【全国百强校】河北省正定中学2015-2016学年高二上学期期末考试理数试题解析(解析版)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合{}{}|2,|13A x x B x x =≥=≤≤，则A B = （ ） A ．{}|13x x -<≤ B ．{}|23x x ≤≤ C ．{}|3x x = D ．φ 【答案】B
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.复数
12i
i =-（ ） A ．25i -+ B ．25i -- C ．25i - D ．25
i +
【答案】A 【解析】 试题分析：
(12)21
12555
i i i i i +==-+-，选A. 考点：复数运算 3.抛物线21
4
x y =
的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．18 D ．1
2
【答案】C
【解析】
试题分析：抛物线2
14x y =的焦点到准线的距离为p ，而11
2,48
p p =⇒=因此选C. 考点：抛物线性质 4.
2
2
sin xdx -=⎰
（ ）
A ．-1
B ．1
C ．0
D ．-8 【答案】C 【解析】 试题分析：
2
2
2
2
sin (cos )
0,xdx x --=-=⎰
选C.
考点：定积分
5.曲线3
()2f x x x =+-在P 处的切线平行于直线41y x =-，则P 点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)或(1,4)-- D ．(2,8)或(1,4)-- 【答案】C 【解析】
试题分析：因为2()3141f x x x '=+=⇒=±，因此P 点坐标为(1,0)或(1,4)--，选C. 考点：导数几何意义
6.已知函数()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()y f x =的图像向左平移6
π
个单位后所得图像对应
的函数为偶函数，则实数ϕ=（ ） A ．
56π B ．23π C ．3π D ．6
π 【答案】D
考点：三角函数图像与性质
【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π
2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx
＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π
2
(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k∈Z)；
7.已知(,)P x y 是不等式组10
300x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域内的一点，(1,2)A ，O 为坐标原点，则OA OP 的
最大值（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6 【答案】
D
考点：线性规划
8.分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要 有人去检查，那么分配的方案共有（ ）
A ．34A 种
B ．3133A A 种
C ．2343C A 种
D ．113
433C C A 种
【答案】 【解析】C
试题分析：由题意得：有个居民家去两名水暖工，其他两个居民家各去一名水暖工，因此分配的方案共有
2343C A 种，选C.
考点：排列组合 9.
已知(2n
x +
展开式中各项系数和为625，则展开式中含x 项的系数为（ ） A ．216 B ．224 C ．240 D ．250 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得：45=625=54n n ⇒=，因此34442
+14
4=(2)(2)3r r
r
r r r r
r T C x C x ---=，由341
2r -=得
2r =，系数为242
24(2)
3216.C -=选A.
考点：二项式定理及其应用
10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
403 B ．20
3
C ．20
D ．40 【答案】A
考点：三视图
11.已知双曲线22
22:1(,0)x y C a b a b
-=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支相交
于,P Q 两点，若1PQ PF ⊥，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =（ ）
A 1+
B ．1
C
D 【答案】D 【解析】
试题分析：设1=PF PQ m =a ，因此
22a a m -=⇒=，从而2222(2))2)5c a e e =+-⇒=-⇒=选D.
考点：双曲线定义，双曲线离心率 12.已知数列{}n a 满足：1263
,3,9138
n n n n n n a a a a a ++=
-≤-≥ ，则2015a =（ ） A ．20153322+ B ．201538 C ．20153382+
D ．201532
【答案】B
考点：叠加法求项
【方法点睛】在利用叠加法求项时，一定要注意使用转化思想.把对应项放缩后成等差数列或等比数列，再进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在放缩时要注意方向以及放缩大小.
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在正项等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，5671,6a a a =+=，则5S =________． 【答案】
3116
【解析】
试题分析：由题意得：267
5675
1,6662a a a a a q q q a +=+=⇒
=⇒+=⇒=（负舍），
55551
1(1)1(1)312.1116112
a q S q -⨯-=
==-- 考点：等比数列求和
14.设向量a 与b 的夹角为θ，且(3,3),2(1,1)a b a =-=-
，则cos θ=__________ ．
【解析】
试题分析：(1,1)(1,2)2
a b +-==
，(1,2)(3,3)cos |(1,2)||(3,3)|θ⋅=
=⋅ 考点：向量夹角
15.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种（用数字作答）． 【答案】
96
考点：排列组合
【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 16.已知函数()ln tan ((0,
))2
f x x π
αα=+∈的导函数为()f x '
，若使得00()()0f x x '=成立的
01x <，则实数α的取值范围为________．
【答案】(,)62
ππ
【解析】
试题分析：因为1()f x x
'=
，所以1tan ),tan ln ,(01)x x x x αα=+=<< .令
ln ,
y x =
- 则10,y x '=-< 从而ln y x =- 在(0,1)上单调递减，因此tan α>又(0,)2
πα∈，因此实数α的取值范围为(,)62
ππ
考点：利用导数研究函数单调性
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）
等差数列{}n a 中，71994.2a a a ==，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1
n n
b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】（1）12n n a +=
，（2）2.1
n n
S n =
+
考点：等差数列通项公式，裂项相消法求和
【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相
消法适用于形如⎩
⎪⎨
⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如
1
（n －1）（n ＋1）
(n ≥2)或
1
n （n ＋2）
.
18.（本题满分12分）
在ABC ∆中，已知角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，且1
tan tan 12cos cos A C A C
=
+．
（1）求B 的大小；（2）若2
12
BA BC b = ，试判断ABC ∆的形状．
【答案】（1）3
B π
∠=
，（2）等边三角形．
考点：余弦定理，向量数量积
【思路点睛】向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，或转化为三角形中的“数量关系”，再利用解三角形的有关知识进行求解. 19.（本题满分12分）
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组
[)[)[]90,100,100,110,,140,150 后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[)120,130内的频率； （2）估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个
总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[)120,130内的概率．
【答案】（1）0.3，（2）121，（3）
3
5
.
（3）由题意，[)110,120分数段的人数为600.159⨯=（人） 在[)120,130分数段的人数为600.318⨯=（人）．
∵用分层抽样的方法在分数段为[)110,130的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[)110,120分数段内
抽取2人，并分别记为,m n ；
在[)120,130分数段内抽取4人，并分别记为,,,a b c d ；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段
[)120,130内”为事件A ，则基本事件共有{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,m n m a m d n a n d a b c d ，共
15个．
则事件A 包含的基本事件有{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,m n m a m b m c m d n a n b n c n d 共9个． ∴93()155
P A =
=． 考点：频率分布直方图，分层抽样，古典概型概率 20.（本题满分12分）
如图：四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，090ACB ∠=，平面PAD ⊥平面ABCD ，
2PA BC ==，PD AB ==,E F 分别为线段PD 和BC 的中点．
（1）求证：//CE 平面PAF ；
（2）在线段BC 上是否存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析，（2）B 点.
试题解析：解（1）取PA 中点为H ，连结CE HE FH 、、， 因为H E 、分别为PA PD 、的中点，所以1
//,2
HE AD HE AD =
，
因为ABCD 是平行四边形，且F 为线段BC 的中点， 所以1
//,2
FC AD FC AD =
， 所以//,HE FC HE FC =四边形FCEH 是平行四边形，所以//EC HF ， 又因为CE ⊄平面,PAF HF ⊂平面PAF ，
所以//CE 平面PAF ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
因为平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60
°，所以cos ,m ，
所以1a =±又10a -≤≤，所以1a =-，
所以线段BC 上存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小 为60°点G 即为B 点． 考点：线面平行判定定理，面面垂直性质定理，利用空间向量研究二面角 【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
21.（本题满分12分）已知两点(2,0),(2,0)A B -，直线AM BM 、相交于点M ，且这两条直线的斜率之
积为34
-
． （1）求点M 的轨迹方程；
（2）记点M 的轨迹为曲线C ，曲线C 上在第一象限的点P 的横坐标为1，过点P 且斜率互为相反数
的两条直线分别交曲线C 于Q R 、，求OQR ∆的面积的最大值（其中点O 为坐标原点）．
【答案】（1）22
1(2)43
x y x +=≠±,（2.
（2）由题意可得点3
(1,)2
P ，
直线PQ 与直线PR 的斜率互为相反数，设直线PQ 的方程为3(1)2
y k x =-+， 与椭圆方程联立消去y ，得：
考点：直接法求轨迹，直线与椭圆位置关系，基本不等式求最值
【方法点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 22.（本题满分12分）
设a 为实数，函数21()(1)x
f x x e a x -=--，
（1）当0a =时，求()f x 在3
(,3)4
上的极大值；（2）设函数1()()(1)x
g x f x a x e -=+--，当()g x 有两个极值点1212,()x x x x <时，总有211()()x g x f x λ'≤，
求实数λ的值． 【答案】（1）4(2)f e =，（2）21
e e λ=+． 【解析】
试题分析：（1）求函数极值，首先明确定义区间：3
(,3)4
，再求导函数：21()(2)x f x x x e -'=-，从而得到导函数在定义区间上的根：2，列表分析可得极大值（2）由题意根据()g x 有两个极值点，先寻找12,,a x x 之
间关系：2
121122x x a x x +==-，，且得到相应参数范围11x <，这样就将不等式211()()x g x f x λ'≤化为
一元不等式：1
11122
111111(2)(2)(2)(2)x x x x e
x x e x x λ--⎡⎤-≤-+-⎣⎦，然后利用变量分离，求对应函数最值：
分三类讨论分离：）当10x =时，R λ∈；当1(0,1)x ∈时， 111121x x e e λ--≥+，当1(,0)x ∈-∞时， 1
11121
x x e e λ--≤+，
再分别求解最值
.
（1）当10x =时，不等式1
11112(1)0x x x e e λ--⎡⎤-+≤⎣⎦恒成立，R λ∈；
（2）当1(0,1)x ∈时，1
1
112(1)0x x e
e
λ---+≤恒成立，即1
1
1121
x x
e e λ--≥+， 令函数11122
()211
x x x
e k x e e ---==-++，显然，()k x 是R 上的减函数，
考点：利用导数求函数极值，利用导数研究不等式恒成立
【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
高考一轮复习：。