第48题+数列求和-2018精品之高中数学(理)黄金100题系列+Word版含解析

第 48题 数列求和
I ．题源探究·黄金母题
【例1】求数列1(2)n n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n S ．
【答案】111112212n S n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭
【解析】
1111111111111111123224235222212n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=+-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
【例2】如图，作边长为a 的正三角形的内切圆，
在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n 个内切圆的面积和．
【答案】21
194n
a π⎛⎫-
⎪⎝⎭
【解析】设第n 个正三角形的内切圆的半径为n a ．
因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形是前一个正三角形
边长的1
2
，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的1
2
．
由题意知1111tan 30,22
n n a a a a -=︒==，故前n 个内切圆的面积和为
精彩解读
【试题来源】例1：人教A 版必修5P 47习题2．3B 组T 4改编；例2：人教A 版必修5P 61习题2．5B 组T 3改编．
【母题评析】这类题考查数列求和的基本方
法，考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本计算能力． 【思路方法】根据和式
的结构特征选用公式法、分组法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法求和．
()2
12
222
21
2
1
11111141144412414
n
n n
n a a
a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤π⎛⎫⎛⎫⎫
⎝⎭++
+π=π+++
+=⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎭⎢⎥⎣⎦-
．
II ．考场精彩·真题回放
【例2】【2017高考新课标2理3】我国古代数学名著中有如下问题：“十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2有灯（ ）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．【答案】B
【解析】设塔的顶层共有灯x x ，公比为2()71238112
x ⨯-=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，【例3】【2017高考新课标3理9】等差数列{}n a 的首项为公差不为0．若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6
（ ） A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
【答案】A
【解析】∵等差数列{}n a 的首项为1，公差不为230a a a ,,,等比数列，2
326a a a ∴=，()()()2
11125a d a d a d ∴+=++110a d =≠,，
解得{}2n d a =-∴,前6项的和为
616565
661(2)2422
S a d ⨯⨯=+
=⨯+⨯-=-，故选A ．
【命题意图】本类题以考查分组法、错位相减
法、倒序相加法、裂项相消法求和为主，识别出等差（比）数列，直
接应用公式法也是考查
的热点．
【考试方向】这类试题
在考查题型上，以解答
题为主，一般第一问考
查求数列的通项，第二问考查求和，并与不等式、函数、最值等问题综合，难度较大．
【难点中心】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数
列求和方法常用的方法还有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等．
【例4】【2017高考新课标2理15】等差数列{}n a 的前n 项和为
n S ，33a =，410S =，则11
n
k k
S ==∑
． 【答案】
21
n
n + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有：
1123
43
4102a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，数列的前n 项和()()()111111222
n n n n n n n S na d n --+=+
=⨯+⨯=， 裂项有：
()1211211k S k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，据此： 11111111
21......2122311n
k k S n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑．．
【例5】【2017高考山东理19】已知{x n }列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1，1)，P 2(x 2，2)…P n +1(x n +1，n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T ．
【答案】（I ）1
2.n n x -=（II ）(21)21
.2
n n n T -⨯+=
【解析】（I ）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >，由题意得
112
1132
x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，∴2
3520q q --=，∵0q >，∴12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为1
2.n n x -=
（II ）过123,,,P P P ……1n P
+向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +，由（I ）得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ．由题意
1
2(1)2(21)22
n n n n n b n --++=
⨯=+⨯， ∴123n T b b b =+++……+n b =101325272-⨯+⨯+⨯+……+
32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①
又
0122325272n T =⨯+⨯+⨯+……+
21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②
①-②得
()()()()()1211
1132222212212212
1
3212,2
12
2
n n n n n
n n T n n n T ------=⨯++++-+⨯--⨯+=+-+⨯∴=
-．
【例6】【2017高考天津理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和
为()n S n *
∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，
2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *
∈N ．
【答案】（1）32n a n =-．2n
n b =．（2）1328
433
n n n T +-=
⨯+．
【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列首项1a 和公差d 及等比数列的公比
q ，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出
数列的和，要求计算要准确．
试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．
由已知2312b b +=，得2
1()12b q q +=，而12b =，所以
260q q +-=．
又因为0q >，解得2q =．所以，2n
n b =．
由3412b a a =-，可得138d a -= ①． 由114=11S b ，可得1516a d += ②，
联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-． 所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式
为2n
n b =．
（II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，
由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n
n n a b n -=-⨯， 故23
245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯+
+-⨯，
23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯，
上述两式相减，得
231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+
+⨯--⨯
1112(14)
4(31)4(32)48.14
n n n n n ++⨯-=---⨯=--⨯--
得1328
433
n n n T +-=
⨯+． 所以数列221{}n n a b -的前n 项和为
1328
433
n n +-⨯+． III ．理论基础·解题原理
1．等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+．
2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,
,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1
≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1或11n n a a q
S q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）．
3．数列前n 项和
①重要公式：（1）1n
k k ==∑123n +++
+=
2
)
1(+n n ； （2）1(21)n
k k =-=∑()13521n +++
+-=2n ；
（3）3
1n
k k ==∑2
3
3
3
)1(2121⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=+++n n n ；
（4）21
n
k k ==∑)12)(1(6
1
3212
2
2
2
++=
++++n n n n ． ②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；③等比数列中，n m
m n n m m n S S q S S q S +=+=+．
IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，以解答题为主，一般第一问考查求数列的通项，第二问考查求和，并与不等式、函数、最值等问题综合，难度较大． 【技能方法】 数列求和的常用方法
1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和．对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和．
2．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．
3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．
若n n n a b c =⋅，其中错误！未找到引用源。

是等差数列，错误！未找到引用源。

是公比为错误！未找到引用源。

等比数列，令 错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

两式错位相减并整理即得．
4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前错误！未找到引用源。

项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法．适用于类似错误！未找到引用源。

（其中错误！未找到引用源。

是各项不为零的等差数列，错误！未找到引用源。

为常数）的数列、部分无理数列等．用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法：
（1）错误！未找到引用源。

，特别地当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

；
（2）
1
k
=
，特别地当错误！未找到引用源。

时，
=
（3）()()
221111212122121n n a n n n n ⎛⎫
==+- ⎪-+-+⎝⎭
（4）()()(
)()()1111
122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭ （5）
)()1
1(11q p q
p p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列错误！未找到引用源。

，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列错误！未找到引用源。

是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可．
6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如
()()
1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，
22222210099989721n S =-+-+
+-()()()100999897215050=++++++=．
【易错指导】
(1)使用裂项相消法求和时，容易出现的错误有两个方面： ①裂项过程中易忽视常数，如
)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为112n n -+，漏掉前面的系数1
2
；
②裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．
(2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
V ．举一反三·触类旁通
考向1 公式法求和
【例1】【2018河北衡水中学高三上学期九模】已知在数列{}n a 中，11a =，12n
n n a a +=．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S ．
【答案】(1) 1
22
2
,,
{
2,.
n n n n a n -=是奇是偶 (2) 当n 为奇数时，n S =
21
4
n -，当n 为偶数时，n S = 2
4
n ．
当n 为偶数时，12
2
22
2n n n a -=⋅=，所以122
2
,,
{
2,.
n n n n a n -=是奇是偶．
（2）因为11a =，12n
n n a a +=，2log n n b a =，所以1n n b b n ++=．讨论：
当n 为奇数时，()()()123451n n n S b b b b b b b -=+++++++
()21
02414
n n -=+++
+-=；
当n 为偶数时，()()()12341n n n S b b b b b b -=++++++ ()2
1314
n n =++
+-=．
【例2】【2018四川绵阳南山中学高三二诊】已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且
()
*21N n n S a n =-∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2log n n b a =，求数列
()
{}
21n
n b -前2n 项的和T ．
【答案】(1) 1
2n n a -=；(2) ()21T n n =-．
【解析】试题分析：(1)由1n n n a S S -=-计算求得，并验证当1n =时是否成立（2）由（1）
得1
22log log 21n n n b a n -===-代入求得前2n 项的和．
解析：（1）由1121{
21
n n n n S a S a --=-=-得()*12N ,1n n a a n n -=∈≥，于是{}n a 是等比数列．
令1n =得11a =，所以1
2n n a -=．
（2）1
22log log 21n n n b a n -===-，于是数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列． 2222
22
1234212n n T b b b b b b -=-+-+-
-+ 123212n n b b b b b -=+++
++，
所以()()221212
n n T n n -=
=-．
【跟踪练习】
1．【2018河南林州市第一中学高三10月调研】数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有
123.....21n n a a a a ++++=-，则22212......n a a a +++=（ ）
A ．()
2
21n - B ．()1413n - C ．()
1
213
n - D ．41n - 【答案】
B
2．【2018湖北省部分重点中学高三7月联考】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
()111
1,1,2,3,2n n n
a a a n +=+=
=，则21n S -=___________．
【答案】41134n
⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥ ⎪
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
考向2 分组转化法求和
【例3】【2018河北邯郸高三一模】已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，
21n n n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-．
（1）求n n T S -； （2）求数列2n n b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n R ． 【答案】（1）122n n ++-（2）2
22n
n n ++-
试题解析：（1）依题意可得113b a -=，225b a -=， (21)
n n b a -=+，
∴n n T S - ()()1212n n b b b a a a =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ()
2222n n =+++⋅⋅⋅+
122n n +=+-．
（2）∵2n n n S S T =+ ()n n T S -- 2
n n =-，∴22
n n n S -=，∴1n a n =-．
又21n n n b a -=+，∴2n
n b n =+，∴
122n n n
b n
=+
， ∴n R n =+ 212
222n
n ⎛⎫
++⋅⋅⋅+
⎪
⎝⎭
，则1122n R n =+ 2311
2222n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭
， ∴1122n R n =+ 2111
12222n n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭，故1
11
222112
n n R n +-=+⨯-
2222
n n n n n +-=+-．
【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
【例4】【2018河南焦作市高三第四次模拟】已知{}n a 为等差数列，且23a =，{}n a 前4项的和为16，数列{}n b 满足14b =，488b =，且数列{}n n b a -为等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n n b a -的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ．
【答案】（Ⅰ）()11221n a n n =+-⨯=-，()1
413
3n n n n b a --=-⨯=．
（Ⅱ）n S ()
12
233331222
n n n n +=-+=+-．
试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为23a =，{}n a 前4项的和为16， 所以13a d +=，143
4162
a d ⨯+
=，
解得11a =，2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-． 设{}n n b a -的公比为q ，则()3
4411b a b a q -=-，所以3
4411887
2741
b a q b a --=
==--，得
3q =，
所以()1
413
3n n n n b a --=-⨯=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得321n
n b n =+-，
所以()
233333n n S =+++⋅⋅⋅+ ()13521n ++++⋅⋅⋅+-(
)()31312113
2
n n n -+-=
+-
()
12233331222
n n n n +=-+=+-．
【例5】【2018届安徽池州开学考试】在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知101=a ，且
123,22,5a a a +成等比数列．
（1）求,n d a ；
（2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++ 【答案】（1）1d =-或4d =．所以(
)*
11n a n n =-+∈N
或()*46n
a
n n =+∈N ；
（2）123n a a a a +++
+22121
,11,22
121110,12.22
n n n n n n ⎧-+⎪⎪=
⎨
⎪-+⎪⎩≤≥ 【解析】
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．
因为0d <，由（1）得1d =-，11n a n =-+，所以当11n ≤时，123n a a a a +++
+=
2121
22n S n n
=-+；当
12
n ≥时
，
2
123
1
1
12
1
21
10
22
n n a a a a S S n n +++
+=-+=-+．
综上所述，123n a a a a +++
+22121
,11,22
121110,12.22
n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨
⎪-+⎪⎩≤≥ 【例6】【2016高考北京】已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．
【解】(1)等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2
q ＝1，b 4＝b 3q ＝27．
所以b n ＝3n －
1(n ＝1，2，3，…)．
设等差数列{a n }的公差为d ．
因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2．所以a n ＝2n －1(n ＝1，2，3，…)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －
1．因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －
1．
从而数列{c n }的前n 项和
S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3
n －1
＝n （1＋2n －1）2＋1－3n 1－3
＝n 2＋3n －12．
【名师点睛】分组转化法求和的常见类型
(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组转化法求{a n }的前n 项和；
(2)通项公式为a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，
c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采
用分组转化法求和． 【跟踪练习】
1．【2018天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4212a a -=，423+2S 3S S =，数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+，*n N ∈，且11b =．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设(
)22
log 212{
2n
n n
a n k n n c n k
=-+==，，n T 为{}n c 的前n 项和，求2n T ．
【答案】（1）2n n a ∴=，2
n b n =；（2）
21
166899221
n n n
n -+-+⨯+．
试题解析：（1）∵423+2S 3,S S =∴()4332S 2S S S -=-，∴432,2a a q ==．
又∵4212a a -=，∴12a =，∴2n
n a =．
由()()111n n nb n b n n +-+=+两边同除以()1n n +，得111n n b b n n +-=+，
从而数列n b n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为首项11b =，公差1d =的等差数列，∴
=n
b n n
，从而数列{}n b 的通项公式为2n b n =． (2)由（1）知()()22
11
log 2,21
,2122{
{
2,2,22
2n
n n n n
n k n k n n n n c c n
n
n k n k -=-=-++=⇒===
∴
21232n n T c c c c =++++135211*********
221335
2121222
2n n n n -⎛⎫⎡⎤
=
-+-++
-+++++
⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦
13521246
221222
2n n n n -⎡⎤
=
+++++⎢⎥+⎣⎦
． 设1352124622222n n A -=
++++， 则35721
1246242222n n
A +=++++
，两式相减得 35721213222221422222n n n A -+=++++-，整理得21
1668
992
n n A -+=-⨯，∴221
166899221
n n n n
T n -+=-+⨯+． 【名师点睛】（1）分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如,{ 2,n n n n a n =为奇数为偶数
）
，符号型（如()21n
n a n =- ），周期型 （如π
sin
3
n n a = ）；（2）用错位相减法求和的注意
事项：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 2．【2018山西高考考前适应性测试】已知等比数列{}n a 中，0n a >，14a =，
12
112n n n a a a ++-=，*n N ∈． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设()()2
21log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．
【答案】(1) 12n n a +=，*n N ∈．(2) 2
223n T n n =+．
因为
12112n n n a a a ++-=，所以11111112n n n a q a q a q
-+-=， 因为0q >，解得2q =，所以11
422n n n a -+=⨯=，*n N ∈．
（2）()()221log n n n b a =-⋅ ()(
)()()
2
2
1
21log 211n
n
n n +=-⋅=-⋅+．
设1n c n =+，则()()2
1n
n n b c =-⋅．
21234n T b b b b =+++ 212n n
b b -+⋅⋅⋅++
()()()222123c c c ⎡⎤=-++-⎣⎦()()()222
4212n n c c c -⎡⎤++⋅⋅⋅+-+⎣⎦
()()()121234c c c c c c =-+++-+ ()()34212n n c c c c -++⋅⋅⋅+-+ ()212n n c c -+
1234212n n
c c c c c c -=++++⋅⋅⋅++()22212
n n ⎡⎤++⎣⎦
=
()2
2323n n n n =+=+．
3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3．
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，
b n ，n 为偶数，
设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n ．
考向3 错位相减法求和
【例7】【2018滨海新区七所重点学校届高三毕业班联考】已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且()
*112n n S a n N +
=∈．数列{}n b 是公差d 不等于0的等差数列，且满足：113
2
b a =，2b ，
5b ，14b 成等比数列．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
【答案】（1）123n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
；（2）2223n
n +-
详解：（1）1n =时，11112a a +
=，12
3
a =
2n ≥时，11
1
12{
112n n
n n S a S a --=-=-，()1112n n n n S S a a ---=-，∴113
n n a a -=（2n ≥） {}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列，1
2112333n n
n
a -⎛⎫⎛⎫
=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
．
11b =，又25214b b b =得：()()()2
141113d d d +=++，220d d -=，
因为0d ≠解得2d =，21n b n =-． （2）42
3n n
n c -=
， 232610423333n n n T -=++++，
2341126104642333333n n n n n T +--=+++++， 23122111
4243333
33
n n
n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 1
1
112242934133313
n n n n T ++--=+⨯--，1242423333n n n n T +-=--，2223n n n T +=-． 【名师点睛】该题考查的是有关数列的通项公式以及求和问题，在求解的过程中，要明确递推公式的利用，要铭记等差数列和等比数列的通项公式的求法，第二问应用错位相减法求和，在求和的过程中，一定要明确整理之后的括号里的只有1n -项．
【例8】【2018江西赣州崇义中学高三上学期第二次月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，
11a =，*121,n n a S n N +=+∈．等 差数列{}n b 中，25b =，且公差2d =．
（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得1122...60n n a b a b a b n ++＞?．若存在，求出n 的最小值；若 不存在，请说明理由．
【答案】（1）13n n a -=，21n b n =-；（2）4．
试题解析：（Ⅰ）
121n n a S +=+，∴当2n ≥时，-12+1n n a S =两式相减得，
()+1=32n n a a n ≥，又()*21112133,3
n n a a a a a n N +=+==∴=∈，∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，1=3n n a -∴，又12523b b d =-=-=，
()1121n b b n d n ∴=+-=+．
（
Ⅱ
）
()1
213n n n a b n -⋅=+⋅，令
()()2
21
315373
..
n n n T n n -
-
=⨯+⨯+⨯
++-⨯
++⨯
① 则()()2
3
1
3335373 (213)
21 3...
n n
n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ② ①-②得：()
()21231233...3213n n n T n --=⨯++++-+⨯，360n
n T n n ∴=⨯>，即
360
n >，34
327,381==，n ∴的最小正整数为4． 【例9】【2018湖南益阳、湘潭高三9月调研】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且
12n n S S +=．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项之和． 【答案】(1) 12,1{ 2,2n n n a n -=∴=≥；(2) 数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
前n 项之和为
1n n +．
【名师点睛】错位相减法求和策略
(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．
(2)在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 【跟踪练习】
1．【2018河南南阳一中高三第十四次考试】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足
()
*231n n S a n N =-∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21n n a ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
【答案】（1）()
1*3n n a n N -=∈．（2）()
*
1
133
n n n T n N -+=-
∈． 【解析】分析：（1）根据231n n S a =-仿写可得到11231n n S a --=-，两式相减整理得()132n n a a n -=≥，从而可得数列{}n a 为等比数列，于是可求得通项公式．（2）由（1）可得
12121
3
n n n n a ---=，故可根据错位相减法求和．
详解：（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =；
当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=． 又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以()
1*3n n a n N -=∈． （2）由（1）得
12121
3
n n n n a ---=， 所以1
235133
n T =+
++ 2
12321
33n n n n ----+
+，① 2311353333n T =++ 12321
33
n n n n ---+++，② ①-②得
232222
13333
n T =+++ 122133n n n --++-111121
33121313
n n n -⎛⎫
- ⎪-⎝⎭=+⨯
--2223n n +=-． 所以()
*1
1
33
n n n T n N -+=-
∈． 【名师点睛】（1）用错位相减法求和时弄清错位相减法的适用条件及解题格式是关键．解题时首先要抓住数列的特征，即数列的项是由一个等差数列和一个公比不为1的等比数列对应项相乘所得，另外所谓“错位”就是找“同类项”相减；（2）已知n S 和n a 的关系解题时，要注意关系式()12n n n a S S n ≥－＝－的运用，应用时一定要注意使用的条件是2n ≥． 2．【2018衡水金卷调研卷五】已知数列{}n a 满足11a =，134n n a a +=+，*n N ∈． （1）证明：数列{}2n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()3log 22
n n n a b a +=
+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】(1)见解析；(2) 323
443
n n
n T +=
-⋅． 【解析】试题分析：（1）由134n n a a +=+得出()1232n n a a ++=+，由等比数列的定义得出数列{}2n a +为等比数列，并且求出{}n a 的通项公式；（2）求出数列n b 的通项公式，利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和．
试题解析：（1）由134n n a a +=+，得()1232n n a a ++=+，即12
32
n n a a ++=+，且123a +=，
所以数列{}2n a +是以3为首项，3为公比的等比数列．
所以12333n n
n a -+=⨯=，故数列{}n a 的通项公式为()
*32n n a n N =-∈．
（2）由（1）知，23n
n a +=，所以3log 333
n n n n n
b ==． 所以1231
23123
3333
n n n n
T b b b b =+++
+=
++++
．① 23411123
13333
33n n n n n
T +-=+++++．② ①-②，得
23421111133333
3n n T =+++++13n n +=11
111331113223313
n
n n n n n ++⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
-=--⋅-，
所以332323044343443n n n n n n T +=
-=-⋅⋅⋅，故数列{}n
b 的前n 项和323
443n n
n T +=-⋅． 3．【2018四川蓉城名校高中高三4月份联考】已知等差数列{}n a 的公差0d >，且
347a a +=，2510a a ⋅=．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ； （2）若数列{}n b 满足2log n b n =，求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ． 【答案】（1）
n a n =；22n n n S +=．（2）222
n n n
T +=-
∵0d >则22a =，55a =，又∵52
13
a a d -=
=，11a =，可知n a n =；
()212
2n n n n n S ++=
=．
（2）2n
n b =，
2
n n n a n b =． ∵1231232222n n n T =
+++⋅⋅⋅+，2341
12322222n T n
+=+++⋅⋅⋅+
，两式相减得： 123411111
222222n n T =++++⋅⋅⋅+1111121222
12
n
n n n n ++--=⋅--， 所以112212222
n n n n n n T ++⎛⎫=-
-=- ⎪⎝
⎭，n N +∈． 考向4 裂项相消法求和（高频考点）
【例10】【2018山东潍坊市高三二模】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，
()
*0n a n N >∈，66S a +是44S a +，55S a +的等差中项．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1212
log n n b a -=，数列12n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求n T ．
【答案】（1）2
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
；（2）221
n
n -
-
详解：（1）∵66S a +是44S a +，55S a +的等差中项，∴()6644552S a S a S a +=+++ ∴66445566S a S a S a S a +--=+--，化简得，644a a =， 设等比数列{}n a 的公比为q ，则2
641
4
a q a =
=， ∵()
*0n a n N >∈，∴0q >，∴12q =，∴1
2
11222n n n a --⎛⎫
⎛⎫
=⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
．
（2）由（1）得：2n-3
12112
2
1log log ()
232
n n b a n -===-．
设()()12211
23212321
n n n C b b n n n n +===-----． ∴
121111111
112111133523212121n n n T C C C n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-=--
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
【名师点睛】本题主要考查求等比数列的通项公式以及裂项相消法求数列的和，属于中档题．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；
（2）
1
k
=
；（3）
()()1
111212122121n n n n ⎛⎫
=-
⎪-+-+⎝⎭
；（4）()()()()()1111
122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容
易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．
【例11】【2018河南中原名校届高三第三次质量考评】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知11326a a +=，981S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）令12
1
n n n b a a ++=
，12n n T b b b =++⋯+，若300n T m -≤对一切*n N ∈成立，求实
数m 的最小值．
【答案】（1）21n a n =-（*n N ∈）；（2）5．
试题解析：（1）∵等差数列{}n a 中，11326a a +=，981S =，∴75226,{
981,
a a ==解得7513,{
9,
a a ==
∴ 75139
2752
a a d --=
==-，
∴()()5592521n a a d n n n =+-=+-=-（*n N ∈）． （2）∵()()1211111212322123n n n b a a n n n n ++⎛⎫
=
==- ⎪++++⎝⎭
，
∴11111111112355721232323n T n n n ⎛⎫⎛⎫
=
-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
， ∵
1112323n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随着n 增大而增大，∴{}n T 是递增数列，又1023n >+，∴1
6
n T <，∴5m ≥，
∴实数m 的最小值为5．
【例12】【2018重庆市（非市直属校）高三第二次质量调研】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，481a =，且23,a a 的等差中项为18． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3log n n b a =，2
1
41
n n c b =
-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1
2
n T <
． 【答案】（1）3n
n a =（2）见解析
试题解析：（1）设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由题意，得423
81{ 18
2
a a a =+=
即()31181{
136a q a q q =+=，两式相除，得24990q q --=，解得3q =或3
4
-， ∵0q >，∴3q =，解得13a =，所以113n n
n a a q -==．
（2）由（1）得3log 3n
n b n ==，∴2111141
22121n c n n n ⎛⎫
=
=
- ⎪--+⎝⎭
，
∴11111
111111123352121221242
n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴
12
n T <
． 【跟踪练习】
1．【2018衡水金卷（一）】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有
232n n S a n =+-成立．
（1）求证：数列12n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
为等比数列；
（2）记1
1
3n n n n b a a -+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）见解析（2）31
31
n n -+
试题解析：解：（1）∵对任意的正整数n ，都有232n n S a n =+-成立， ∴当1n =时，11131
22
a S a ==
-，解得11a =． 当2n ≥时，()()112223233n n n n n a S S a n a n --=-=+--+-， 整理得131n n a a -=-． ∴111322n n a a -⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭（2n ≥）， 又111
022a -
=≠， ∴数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭
是首项为1
2
，公比为3的等比数列． （2）由（1）可得，()
1
1312
n n a -=
+， ∴()()
111113431
1231313131n n n n n n n
n n b a a ----+⨯⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭
，
∴211
111112113131313131n n n T -⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪++++++⎝⎭
1131223131n n n -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭．
【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差
数列，c 为常数)的数列．裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如
()()
1
13n n ++或
()
1
2n n +．
2．【2018北京市门头沟一模】在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 和，若6551,13S a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前前n 和n S ； （2）若数列{}n b 中1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 和n T ； （3）设函数(),
{ ,2n a n f n n f n =⎛⎫
⎪⎝⎭
为奇数
为偶数，()()*24n n c f n N =+∈，求数列{}n c 的前n
和n M （只需写出结论）． 【答案】（1）2332,22n n n a n S n =-=
-；（2）31n n
T n =
+；（3）171
{ 322
n n n M n n -==+⨯≥．
试题解析：（1）由题意可知，
11156
2562517
2
134a d a d a d
⨯=+
⇒+==+ 得：2131,3,32,22
n n n a d a n S n ==⇒=-=
-
（2）()()1
111323133231n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，
1211111113447
323131
n n n
T b b b n n n ⎛⎫=++
+=-+-+
+
-= ⎪
-++⎝⎭ （3）()()()
()()
()3132133243,81,2421,
c f f a c f f a c f f a =+======+=+=
()()
22212421n n n n c f f a --+=+=+=，…，123n n M c c c c =+++
+．
当1n =时，()1367M f a ===，当()()212312,688n M c c f f a a ==+=+=+= 当
()()
()
221233,8321232123212n n n n M c c c c -≥=++++=+⨯+-+⨯+-+
++- (
)
22183222232n n n n --=+++
++-=+⨯，所以1
71
{
322
n n n M n n -==+⨯≥ 【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差
数列，c 为常数)的数列．裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如
()()
1
13n n ++或
()
1
2n n +．
3．【2018广东省际名校（茂名市）高三下学期联考（二）】已知等差数列{}n a 的公差d 不
为零，2
416a a a =-，且20a ≠．
（1）求1a 与d 的关系式； （2）当2
9
d =
时，设1281n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
【答案】（1）1290a d +=（2）
()
2929n
n --
试题解析：（1）因为2
416a a a =-，所以()()2
11135a d a a d +=-+，即有
()()11290a d a d ++=．
因为20a ≠，即10a d +≠，所以1290a d +=． （2）因为1290a d +=，又29d =，所以211
9
n n a -=． 所以()()12211
812112921129
n n n b a a n n n n +===-----．
所以
1231
111111
197755321129n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++
+=-+-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()
112929929n n n -=
-=---．。