B ．－2＜x ＜1
C ．－2＜x ＜0
D ．0＜x ＜1
解析：选A ∵a ＞1，∴y ＝a x 在R 上为增函数，故f (x )<1⇔a x 2＋2x <1⇔a x 2
＋2x <a 0⇔
x 2＋2x <0⇔－2<x <0，结合选项可知，使f (x )＜1成立的一个充分不必要条件是－1＜x ＜0.
3．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( )
A ．f 2(x )与f 4(x )
B ．f 1(x )与f 3(x )
C ．f 1(x )与f 4(x )
D ．f 3(x )与f 4(x )
解析：选A f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.
4．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x m 2
－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，
当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是________．
解析：∵f (x )是幂函数，
∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.
若m ＝2，则f (x )＝x －
2，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；
若m ＝0，则f (x )＝x 2，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，满足条件， 故f (x )＝x 2.
当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，g (x )∈[2－k,4－k )， 即A ＝[1,4)，B ＝[2－k,4－k )， ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
2－k ≥1，4－k ≤4，解得0≤k ≤1. 答案：[0,1]
C 级——“12＋4”高考练
1．函数y ＝a x ＋
2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0)
B ．(0，－1)
C ．(－2,0)
D ．(－2，－1)
解析：选C 令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x
＋2
－1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－2,0)．
2．“1
a >1”是“函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 由1
a >1得0<a <1，
若函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增，则3－2a >1，解得a <1.
故“1
a >1”是“函数f (x )＝(3－2a )x 单调递增”的充分不必要条件．
3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M
N
最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073
D ．1093
解析：选D 因为lg 3361
＝361×lg 3≈361×0.48≈173，所以M ≈10173
，则M N ≈10173
1080＝
1093.
4．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B 函数f (x )＝|log
2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．
令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，画出函数的图象，如图．
由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的解的个数为2.
5．函数f (x )＝x 2lg x －2
x ＋2的图象( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于原点对称
C ．关于直线y ＝x 对称
D ．关于y 轴对称
解析：选B 因为f (x )＝x 2lg x －2
x ＋2
，所以其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f (－x )＝x 2lg
x ＋2x －2＝－x 2lg x －2
x ＋2
＝－f (x )，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．
6．(2018届高三·济南质检)已知a ＝2－13，b ＝(2log 23)－12，c ＝1
4⎠
⎛0
πsin x d x ，则实数a ，
b ，
c 的大小关系是( )
A ．a>c>b
B ．b>a>c
C ．a>b>c
D ．c>b>a
解析：选C 依题意得，a ＝2－13，b ＝3－12，c ＝－14cos x π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6
＝3－
3＝
1
27
，c 6＝⎝⎛⎭⎫126＝164，则a>b>c.
7．(2017·沈阳模拟)若函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是( )
ABCD
解析：选B 由函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)的图象可知，a ＝3，所以y ＝3－
x ，y ＝(－
x)3＝－x 3及y ＝log 3(－x)均为减函数，只有y ＝x 3是增函数，选B .
8．(2017·保定二模)李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L 甲＝－5x 2＋900x －16 000，L 乙＝300x －2 000(其中x 为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )
A ．11 000元
B ．22 000元
C ．33 000元
D ．40 000元
解析：选C 设甲连锁店销售x 辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，∴当x ＝60时，有最大利润33 000元．
9．(2018届高三·西安八校联考)已知在(0，＋∞)上函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2，0＜x ＜1，1，x ≥1，则不等
式log 2x －(log 1
4
4x －1)·f(log 3x ＋1)≤5的解集为( )
A .⎝⎛⎭⎫13，1
B ．[1,4]
C .⎝⎛⎦⎤13，4
D ．[1，＋∞)
解析：选C 原不等式等价于⎩
⎪⎨⎪⎧
log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5
或⎩⎪⎨⎪⎧
0＜log 3x ＋1＜1，log 2x ＋2⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5， 解得1≤x ≤4或1
3＜x ＜1，
所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤
13，4.
10．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若
⎪⎪⎪
⎪f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，1
e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，e
D ．(e ，＋∞)
解析：选C ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，
∴f (ln x )－f ⎝⎛⎭
⎫ln 1
x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )， ∴
⎪⎪⎪
⎪
f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2
<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，
又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴－1<ln x <1，解得1
e
<x <e.
11．(2017·南昌一模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，
所以x ∈(0,1)时f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减．因此，当x ＞0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝
e x 的大致图象如图所示，观察到函数y ＝
f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数
g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．
12．已知定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18.若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为( )
A.⎝⎛⎭⎫0，33
B.⎝⎛⎭⎫0，22
C.⎝
⎛⎭⎫0，
55 D.⎝
⎛⎭⎫0，66
解析：选A ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，f (x )是偶函数，∴f (1)＝0，∴f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为2的周期函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，作出函数y ＝f (x )与g (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所
示，∵两个函数图象在(0，＋∞)上至少有三个交点，∴g (2)＝log a 3>f (2)＝－2，且0<a <1，解得0<a <
33
. 13．计算：2log 410－12log 225＋82
3
－(π－3)0＝________.
解析：2log 410－12log 225＋823－(π－3)0＝2×12log 210－log 25＋(23)23－1＝log 210
5＋22－1＝1
＋4－1＝4.
答案：4
14．有四个函数：①y ＝x 12；②y ＝21－
x ；③y ＝ln(x ＋1)；④y ＝|1－x |.其中在区间(0,1)内
单调递减的函数的序号是________．
解析：分析题意可知①③显然不满足题意，画出②④中的函数图象(图略)，易知②④中的函数满足在(0,1)内单调递减．
答案：②④
15．(2017·宝鸡质检)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，
3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有
且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是________．
解析：依题意，由f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根得，函数y ＝f (x )
的图象与直线y ＝－x ＋a 有唯一公共点．在同一平面直角坐标系中画出直线y ＝－x 与函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，平移直线y ＝－x ，当平移到该直
线在y 轴上的截距大于1时，相应直线与函数y ＝f (x )的图象有唯一公共点，即此时关于x 的方程有且只有一个实数根，因此a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
16．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
64，x ≤0，
2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃ 时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：
①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；
②当x ∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是________．
解析：∵某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－1
2
，∴t ＝⎩⎪⎨⎪⎧
64，x ≤0，2－1
2x ＋6，x >0.
①当x ＝6时，t ＝8，故①正确；
②当x ∈[－6,0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少，故②错误；
③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t ＝2－1
2×11＋6＝2≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的
食品不在保鲜时间内，故③错误；
④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确． 所以正确结论的序号为①④. 答案：①④
保分专题(二) 导数的简单应用
[全国卷3年考情分析]
[师生共研·悟通]
1．导数的几何意义
函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．
2．四个易误导数公式 (1)(sin x )′＝cos x ； (2)(cos x )′＝－sin x ； (3)(a x )′＝a x ln a (a >0)； (4)(log a x )′＝
1
x ln a
(a >0，且a ≠1)． [典例] (1)已知M 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤
x 2
，1≤x ≤2，
y ≥0
表示的平面区域，直线l ：y ＝2x ＋a ，当a
从－2连续变化到0时，区域M 被直线l 扫过的面积为( )
A.7
3B ．2 C.32D ．43
[解析]选D 作出图形可得区域M 被直线l 扫过的面积为 S 2＝⎠⎛1
2x 2d x －S 1
＝13x 321－12×1×2 ＝1
3×(8－1)－1 ＝43
.
(2)(2017·昆明质检)若函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
4的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－3x ＋1，则ω＝___________________________________________________________.
[解析]由题意，得f ′(x )＝－2ωsin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，所以f ′(0)＝－2ωsin π
4＝－ω＝－3，所以ω＝3.
[答案]3
(3)(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1
－x ，则曲线y ＝f (x )在点
(1,2)处的切线方程是________．
[解析]设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －
1＋x .
∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝e x －
1＋x .
∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －
1＋1，
∴f ′(1)＝e 1－
1＋1＝1＋1＝2.
∴曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案]2x －y ＝0
[即学即用·练通]
1．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫
π2＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4
解析：选A ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π
2＋a ＝1，即a ＝0.
2．(2017·沈阳质检)设函数f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为9x ＋y －1＝0，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________．
解析：由已知得g ′(1)＝－9，g (1)＝－8， 又f ′(x )＝12g ′⎝⎛⎭
⎫x 2＋2x ，
∴f ′(2)＝12g ′(1)＋4＝－92＋4＝－1
2，
f (2)＝
g (1)＋4＝－4，
∴所求切线方程为y ＋4＝－1
2(x －2)，
即x ＋2y ＋6＝0. 答案：x ＋2y ＋6＝0
3.⎠
⎛1－1(x 2＋1－x 2)d x ＝________.
解析：⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 31－1＝23，而根据定积分的定义可知⎠⎛1－11－x 2d x 表示圆心在原点的单位圆的上半部分的面积，即半圆的面积，∴⎠
⎛1－1(x 2＋1－x 2)d x ＝23＋π
2.
答案：23＋π
2
[师生共研·悟通] 导数与函数单调性的关系
(1)f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.
(2)f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常数，函数不具有单调性．
[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ❶
.
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)若f (x )≥0❷
，求a 的取值范围．
[解答示范]
(一)搭桥——找突破口
第(1)问：欲讨论f (x )的单调性，应先求f (x )的定义域及导数f ′(x )，再讨论f ′(x )的符号；
第(2)问：欲求a 的取值范围，应想到找出有关a 的不等关系．由f (x )≥0，则应求f (x )的最小值，借助(1)的结论可得．
(二)建桥——寻关键点
[解](1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．
①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.
故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭
⎫－a 2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )＞0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减， 在⎝⎛⎭
⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.
②若a ＞0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a . 从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f (x )≥0.
③若a ＜0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2.从而当且仅当a 2⎣⎡⎦⎤3
4
－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0， 即－2e 3
4
≤a ＜0时，f (x )≥0.
综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2e 3
4，1.
[即学即用·练通]
1．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－2 6 ] B ．⎝⎛⎦
⎤－∞，
62 C ．[－26，＋∞) D ．[－5，＋∞)
解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2
＋ax ＋3
x
≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )
＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
－a 4≤1，
g (1)≥0⇔－26≤a ≤26或
a ≥－4⇔a ≥－2 6.
2．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝
log 2⎝
⎛⎭⎫x 2＋2
3bx ＋c 3的单调递减区间为( ) A ．⎣⎡⎭⎫1
2，＋∞B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)
解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ， 所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ， 由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪
⎨⎪⎧
b ＝－3
2，c ＝－18.
令g (x )＝x 2＋2
3bx ＋c 3
，
则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，
由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.
当x <－2时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝
⎛⎭⎫x 2＋2
3bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)． 3．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－4
3处取得极值．
(1)确定a 的值；
(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，
因为f (x )在x ＝－4
3处取得极值，所以f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0， 即3a ×169＋2×⎝⎛⎭⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝1
2. (2)由(1)得g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 3
＋x 2e x ， 故g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫1
2x 3＋x 2e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝1
2x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数； 当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．
综上知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)上为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)上为增函数.
[师生共研·悟通]
函数f (x )在点x 0附近有定义，若在x 0附近左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x 0)为函数f (x )的极大值；若在x 0附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x 0)为函数f (x )的极小值．
[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x ❶
.
(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程❷
；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π
2上的最大值和最小值❸
. [解答示范]
(一)搭桥——找突破口
第(1)问：欲求函数在某点处的切线方程，应知切线的斜率，即求f (x )在此点处的导函
数值；
第(2)问：欲求函数在某区间上的最值，应知f (x )在此区间的单调性，即判断f ′(x )在此区间上的正负．
(二)建桥——寻关键点
[解](1)因为f (x )＝e x cos x －x ，
所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，
所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，
则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π
2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x
)＜0.
所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π
2.
[即学即用·练通]
1．(2017·全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x
－1
的极值点，则f (x )的极小值
为( )
A ．－1
B ．－2e －
3
C ．5e －
3D ．1
解析：选A 因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －
1，
所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －
1＋(x 2＋ax －1)e x －
1
＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －
1.
因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x
－1
的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0
的根，
所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －
1＝(x ＋2)(x －1)e x －
1.
令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1， 令f ′(x )<0，解得－2<x <1，
所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1. 2．已知函数f (x )＝x x 2
＋a
(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为3
3，则a 的值为( )
A.3－1
B.3
4
C.4
3
D.3＋1 解析：选A 由f (x )＝x
x 2＋a 得f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，
当a ＞1时，若x ＞a ，则f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 若1＜x ＜a ，则f ′(x )>0，f (x )单调递增，
故当x ＝a 时，函数f (x )有最大值12a ＝33，得a ＝3
4＜1，不合题意；
当a ＝1时，函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f (1)＝1
2，不合题意；
当0＜a ＜1时，函数f (x )在 [1，＋∞)上单调递减，此时最大值为f (1)＝1a ＋1＝3
3，得
a ＝3－1，符合题意．
故a 的值为3－1.
3．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x .
(1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；
(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a
x ＋2＝a ＋2x x . 当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4
x .
所以当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减； 当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．
所以f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2. 所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2. (2)因为f ′(x )＝a ＋2x
x ，
所以当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值； 当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a
2，
所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－a
2，＋∞上单调递增； 由f ′(x )<0得，x <－a
2，
所以f (x )在⎝
⎛⎭⎫0，－a
2上单调递减． 所以当a <0时，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a
2－a . 根据题意得f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a ln ⎝⎛⎭⎫－a
2－a ≥－a ， 即a [ln(－a )－ln 2]≥0.
因为a <0，所以ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2， 所以实数a 的取值范围是[－2,0)．
[专题过关检测]
一、选择题
1．函数f (x )＝1
2x 2－ln x 的最小值为( )
A.1
2
B ．1
C ．0
D ．不存在
解析：选A ∵f ′(x )＝x －1x ＝x 2
－1
x ，且x >0.
令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.
∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝1
2.
2．函数f (x )＝x ＋1
x 的极值情况是( ) A ．当x ＝1时，取极小值2，但无极大值 B ．当x ＝－1时，取极大值－2，但无极小值
C ．当x ＝－1时，取极小值－2；当x ＝1时，取极大值2
D ．当x ＝－1时，取极大值－2；当x ＝1时，取极小值2 解析：选D f ′(x )＝1－1
x
2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，
函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减， 所以当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.
3．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a 的值为( ) A ．e －1
2
B ．2e －1
2
C ．e 12
D ．2e 1
2
解析：选B 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2
x 0
，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝e ，a ＝2e －12.
4．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．0
D ． 2
解析：选B ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a
2
≥1，得a ≥2.
又∵g ′(x )＝2x －a
x ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.
5．若函数f (x )＝x ＋b
x (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递
增的是( )
A ．(－2,0)
B ．(0,1)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－2) 解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b
x
2，
∵函数f (x )＝x ＋b
x (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，
令当1－b
x 2＝0，得b ＝x 2，
又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．
令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，
即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． ∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意．
6．已知f (x )＝ln x －x 4＋3
4x ，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，
使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎭⎫54，＋∞
B.⎣⎡⎭⎫－1
8，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－18，54D.⎝
⎛⎦⎤－∞，－54 解析：选A 因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2
＋4x －3
4x 2
＝－(x －1)(x －3)4x 2
， 易知，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝1
2
.
对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下， 所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得， 即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．
要使对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ， 即12≥g (1)且1
2
≥g (2)， 所以12≥－1－2a ＋4且1
2≥－4－4a ＋4，
解得a ≥54.
二、填空题
7．(2017·长春质检)⎠⎛1
e ⎝⎛⎭
⎫x ＋1
x d x ＝________. 解析：⎠⎛1
e ⎝⎛⎭
⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x e 1
＝e 22＋1－12＝e 2
＋1
2. 答案：e 2＋1
2
8．已知函数f(x)＝1
2x 2＋2ax －ln x ，若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．
解析：由题意知f ′(x)＝x ＋2a －1x ≥0在区间⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1
x
在区间⎣⎡⎦
⎤13，2上恒成立．
又∵y ＝－x ＋1
x 在区间⎣⎡⎦⎤13，2上单调递减， ∴⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.
答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞
9．已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ln x 2＋1
2的图象分别与直线y ＝m 交于A ，B 两点，则|AB|
的最小值为________．
解析：显然m ＞0，由e x ＝m 得x ＝ln m ，由ln x 2＋12＝m 得x ＝2e m －1
2，则|AB|＝2e m
－12－ln m ．令h(m)＝2e m －12－ln m ，由h ′(m)＝2e m －12－1m ＝0，求得m ＝12.当0＜m ＜1
2时，h ′(m)＜0，函数h(m)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减；当m ＞1
2
时，h ′(m)＞0，函数h(m)在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增．所以h(m)min ＝h ⎝⎛⎭
⎫12＝2＋ln 2，因此|AB|的最小值为2＋ln 2.
答案：2＋ln 2 三、解答题 10．已知函数f(x)＝
x
ln x
＋ax ，x>1. (1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f(x)的极小值． 解：(1)f ′(x)＝
ln x －1
ln 2x
＋a ， 由题意可得f ′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1ln 2x －1ln x ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14. ∵x ∈(1，＋∞)， ∴ln x ∈(0，＋∞)， ∴当
1ln x －12＝0时，函数t ＝⎝⎛⎭⎫1ln x －122－14的最小值为－1
4
，
∴a ≤－1
4，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－14. (2)当a ＝2时，f(x)＝
x
ln x
＋2x(x>1)， f ′(x)＝ln x －1＋2ln 2x
ln 2x
，
令f ′(x)＝0得2ln 2x ＋ln x －1＝0， 解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍去)，即x ＝e 1
2.
当1<x<e 12时，f ′(x)<0，当x>e 1
2时，f ′(x)>0，
∴f(x)的极小值为f(e 12)＝e 1
212
＋2e 12＝4e 1
2
.
11．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a ＜0时，证明f (x )≤－
3
4a
－2. 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1
x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x .
若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1
2a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭
⎫－1
2a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭
⎫－1
2a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－1
2a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－1
4a
.
所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋1
2a ＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1
x －1.
当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g(1)＝0.
所以当x ＞0时，g (x )≤0.
从而当a ＜0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋1
2a ＋1≤0， 即f (x )≤－3
4a
－2.
12．(2017·福州质检)已知函数f (x )＝aln x ＋x 2－ax (a ∈R)． (1)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间； (2)求g (x )＝f (x )－2x 在区间[1，e]上的最小值h (a )． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a
x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋a x ，
因为x ＝3是f (x )的极值点，
所以f ′(3)＝18－3a ＋a
3＝0，解得a ＝9，
所以f ′(x )＝2x 2－9x ＋9x ＝(2x －3)(x －3)
x ， 所以当0＜x ＜3
2或x ＞3时，f ′(x )＞0；
当3
2
＜x ＜3时，f ′(x )＜0. 所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，32，(3，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫3
2，3. (2)g (x )＝a ln x ＋x 2－ax －2x ，
则g ′(x )＝2x 2－ax ＋a x －2＝(2x －a )(x －1)
x . 令g ′(x )＝0，得x ＝a
2
或x ＝1.
①当a
2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上为增函数，
h (a )＝g (1)＝－a －1；
②当1＜a
2＜e ，即2＜a ＜2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上为增函数， h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14
a 2
－a ； ③当a
2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上为减函数，
h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.
综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－a －1，a ≤2，a ln a 2－1
4a 2－a ，2＜a ＜2e ，
(1－e )a ＋e 2
－2e ，a ≥2e.
保分专题(三) 三角函数的图象与性质
[全国卷3年考情分析]
[师生共研·悟通]
1．三角函数的定义
若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y
x (其中r ＝x 2＋y 2)． 2．利用诱导公式进行化简求值的步骤
利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)
3．基本关系
sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝
sin x
cos x
. [典例] (1)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－3
5，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan(π－α)＝( ) A.43B ．2
3 C ．－23
D ．－43
[解析]选A 由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得sin α＝1－cos 2α＝45， 所以tan(π－α)＝－tan α＝－sin α
cos α＝－4
5－35
＝43
.
(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)
cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭
⎫9π2＋α的值为________．
[解析]原式＝
－sin α·sin α
－sin α·cos α
＝tan α.
根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－3
4，
故原式＝－3
4.
[答案]－3
4
[即学即用·练通]
1．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝1
3
，则sin β＝________.
解析：法一：当角α的终边在第一象限时，取角α终边上一点P 1(22，1)，其关于y 轴的对称点(－22，1)在角β的终边上，此时sin β＝1
3；当角α的终边在第二象限时，取角
α终边上一点P 2(－22，1)，其关于y 轴的对称点(22，1)在角β的终边上，此时sin β＝1
3
.
综上可得sin β＝1
3
.
法二：令角α与角β均在区间(0，π)内，故角α与角β互补，得sin β＝sin α＝1
3.
法三：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝1
3
(k ∈Z)．
答案：1
3
2．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫
3π2－θ＝________.
解析：因为
1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝
(sin θ－cos θ)2＝|sin θ
－cos θ|，又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以原式＝sin θ－cos θ.
答案：sin θ－cos θ
[师生共研·悟通] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象
(1)“五点法”作图
设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π
2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．
(2)图象变换 y ＝sin x 的图象
――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度
y ＝sin(x ＋φ)的图象错误!y ＝sin(ωx ＋φ)的图象错误!y ＝
A sin(ωx ＋φ)的图象．
[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π
3，则下面结论正确的是( )
A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π
6个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π
12个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个
单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π
12个单位长度，得到曲线C 2
[解析]选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π
12
个单。