(浙江版)高考数学一轮复习专题9.9圆锥曲线的综合问题(练)(2021学年)

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第九节圆锥曲线的综合问题
A 基础巩固训练
1。

【2０１８届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设椭圆E:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右顶
点为A，右焦点为F, B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C, O为原点,若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为( )
A。

1
2
B。

1
3
C.
1
4
Ｄ．
1
5
【答案】B
【解析】
2.【2018届河南省中原名校高三上第一次联考】已知抛物线Ｃ：=4x,过抛物线Ｃ焦点F的直线ｌ交抛物线Ｃ于Ａ、B两点（点A在第一象限)，且交抛物线C的准线于点E．若＝2,则直线l的斜率为
Ａ. 3 B。

2Ｃ。

D。

１
【答案】Ｂ
【解析】分别过A和D两点做AＤ、BC垂直于准线,交准线于D、Ｃ两点垂足分别为D，C，
设，,由抛物线的定义可知：,，
由=2,则B为AE的中点，
则=2,即
在中,,，∴ｎ
tａn∠CBE=＝，
直线ｌ的斜率ｋ=tan∠A Fx=ｔａn∠ＣBＥ=,
故选:Ｂ．
3.【２0１８届云南省昆明一中高三第二次月考】已知点()
3,0
A-, ()
3,0
B,动点P满足2
PA PB
=,则点P的轨迹为（ )
A。

直线Ｂ。

圆Ｃ。

椭圆Ｄ。

双曲线
【答案】Ｂ
4．【2018届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】设点P是椭圆
22
22
1
x y
a b
+=(0
a b
>>)上一点，
Ｆ1,F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心,若Ｓ△IPF１+S△ＩPF2＝2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是
A。

1
2
Ｂ．
2
2
Ｃ。

3
D.
1
4
【答案】Ａ
【解析】设
P 12F F 的内切圆半径为ｒ,则由1
IPF S
＋2
IPF S
=２12
IF F S
得121211122
2
2
PF r PF r F F r ⨯+⨯=⨯⨯ 即P 1F ＋P 2F =212F F 即222a c =⨯
∴椭圆的离心率1
2
c e a =
= 故选Ａ
5.【2018届云南省名校月考（一）】已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点, l 是C 的准线, P 是C 上一点,点M 在l 上，若4FM FP =，则直线FP 的方程为( )
A. ()152y x =±- Ｂ。

()222y x =±- C 。

()32y x =±- D 。

()232y x =±- 【答案】B
B 能力提升训练
1．【20１7届江西省抚州市临川区第一中学高三4月模拟】已知B 、C 为单位圆上不重合的两个定点, A 为此单位圆上的动点，若点P 满足AP PB PC =+,则点P 的轨迹为( ) A 。

椭圆 B. 双曲线 C 。

抛物线 D. 圆 【答案】Ｄ
【解析】设(),P x y , ()cos ,sin A θθ, ()11,B x y , ()22,C x y ，设单位圆圆心为O ，则根据AP PB PC =+可有： 0PA PB PC ++=，所以点P 为ABC ∆的重心,根据重心坐标公式有
121
2cos 3
{sin 3x x x y y y θ
θ++=
++= ，整理得22
12121339x x y y x y ++⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以点P 的轨迹为圆,故选择D. ２。

【2０17届浙江省嘉兴市第一中学高三适应性考试】已知,,A B C 是抛物线24y x =上不同的
三点,且AB ∥y 轴, 90ACB ∠=，点C 在AB 边上的射影为D ,则AD BD ⋅=( ） A ． １6 B. 8 C ． 4 D 。

２ 【答案】A
【解析】设()()224,4,4,4A t t B t t -, ()24,4C m m ,因为90ACB ∠=,所以
()
()
2
22
2216160t m t m -+-=，因此221m t -=-,因为2244CD t m =-=且在Rt ABC ∆中,
2
AD BD CD ⋅=，所以16AD BD ⋅=．
3.【201７届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟】平面直角坐标系中,已知O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为(1,1)、()3,3-。

若动点P 满足OP OA OB λμ=+，其中λ、R μ∈,且1λμ+=，则点P 的轨迹方程为（ ) A. 0x y -= Ｂ. 0x y +=
C 。

230x y +-= D. ()()2
2
125x y ++-= 【答案】C
４。

【2０17届山西省临汾市高三考前训练（三)】已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶
点分别为,A B ，点,M N 是椭圆C 上关于长轴对称的两点,若直线AM 与BN 相交于点P ,则点P 的轨迹方程是 ( ）
A 。

()0x a y =±≠
B 。

()()220y b x a y =-≠
C 。

()2
2
2
2
0x y a b y +=+≠ D 。

()22
2210x y y a b
-=≠
【答案】D
【解析】解:设点()()cos ,sin ,cos ,sin M a b N a b θθθθ- ,且()(),0,,0A a B a - ,则： 直线AM 的方程为： ()0sin sin cos cos b y b x a a a θ
θθθ
--=
--- ,
直线B Ｎ的方程为: ()0sin sin cos cos b y b x a a a θ
θθθ
++=
-- ,
消去参数θ 可得点P 的轨迹方程是 ()22
2210x y y a b
-=≠。

本题选择D 选项.
5【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下学期五校联考】已知双曲
线2
2
1y x m
-=的焦点为F 1、Ｆ2，渐近线为ｌ１,l ２,过点F 2且与ｌ1平行的直线交l ２于M ，若1
20FM F M ⋅=,则m 的值为 （ ） A. １ Ｂ。

3 C 。

2 D 。

3 【答案】D
C 思维扩展训练
1。

【2０1７ 届浙江省杭州高级中学高三２月高考模拟】如图,点P 在正方体1111ABCD A BC D -的表面上运动,且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等,如果将正方体在平面内展开，那么动点
P 的轨迹在展开图中的形状是( ）
Ａ. B。

C。

D。

【答案】B
故排除C,D，
同理可得，
在平面ABＢ1A1上,
点P到点B的距离与到直线C1D1的距离相等，
从而排除A，
本题选择Ｂ选项.
２.【2017届江苏省如皋市高三下学期联考（二)】动直线与函数的图像交于A、B两点,点是平面上的动点,满足,则的取值范围为__＿_.【答案】
|PＡ＋PB｜=|−２m−2nｉ｜＝２,
|ｍ+nｉ｜＝1,
即m2＋n2＝1是一个圆,即P的轨迹是以（３,4）为圆心的单位圆,
∴x２+y2的取值范围为[16,36],
故答案为［１６，36］.
3.【２018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三联考】已知椭圆
的离心率为,长轴的一个顶点为,短轴的一个顶点为，为坐标原点,且。

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
（Ⅱ)直线与椭圆交于两点,且直线不经过点。

记直线的斜率分别为,试探究是否为定值.若是，请求出该定值,若不是,请说明理由.
【答案】（１) ；(２）为定值,该定值为０．
【解析】试题分析:（１)布列方程组求椭圆的标准方程;(2)联立方程，利用维达定理表示，即可得到定值。

.
试题解析：
（Ⅰ）由题意知,,解得,
故椭圆的方程为
（Ⅱ）结论:,证明如下：
设,
联立,得,
,解得,
.
，。

综上所述,为定值，该定值为0.
4.【２018届广东省汕头市金山中学高三上学期期中】在平面直角坐标系xoy中,设点F (１，0)，直线l：1
x=-,点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，异于点Ｒ的点Ｑ满足：⊥。

⊥，PQ l
RQ FP
(１)求动点Q的轨迹的方程；
(2) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 。

CD ,设AB ． CD 的中点分别为M N ，. 问直线MN 是否经过某个定点?如果是,求出该定点， 如果不是，说明理由．
【答案】(Ⅰ) 24(0)y x x =>;（Ⅱ）以直线MN 恒过定点R ()3,0．
试题解析：(Ⅰ)依题意知，直线l 的方程为： 1x =-.点R 是线段FP 的中点, 且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线. ∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．
∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =． 故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点， l 为准线的抛物线， 其方程为: 24(0)y x x =>．
（Ⅱ） 设()(),,,A A B B A x y B x y ， ()(),,M M N N M x y N x y ，,
由AB ⊥CD,且AB 、CD 与抛物线均有两个不同的交点，故直线A Ｂ、C Ｄ斜率均存在,设直线A Ｂ
的方程为()1y k x =-
则()()
2241{ 42A A
B B y x y x == (1）—（２)得4A B y y k +=，即2M y k =, 代入方程()1y k x =-，解得221M x k =+.所以点Ｍ的坐标为2221,k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 同理可得: N 的坐标为()221,2k k +-.
直线MN 的斜率为21M N MN M N y y k k x x k -=
=--,方程为 ()
222211k y k x k k +=---，整理得()()213y k k x -=-, 显然,不论k 为何值, ()3,0均满足方程，所以直线MN 恒过定点R ()3,0.
５．【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】已知点为圆
上一动点,轴于点,若动点满足
(其中为非零常数） (1）求动点的轨迹方程;
（２)当时,得到动点的轨迹为曲线,斜率为1的直线与曲线相交于，两点，求面积的最大值。

【答案】(１)(2)
试题解析:解：（Ⅰ)设动点，则,且，①
又，得,
代入①得动点的轨迹方程为．
(Ⅱ)当时,动点的轨迹曲线为．
设直线的方程为,代入中，
得，
由，∴,
设，,
∵点到直线的距离,,
,
当且仅当,即时取到最大值.
∴面积的最大值为．
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