导数复习提纲

导数复习摘要
（一） 主要知识及主要方法： 一 导数的概念 Ⅰ.导数的定义
导数的原始定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x
y ∆∆(也叫函
数的平均变化率)有极限即x
y ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0
x x →处的导数，记作0
/
x x y =，即x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
()(lim
)(000
0/
定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成
00000
()()
()()
()lim
lim
x o
x x f x x f x f x f x f x x
x x ∆→→+∆--'==∆-.
导函数的定义：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，
简称导数。

也可记作y '，即()f x '＝y '＝x
x f x x f x
y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)
()(lim
lim 0
函数)(x f y =在0x 处的导数0
x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0
x 处的函数值，即0
x x y ='
＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '
可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导。

可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件. Ⅱ.导数的实际意义： 导数的几何意义：
导数/0()f x 是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 故
/
0()f x 是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率
因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲
线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 导数的物理意义：
导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。

⑴利用定义求函数)(x f y =的导数 主要有三个步骤：
ⅰ求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆
ⅱ求平均变化率
x
y =
∆∆
ⅲ取极限，得导数/y ＝()f x '=x
y x ∆∆→∆0
lim
⑵利用导数的实际意义解题
主要有两种：求切线方程和瞬时速度（考试重点为求切线方程）。

利用导数求切线：切点→导数→斜率→倾斜角 注意：ⅰ所给点是切点吗？
ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线？
二 导数的运算
Ⅰ.常见函数的导数
1．0='C 2 1
)(-='n n nx x
3．x x e e =')( a a a x
x ln )(='
5．1(ln )x x
'=
a
x e x
x a
a
ln 1log
1)(log =
='
7．x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' Ⅱ.导数的四则运算
1．和差：()u v u v '''±=±
2．积： v u v u uv '+'=')(
3．商： 2)(v
v u v u v u '
-'=' Ⅲ.复合函数的导数：
设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'
复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数即：
[]()()()f g x f g g x '''=⋅
三 导数的应用
Ⅰ.利用导数判断函数单调性及求解单调区间
导数和函数单调性的关系： 一般的，设函数y=f(x)在某个区间内有导数， 如果在这个区间内有f '(x)>0, 那么f(x)为这个区间内的增函数, 对应区间为增区间； 如果在这个区间内有
f '(x)<0，那么
f(x)为这个区间内的减函数，对应区间为减区间。

利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： ①确定)(x f 的定义域； ②计算导数)(/x f ； ③求出0)(/=x f 的根；
④用0)(/=x f 的根将)(x f 的定义域分成若干个区间列表考察这若干个区间内)(/x f 的符号，进而确定)(x f 的单调区间： )(0)(x f x f ⇒>'对应增区间；)(0)(x f x f ⇒<'对应减区间； Ⅱ.利用导数求解函数极值与最值。

极值与最值的定义：（包含两点）
极大值:一般地，设函数y=f(x)在点0x x =附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有)(x f ＜f(0x )，就说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值，记作y 极大值，点（)(,00x f x ）是极大值点
极小值：一般地，设函数y=f(x)在点0x x =附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有)(x f ＞f(0x ),就说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值，记作y 极小值，点（)(,00x f x ）是极小值点
函数的最大值和最小值：
在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

极值的性质：
极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值。

函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最
小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
判别)(0x f 是极大、极小值的方法:：
若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，
0x 两侧满足“左负右正”
，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值利用导数求极值的步骤：（ 极值定义包含两点） ⅰ确定定义区间，求导数)(x f '； ⅱ求方程0)(='x f 的根； ⅲ列表得极值点； ⅳ求出极值
利用导数求函数的最值步骤: ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；
⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值
Ⅲ.利用导数求解证明不等式的主要方法：
ⅰ构造函数：将不等式()()t x g x ≥左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数()()()f x t x g x =-； ⅱ求极值得证不等式：通过对()f x 求导，根据()f x '的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明。

（二）例题选举： 例1．()1已知000
(2)()
lim
13x f x x f x x
→--=△△△，求0()
f x '
()2设函数()f x 在点0x 处可导，求000
()()
lim
2h f x h f x h h
→+--
()3（07届高三皖南八校联考）已知2
()2(2)
f x x xf =
+'，则(2)f '=
例2．求下列函数的导数：
()
1()
2
1sin y x =+； ()2
y =
()3ln y =； ()411
x
x
e y e +=
-；
()
52sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭； ()6ln x y e x =⋅ ()7sin 1cos x y x =
+； ()832x x x y e e =⋅-+
例3.（1）利用导数求和S n =1+2x+3x 2+…+nx n －1(x ≠0,n ∈N *
)
（2）利用导数求和S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n
n ,(n ∈N *)
例4．（1）（08全国Ⅰ文）曲线y =x 3－2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 （ ）
.A 30°
.B 45°
.C 60°
.D 12°
（2）（07全国Ⅱ文）已知曲线2
4
x
y =
的一条切线的斜率为12
，则切点的横坐标为 （ ）
.A 1
.B 2 .C 3 .D 4
（3）（06全国Ⅱ文）过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（ ）
.A 220x y ++= .B 330
x y -+= .C 10x y ++= .D 10x y -+=
（4）求过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线方程：
例5.（08全国Ⅰ文）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是 （ ）
例6．()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是
练习：已知函数13
1)(2
3
+-=
x x x f
（1） 求函数()x f 的单调区间；（2）求 ()上在]3,0[x f 的最值；
例8.已知函数ax x 2)x (f 3+=与c bx )x (g 2+=的图象都过点P )0,2( 且在点P 处有相同的切线.
(1) 求实数c ,b ,a 的值;
(2) 设函数)x (g )x (f )x (F +=, 求)x (F 的单调区间, 并指出)x (F 在该区间上的单调性.
例9.设
，点P （，0）是函数
的图象的一个公共点，两函数的图
象在点P 处有相同的切线. （1）用表示a ，b ，c ； （2）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.
练习：已知a≥ 0 ，函数f(x) =（ 2x -2ax ）x e 当X 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论； （2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.
例10.（07浙江）设3
()3
x
f x =
，对任意实数t ，记2
32()3
t g x t x t =-
．
（I ）求函数8()()y f x g x =-的单调区间；
（II ）求证：当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；
练习：(07安徽)设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.
（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.
例7.（全国2卷理）已知函数3()f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；
（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<
练习：设a 为实数,函数.a x x x )x (f 23+--= (1) 求)x (f 的极值.
(2) 当a 在什么范围内取值时, 曲线x )x (f y 与=轴仅有一个交点。