(精品word)2018高考数学文科(北京卷)含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文)(北京卷)
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将 本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合A = {x| ;
x £2}, B = {—2,0,1,2},则 A"B =
(A ) {0,1} (B ) {-1,0,1} (C ) {-2,0,1,2} (D ) {-1,0,1,2}
(2)在复平面内，复数
1
——的共轭复数对应的点位于
1 -i
(A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限
(D )第四象限
(A )
(B )-
(4)设 a ，b ，c ， d 是非零实数，则 (A )充分而不必要条件 (C)- (D )
7 12
ad 二be ”是“ a ，b ，c ，d 成等比数列”的
(B )必要而不充分条件 (C
)充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件
(3)执行如图所示的程序框图，输出的S值为
(5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重
要贡献•十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率 与它的前一个单音的频率的比都等于 1
2
2 •若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为
(A 3 2f ( B )‘丹 (C )12 尹 f
( D )12 27 f
(6)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
(A) 1 (C ) 3
(7)在平面坐标系中，
AB,CD,EF,GH 是圆x 2 +y 2=1上的四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角«
边，0P 为终边，若tan : : co^ : sin ,贝U p 所在的圆弧是
(A ) AB ( B ) CD (C ) EF
( D ) GH
(8)设集合 A ={(x,y)|x -y _1,ax y 4,x - ay 乞2},则
(A) 对任意实数a , (2,1) • A (B) 对任意实数a ,
( 2,1 ) - A
(C) 当且仅当 a ::: 0 时，(2,1 ) ：「A
3
(D) 当且仅当a 时，(2,1 )，A
第二部分(非选择题
共110 分)
(B ) 2 (D) 4
以Ox 为始
、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9) 设向量a = (1,0) , b = (—1,m),若a 丄(m a — b)，则m = _______ .
(10) 已知直线|过点(1,0 )且垂直于x轴，若|被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为__________________
1 i
(11) __________________________________________________________________ 能说明“若a Ab，则丄£丄”为假命题的一组a，b的值依次为______________________________________________________ .
a b
(12) 若双曲线笃1(a . 0)的离心率为上5，则a=_______________ .
a 4 2
(13) _____________________________________________________ 若x, y满足x +1兰y兰2x，贝y 2y —x的最小值是________________________________________________________________ .
(14) __________________________________________________________________ 若厶ABC的面积为』3(a2+c2—b2),且N C为钝角，则N B= __________________________________________ ;-的取值范围是 ___________ .
4 a
三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15) (本小题13分)
设｛a n｝是等差数列，且a^ln2,a2 a^5ln 2.
(i)求｛a n｝的通项公式；
(n)求e a1 e a^|| ■ e an.
(16) (本小题13分)
已知函数f(x)二sin2x「.3sinxcosx.
(i) 求f (x)的最小正周期；
— 3
(n)若f (x)在区间［,m］上的最大值为，求m的最小值.
3 2
(17) (本小题13分)
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值
(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(n)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科*网
(川)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两
类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
(18) (本小题14分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD—平面ABCD , PA—PD , PA二PD , E , F
分别为AD , PB 的中点•
(I)求证： PE _ BC ; (n)求证： 平面PAB _平面PCD ; (川)求证：
EF 二平面 PCD .
(19) (本小题13分)
设函数 f (x)二[ax ' 一(3a 1)x 3a 2]e x .
(I)若曲线y = f (x)在点(2, f (2))处的切线斜率为o ，求a ； (n)若f (x)在x=1处取得极小值，求a 的取值范围 (20) (本小题14分)
2 2
已知椭圆M :笃爲=1(a b 0)的离心率为
a b
点 A , B .
(I)求椭圆M 的方程;
(n)若k =1，求|AB |的最大值;
(川)设P( -2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为 C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为 D .若C , D 和点
7 1 Q(,)共线，求k .
4 2
焦距为2、、2 .斜率为k 的直线I 与椭圆M 有两个不同的交
B
••• a 2 a 3 =51 n 2 ,
二 2耳 3d =51 n 2 , 又a^i = In 2，二 d =l n2. 二 a n = & （n 「1）d = n In 2 . （II ）由（I ）知 a n = nln2 ,
••• ｛e an ｝是以2为首项，2为公比的等比数列 e ai
Jl 「e an =e ln2 e In2^H ' e ln2"
=2 22 川 2n =2n 1 -2.
• e ai ■ e a MII ■ e an =2n 1 -2.
1. A
2. D
3. B
4. B
5. D
6. C 9. -1 10. （1,0） 11. 1 -1 （答案不唯一） 12 . 4 13. 3
14 . 60 （2,：：
） 15.（共 13 分）
解：（I ）设等差数列｛a n ｝的公差为d ,
参考答案 7. C 8. D
e an
=e nln2 =e ln »=2n
16. （共13 分）
【解析】(I) f (x) = —C°s2x 3sin2x 3 sin 2xcos2x 1 = sin(2x-
2 2 2 2 2
2冗
所以f(x)的最小正周期为T =-- = n.
2
n 1
(n)由(I)知f(x)二sin(2x ) •—.
6 2
n n 5 n n
因为x ［,m］，所以2x ［,2m ］.
3 6 6 6
. n 3 n n
要使得f(x)在［,m］上的最大值为，即sin(2x )在［,m］上的最大值为1.
3 2 6 3
n n n
所以2m ，即m
6 2 3
所以m的最小值为-.
3
17. (共13 分)
(I)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200X 0.25=50 ,
50
故所求概率为----- =0 025.
2000
(n)方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140X 0. 4+50X 0. 2+300X 0. 15+200X 0. 25+800X 0. 2+510X 0. 1
=56+10+45+50+160+51
=372.
372
故所求概率估计为1 --- ----- 0.814 .
2000
方法二：设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B
没有获得好评的电影共有140X 0.6+50 X 0.8+300 X 0.85+200 X 0.75+800 X 0.8+510 X 0.9
由古典概型概率公式得P(B)二1628二0.814 .
2000
(川)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
18. (共14 分)
【解析】(I)：PA二PD，且E为AD的中点，••• PE_AD.
•••底面ABCD为矩形，• BC// AD , 6） 2，
=1628 部.
•PE _BC.
(n)：底面ABCD为矩形，• AB_AD.
•••平面PAD —平面ABCD ,• AB —平面PAD .
•AB —PD .又PA —PD ,学科.网
:PD —平面PAB，•平面PAB _平面PCD .
1 ••• F,G 分别为PB 和PC 的中点，••• FG// BC，且FG BC .
2 •••四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
1
•- ED / BC, DE BC ,
2
•ED / FG，且ED二FG，•四边形EFGD为平行四边形，
•EF // GD .
又EF二平面PCD , GD 平面PCD ,
•- EF // 平面PCD .
19. (13 分)
解：(I)因为f (x)二[ax2—(3a 1)x - 3a 2]e x,
所以f (x)二[ax2-(a 1)x 1]e x.
f ⑵=(2a - 1)e2,
2 1
由题设知「(2) = 0 ,即(2 a -1)e = 0 ,解得a = —.
2
(n)方法一：由(I)得f (x) =[ax2—(a 1)x 1]e x=(ax— 1)(x—1)e x.
1
若a>1,则当(一，1)时，f (x) ：：： 0 ；
a
当x (1,：：)时，f (x) 0.
所以f (x)在x=1处取得极小值.
(川)如图，取PC中点G，连接FG,GD .
若a釘，则当(0,1)时，ax—1岂x—1 ：：： 0,所以f (x) 0.
所以1不是f (x)的极小值点.
综上可知，a的取值范围是(1,母).
f (x)二(ax -1)(x -1)e x.
方法
二：
(1 )当a=0 时，令f (x) = 0 得x=1.
f (x), f(x)随x的变化情况如下表：
••• f (x)在x=1处取得极大值，不合题意•
1
(2 )当a>0 时，令f (x) =0 得捲,x2=1.
a
2 x
①当x— = x2，即a=i 时，f (x) = (x -1) e _0 ,
• f(x)在R上单调递增，
•- f(x)无极值，不合题意.
②当x— x2，即0<a<1时，f (x), f (x)随x的变化情况如下表:
• 在x=1处取得极大值，不合题意.
③当x—：：： x2，即a>1时，f (x), f (x)随x的变化情况如下表:
■- f(x)在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
—
(3)当a<0 时，令f (x) =0 得x— = —,x2 =1.
a
f (x), f(x)随x的变化情况如下表：
20.
f(x)极小值/ 极大值
f (x)在x=1处取得极大值，不合题意
综上所述，a的取值范围为(1,母).
(共14分)
【解析】(I)由题意得2c = 2迈，所以c ,
又e = c 6，所以a “3，所以b2 =a2 -c2 =1, a 3
2
所以椭圆M的标准方程为—y2 =1 .
3
(n)设直线AB的方程为y = x • m,
由
y = x m
消去y可得4x2 6mx 3m2 -3 = 0
则.;.=36m2—4 4(3m2—3) =48 —12m2 0，即m2 ::: 4 ,
设A(x「y1), B(X2,y2)，则为《
2
3m 3m -3
, X1X2 =
,
2 4
则| AB |= .1 k2 |捲-x2 |= .1 k2(x「x2)^4x1x2
、、64 -m2
2
易得当m2=0时，1 AB I max6，故| AB |的最大值为6 .
(出)设A(X1,yJ , B(X2,y2), Cgy?) , D^y), 则X1 3y1 - 3 ①，
X2 3y2 - 3 ②，
y1
又P(20)，所以可设k1 f 丁，直线PA的方程为^k1(x 2)，
y k/x 2)
由X22消去y 可得(1 3k；)x2 12k；x 12k；-3 = 0 ,
则x1x312k^，即x312k^ -x1,
1 3 1 3k1
2
3 1 3k：1
又k1二匕，代入①式可得
- 7 x<| -12
4x17 ，所以y3 =
%
4x, 7
7x1 -12 y17x2-12 J2、所以C（药〒，刁），同理可得D（2T〒，忑〒）-
y i y2
7 1 故QC"严一4 ,
7 1
QD =(人,y4 ),
4 4
7 1 7 1
因为Q,C,D 三点共线，所以(x3)(y4)-(x4)(y3)=0,
4 4 4 4
y 一 y2
将点C, D的坐标代入化简可得1一- =1，即k =1 •
X〔一X?。