高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质教

2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
疱丁巧解牛
知识·巧学
一、直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线平行.
符号语言：a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
直线与平面垂直的性质可以作为线线平行的判定定理.同时有如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线上各点到平面的距离相等.
二、面面垂直的性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：α⊥β,α∩β=l,a⊆β,a⊥l⇒a⊥β.
只要有两个平面垂直，那么向交线作垂线便得线面垂直，进一步更有线与线的垂直.平面与平面垂直的判定与性质相互结合，为证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧.
简言之:面面垂直,则线面垂直.
三、线线、线面、面面垂直关系的转化：
运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.
平面与平面的垂直,一般将直线与直线垂直、直线与平面垂直三者结合在一起.
问题·探究
问题1 在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的.在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？
探究:根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面，可推出若干平行杆都和工件表面垂直.
问题2 应用两平面垂直的性质证题时，有哪些需要注意的地方？
探究:需要注意的地方有三个：(1)两个垂直的平面；(2)两垂直平面的交线；(3)在其中一个平面内作垂直于交线的直线.
典题·热题
例1 如图2-3-12，在△ABC中，∠BAC=60°，线段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H为垂足.
图2-3-12
求证：H不可能是△BCD的垂心.
思路解析：证明“不可能”无法下手，从反面“可能”考虑，用反证法.
证明：假设H是△BCD的垂心，则BH⊥CD.
∵AH⊥平面DBC，DC⊂平面DBC，∴AH⊥DC.
∵AH∩BH=H，∴CD⊥平面ABH.
又AB⊂平面ABH，∴AB⊥CD.
∵AD⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AD⊥AB.
由于AD∩CD=D，
∴AB⊥平面ACD.
∵AC⊂平面ACD，
∴AB⊥AC.
这与已知中∠BAC=60°相矛盾.
∴假设不成立.故H不可能是△BCD的垂心.
误区警示证明“不可能”“至多”“至少”“没有”“不等”等类型的问题，直接证明不好入手，通常采用反证法.要掌握反证法证题的基本步骤.
例2 如图2-3-13，在四面体ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，求证:AC⊥BD.
图2-3-13
思路解析：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直的定义(或性质)得出线线垂直.
证明：过A作AO⊥平面BCD，垂足为O，
则AO⊥CD.
∵AB⊥CD，AO∩AB=A，∴CD⊥平面ABO.
∵BO⊂平面ABO，∴CD⊥BO.
同理,BC⊥DO.
则O为△BCD的垂心，
∴CO⊥BD.
∵AO⊥BD，CO∩AO=O，
∴BD⊥平面ACO.
又∵AC⊂平面ACO，∴AC⊥BD.
深化升华从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解(证)题中的作用.
例3 如图2-3-14,空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA=45°，∠PBC=60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC.
图2-3-14
思路解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.
证明：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°.
在Rt△APB中，∵∠ABP=45°，设PA=a，
2.∵PB⊥PC，在Rt△PBC中，
则PB=a，AB=a
∵∠PBC=60°，PB=a,∴BC=2a，PC=a3.
∵AP⊥PC,∴在Rt△APC 中，AC=2222)3(a a PC PA +=+=2a.
(1)∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB.
∴BC 在平面PAB 上的射影是BP,
∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角.
∵∠PBC=60°，∴BC 与平面PBA 所成的角为60°.
(2)由上知，PA=PB=a ，AC=BC=2a,
∴M 为AB 的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.
∴AB⊥平面PCM.
深化升华 本题关键要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径. 例4 如图2-3-15，已知平面PAB⊥平面ABC ，平面PAC⊥平面ABC ，AE⊥平面PBC ，E 为垂足.
(1)求证：PA⊥平面ABC ；
(2)当E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形.
图2-3-15
思路解析：已知条件“平面PAB⊥平面ABC ，…”，使我们想到面面垂直的性质定理，便有如下解法.
证明：(1)在平面ABC 内取一点D ，作DF ⊥AC 于F.
平面PAC⊥平面ABC ，且交线为AC ，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA ⊂平面PAC ，∴DF⊥AP.
作DG⊥AB 于G.同理，可证DG⊥AP.
DG 、DF 都在平面ABC 内，
∴PA⊥平面ABC.
(2)连结BE 并延长交PC 于H.
∵E 是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE.
又已知AE 是平面PBC 的垂线，∴PC⊥AB.
∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC ，∴PA⊥AB.
∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，
即△ABC 是直角三角形.
方法归纳 (1)已知两个平面垂直时，通常利用面面垂直的性质定理，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面.于是面面垂直转化为线面垂直.由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.
(2)的关键是要灵活利用(1)题的结论.
例5 已知平面α∩平面β=直线a ，α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b ，如图2-3-16，求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.
思路解析：由求证想判定，欲证线面垂直可转证线线垂直或面面垂直.由已知想性质，面面垂直必能得到线面垂直.
证明：(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC，在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.
图2-3-16
∵γ⊥α，∴PM⊥α.
而a ⊂α，∴PM⊥a.
同理，PN⊥a.又PM ⊂γ,PN ⊂γ,
∴a⊥γ.
(2)在直线a 上任取一点Q ，过b 与Q 作一个平面交α于直线a 1，交β于直线a 2. ∵b∥α,∴b∥a 1.
同理,b∥a 2.又∵a 1、a 2都过点Q 且平行于b,
∴a 1与a 2重合.又a 1⊂α,a 2⊂β,∴a 1与a 2重合且是α、β的交线，重合于a. ∵b∥a 1，∴b∥a.∵a⊥γ，∴b⊥γ.
深化升华 证明线面垂直不仅可利用线面垂直的判定定理，也可利用面面垂直的性质定理. 例6 等边△ABC 的边长为a ，沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ⊥平面PBCQ ，设点A 到直线PQ 的距离为x ，AB 的距离为d.
(1)x 为何值时，d 2取得最小值?最小值是多少？
(2)若∠BAC=θ，求cosθ的最小值.
思路解析：要注意作出正确的图形，构造恰当的函数模型.
解：(1)图2-3-17(1)为折叠前的对照图，图2-3-17(2)为折叠后的空间图形.
(1) (2)
图2-3-17
∵平面APQ⊥平面PBCQ ，AR⊥PQ，∴AR⊥平面PBCQ.
∴AR⊥RB.
BR 2=BD 2+RD 2=(a 2
1)2+(x a -23)2,AR 2=x 2. 故d 2=BR 2+AR 2=2232a ax x +-(a x 2
30<<). ∴当x=a 4
3时. d 2取得最小值285a . (2)∵AB=AC=d,BC=a，
∴在等腰△ABC 中，由余弦定理得cosθ=22
222d
a d -, 即cosθ=2221d a -.当d 2=28
5a 时，cosθ取得最小值51. 方法归纳 (1)一般地,求最值问题首先要得到目标函数(求谁的最值，即推谁为目标函数，如
本题中的d 2和cosθ)，然后再借助于函数求最值的方法(如配方法、平均值法、判别式法、三角法、反函数法及构造法等).
(2)求角度问题、求距离问题是立体几何中的两大类计算题，它从数量关系上刻画空间图形位置关系.立体几何中涉及到的距离有七种：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平面内两平行线间的距离、两条异面直线间的距离(不作研究，了解即可)、与平面平行的直线到平面的距离、两平行平面间的距离.。