【3套打包】杭州绿城育华学校最新七年级下册数学期末考试试题(含答案)

最新七年级（下）数学期末考试题(含答案)
人教版七年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．4的平方根是
（A）±16 （B）（C）（D）
2．2019年4月29日中国北京世界园艺博览会开幕，会徽取名“长城之花”，如图1所示. 在下面右侧的四个图形中，能由图1经过平移得到的图形是
3．在平面直角坐标系中，如果点P在第三象限，那么m的取值范围为
（A）（B）（C）（D）
4．如图，直线，相交于点，平分，OF⊥CD，
若∠BOE=72°，则的度数为
（A）72°（B）60°
（C）54°（D）36°
5．若a=，把实数a在数轴上对应的点的位置表示出来，可能正确的是
（A）（B）
（C）（D）
6．下列条件：①∠AEC=∠C ，②∠C=∠BFD，③∠BEC+∠C=180°，其中能判断AB∥CD的是
（A）①②③
（B）①③
（C）②③
（D）①
7．在参观北京世园会的过程中，小欣发现可以利用平面直角坐标系表示景点的地理位置，在正方形网格中，她以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，表示
丝路驿站的点坐标为（0，0）. 如果表示丝路
花雨的点坐标为（7，－1），那么表示清杨洲的
点坐标大约为（2，4）；如果表示丝路花雨的
点坐标为（14，－2），那么这时表示清杨洲的
点坐标大约为
（A）（4，8）（B）（5，9）
（C）（9，3）（D）（1，2）
8．我们规定：在平面直角坐标系xOy中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的
折线距离为，例如图①中，点M（－2，3）与点N（1，－1）
之间的折线距离为. 如图②，已知点P（3，－4），若点Q的坐标为（t，2），且
，则t的值为
（A）－1
（B）5
（C）5或－13
（D）－1或7
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．写出一个大于－3的负无理数．
10．物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是．在一次实验中，一个物体从490m高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为s．
11．若关于,的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则= ．
12．如图，连接直线l外一点P与直线l上
各点O，，，，…,其中PO⊥l，这些
线段PO，，，，…中,最短的
线段是 .第12题图
13. 已知关于x的一元一次不等式的解集
是，如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，
实数m对应的点可能是. 第13题图
14．下列调查四项调查：①本市居民对“垃圾分类”有关内容的了解程度，②本市初中生对全国中小学生“安全教育日”2019年主题“关注安全、关爱生命”的了解情况，③选出本校跳高
成绩最好的学生参加全区比赛，④本市初中学生每周课外阅读时间情况，其中最适合采用全面调查方式开展调查的的是 .
15．小颖在我国数学名著《算法统宗》看到一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧
三人分一个，大小和尚各几丁？”她依据本题编写了一道新题目：“大、小和尚分一百个馒
头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问大、小和尚各多少人？”写出一组能够按照
新题目要求分完一百个馒头的和尚人数：大和尚人，小和尚人.
16．数学课上，同学提出如下问题：
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，
我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，AB∥CD，
那么∠EOB=∠EO'D.”
如图2，
假设∠EOB≠∠EO'D，
过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，
依据基本事实，
可得A'B'∥CD.
这样过点O就有两条直线AB，A’B’都平行于直线CD，
这与基本事实矛盾，
说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D.
请补充上述证明过程中的两条基本事实.
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，
28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：．．
18．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．解方程组：
20．解不等式组并写出这个不等式组的所有整数解．
21．完成下面的证明．
已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．求证：EF平分∠BED．
证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，
∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°.（）
∴∠ACB＝∠EFB．
∴.（）
∴∠A＝∠2．（两直线平行，同位角相等）
∠3＝∠1．（）
又∵∠A＝∠1，
∴∠2＝∠3．
∴EF平分∠BED．
22．如图，已知三角形ABD，AC是∠DAB的平分线，平移三角形ABC，使点C移动到点D，
点B的对应点是E，点A的对应点是F.
（1）在图中画出平移后的三角形FED；
（2）若∠DAB =72º，EF与AD相交于点H，则
∠FDA=º，∠DHF=º.
23．在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标
分别为A（4，1），
B（1，－2），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）按照要求画出平面直角坐标系xOy，线段BC，
写出点C的坐标；
（2）直接写出以A，B，O为顶点的三角形的
面积；
（3）若线段CD是由线段AB平移得到的，点A的
对应点是C，写出一种由线段AB得到线段CD的
过程．
24．阅读下列材料：
时间利用调查以自然人为调查对象，通过连续记录被调查者一天24小时的活动，获
得居民在工作学习、家务劳动、休闲娱乐等活动上花费的时间，为分析居民身心健康和生活质量等提供数据支撑.2008年，我国第一次开展了时间利用调查，相距十年后的2018年，开展了第二次时间利用调查.
2018年5月，北京调查总队对全市1700户居民家庭开展了入户调查，下面是根据此次调查的结果对北京市居民时间利用的特点和变化进行的分析.
一、北京市居民一天的时间分布情况
北京市居民一天的时间分布情况统计图
二、十年间北京市居民时间利用的变化
北京市居民2008年上下班的交通时间为1小时29分钟，2018年依然为1小时29 分钟；2008年人均家庭劳务时间为2小时32分钟，2018年为2小时52分钟；2008年人均自由支配时间为4小时17分钟，2018年为4小时34分钟；2008年上网时间为25分钟，2018年上网时间是2008年的7.44倍.
(说明：以上内容摘自北京市统计局官网)
根据以上材料解答下列问题:
（1）2018年采用的调查方式是；
（2）图中m的值为；
（3）①利用统计表，将2008年和2018年北京市居民上下班的交通时间、人均家庭劳务
时间、人均自由支配时间和上网时间表示出来；
②根据以上信息，说明十年间北京市居民时间利用变化最大的是，请你分
析变化的原因是.
25. 如图，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，
DE⊥BC于点E，DF∥AB交BC于点F.
（1）依题意补全图形；
（2）设∠C＝α，
①∠ABD＝（用含α的式子表示）；
②猜想∠BDF与∠DFC的数量关系，并证明.
26. 某年级共有300名学生，为了解该年级学生在A，B两个体育项目上的达标情况，进行
了
抽样调查. 过程如下，请补充完整．
收集数据从该年级随机抽取30名学生进行测试，测试成绩（百分制）如下：
A项目78 86 74 81 75 76 87 49 74 91 75 79 81 71 74
81 86 69 83
新七年级下册数学期末考试题及答案
人教版七年级下学期期末考试数学试题
数学试卷
（考试时间120分钟满分120分）
一．选择题：（每小题3分，共24分）
1．在实数：3.14159，3.46，1.010010001…，π，22
7
中，无理数有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案：B
2．下列运算正确的是（）
A、3a+2a＝5a2
B、2a2b﹣a2b＝a2b C．3a+3b＝3ab D、a5﹣a2＝a3
答案：B
3．下列调查中，最适合采用全面调查的是（）
A、对全国中学生睡眠时间的调查B．了解一批节能灯的使用寿命
C．对“中国诗词大会”节目收视率的调查D．对玉免二号月球车零部件的调查
答案：D
4．如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）
A、90°
B、110°
C、108°
D、100°
答案：D
5．买1本笔记本和3支水笔共需14元，买3本笔记本和1支水笔共需18元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（）
A、3元
B、5元
C、8元
D、13元
答案：C
6．将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B 的坐标是（）
A、（－1，3）
B、（5，3）
C、（﹣1，﹣5）
D、（5，﹣5）
答案：A
7．不等式组
215
x
x m
-<
⎧
⎨
<
⎩
的解集是x＜3，那么m的取值范围是（）
A、m＞3
B、m≥3
C、m＜2
D、m≤2
答案：B
8．已知实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）
A、ab＞0
B、a+b＜0
C、|a|＜|b|
D、a﹣b＞0
答案：C
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．16的平方根是．
答案：±4
10．如图，直线a，b相交，若∠1与∠2互余，则∠3的度数为．
答案：135°
11．某小区地下停车场入口了栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝°．
答案：120
12．一件夹克衫先按成本提高20%标价，再以9折出售，售价为270元，这件夹克衫的成本是．
答案：250
13．已知关于x的不等式
323
x a
x
-≥
⎧
⎨
-≥-
⎩
的整数解共有3个，则a的取值范围是．
答案：0＜a≤1
14．如图把“QQ笑脸”图标放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），右眼B 的坐标为（0，3），则嘴唇C点的坐标是．
答案：（﹣1，1）
15．某校为了解七年级同学的体能情况，随机选取部分学生测试一分钟仰卧起坐的次数，并绘制了如图所示的直方图，学校七年级共有600人，则计该校一分钟仰卧起坐的次数不少于25次的
有人．
答案：340
16．按下面的程序计算：
规定：程序运行到“判断结果是否大于7”为一次运算．若经过2次运算就停止，若开始输人的值x为正整数，则x可以取的所有值是．
答案：2或3
三、解答题：
17．（12分）计算题：
（1|1|
（2）解方程组
21 239 x y
x y
-=⎧
⎨
+=⎩
（3）解不等式组：
解：（1）原式＝3－21…………………………..4分
18．（6分）已知5a+2的立方根是3，4b+1的算术平方根是3，c求a+b+c 的值．
解：
19．（6分）已知不等式组
12
2561
x n
x m
-<
⎧
⎨
+>-
⎩
的解集是﹣6＜x＜3，求2m+n的值．
解：
20．（6分）如图，已知单位长度为1的方格中有个△ABC．
（1）请画出△ABC向上平移3格再向右平移2格所得△A′B′C．
（2）请以点A为坐标原点建立平面直角坐标系（在图中画出），
然后写出点B、点B′的坐标：B（，）；B′（，）
解：（1）如下图，
（2）B（1,2），B’（3,5）
21．（6分）如图，∠ADE＝∠B，CD∥FG，证明：∠1＝∠2．
解：
22．（8分）我市正在努力创建“全国文明城市”，为进一步营造“创文”氛围，我市某学校组织了一次“创文知识竞赛”，竞赛题共10题．竞赛活动结束后，学校团委随机抽查
部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽査的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次抽查的样本容量是；
（2）在扇形统计图中，m＝，n＝．
（3）补全条形统计图．
解：（1）样本容量是：
5
10%
＝50
（2）8
50
＝16%，所以，m＝16，
1－0.1－0.16－0.24－0.2＝0.3＝30%，所以，n＝30
（3）答对9题人数：30%×50＝15，
答对10题人数：20%×50＝10，
如下图，
23．（9分）某学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同），购买1个足球和2个篮球共需270元；购买2个足球和3个篮球共需440元．
（1）问足球和篮球的单价各是多少元？
（2）若购买足球和篮球共24个，且购买篮球的个数大于足球个数的2倍，购买球的总费用不超过2220元，问该学校有哪几种不同的购买方案？
解：（1）设购买一个足球需要x元，一个篮球需y元，则有
x＋2y＝270
2x ＋3y ＝440
解这个方程组得x ＝70，y ＝100，
所以，足球的单价是70元，篮球的单价是100元。

（2）设购买x 个足球，则篮球是（24－x ）个，则有
70100(24)2220242x x x x +-≤⎧⎨->⎩
， 解得：68x ≤<，
x 是整数，所以，x 可取6、7两种，
即有2种不同的购买方案。

24．（9分）如图，已知l 1∥l 2，线段MA 分别与直线l 1，l 2交于点A ，B ，线段MC 分别与直线l 1，l 2交于点C ，D ，点P 在线段AM 上运动（P 点与A ，B ，M 三点不重合），设∠PDB ＝α，∠PCA ＝β，∠CPD ＝γ．
（1）若点P 在A ，B 两点之间运动时，若a ＝25°，β＝40°，那么γ＝ ．
（2）若点P 在A ，B 两点之间运动时，探究α，β，γ之间的数量关系，请说明理由；
（3）若点P 在B ，M 两点之间运动时，α，β，γ之间有何数量关系？（只需直接写出结论）
解：（1）65°
（2）γ＝α＋β，理由如下：
如图，过点P 作PE ∥AC 交CD 于E ，
∵AC∥PE，
∴β=∠CPE，
又∵AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴α=∠DPE，
∴α+β=γ；
（3）β﹣α＝γ．
25．（10分）已知点A（a，0）和B（0，b）满足（a﹣4）2+｜b﹣6｜＝0，分别过点A，B 作x轴．y轴的垂线交于点C，如图所示．点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着O→B→C→A的路
新七年级下学期期末考试数学试题及答案
人教版七年级下学期期末考试数学试题
（考试时间120分钟满分120分）
一．选择题：（每小题3分，共24分）
1．在实数：3.14159，3.46，1.010010001…，π，22
7
中，无理数有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个答案：B
考点：实数的概念。

解析：无限不循环的小数为无理数，
无理数有：1.010010001…，π，共2个，其它为有理数。

2．下列运算正确的是（）
A、3a+2a＝5a2
B、2a2b﹣a2b＝a2b C．3a+3b＝3ab D、a5﹣a2＝a3
答案：B
考点：整式的运算。

解析：A、3a+2a＝5a，故错误；
B、正确；
C、不是同类项，不能合并；
D、不是同类项，不能合并；
3．下列调查中，最适合采用全面调查的是（）
A、对全国中学生睡眠时间的调查B．了解一批节能灯的使用寿命
C．对“中国诗词大会”节目收视率的调查D．对玉免二号月球车零部件的调查
答案：D
考点：统计。

解析：A、B、C容量大，不能做全面调查，只有D适合做全面调查。

4．如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）
A、90°
B、110°
C、108°
D、100°
答案：D
考点：两直线平行的性质。

解析：如下图，因为l1∥l2，
所以，∠3＝∠1＝50°，
∠3＋∠2＋30°＝180°，
∠2＝180°－50°－30°＝100°
5．买1本笔记本和3支水笔共需14元，买3本笔记本和1支水笔共需18元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（）
A、3元
B、5元
C、8元
D、13元
答案：C
考点：二元一次方程组。

解析：购买1本笔记本和1支水笔分别需x 、y 元，则有
314318x y x y ⎧⎨+=⎩＋＝，解得：53x y =⎧⎨=⎩
， x ＋y ＝5＋3＝8
6．将点A （2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B ，则点B 的坐标是（ ）
A 、（－1，3）
B 、（5，3）
C 、（﹣1，﹣5）
D 、（5，﹣5）
答案：A
考点：平移。

解析：点A （2，﹣1）向左平移3个单位长度后得到点：（－1，－1），
再向上平移4个单位长度得到点B （－1，3），故选A 。

7．不等式组215x x m -<⎧⎨<⎩
的解集是x ＜3，那么m 的取值范围是（ ） A 、m ＞3 B 、m ≥3 C 、m ＜2 D 、m ≤2
答案：B
考点：一元一次不等式组。

解析：2x －1＜5，得：x ＜3，
因为不等式组的解集是x ＜3，
所以，m ≥3
8．已知实数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A 、ab ＞0
B 、a +b ＜0
C 、|a |＜|b |
D 、a ﹣b ＞0
答案：C
考点：数轴，实数大小比较。

解析：由数轴可知：－1＜a ＜0，1＜b ＜2，
所以，ab ＜0，A 错误；
a +
b ＞0，B 错误；
C 正确；
a﹣b＜0，D错误。

二、填空题（每小题3分，共21分）
9．16的平方根是．
答案：±4
考点：平方根。

解析：因为（±4）2＝16，
所以，16的平方根是±4
10．如图，直线a，b相交，若∠1与∠2互余，则∠3的度数为．
答案：135°
考点：对顶角相等，互余、互补。

解析：依题意，有：∠1＝∠2，
又∠1与∠2互余，
所以，∠1＝∠2＝45°，
∠3＋∠2＝180°，
所以，∠3＝135°，
11．某小区地下停车场入口了栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC＝°．
答案：120
考点：两直线平行的性质。

解析：过B作BF∥CD，
因为CD∥AE，所以，BF∥AE，
∠BCD＋∠CBF＝180°，∠BCD＝150°，
所以，∠CBF＝30°，
∠ABC＝90°＋30°＝120°。

12．一件夹克衫先按成本提高20%标价，再以9折出售，售价为270元，这件夹克衫的成本是．
考点：一元一次方程。

解析：设这件夹克衫的成本是x 元，则
x （1＋20%）×0.9＝270，
化为：1.2x ＝300
解得：x ＝250（元）。

13．已知关于x 的不等式0323x a x -≥⎧⎨-≥-⎩
的整数解共有3个，则a 的取值范围是 ． 答案：0＜a ≤1
考点：一元一次不等式组。

解析：不等式组的解为：3a x ≤≤，
整数解有3个，分别为：3、2、1，
所以，0＜a ≤1
14．如图把“QQ 笑脸”图标放在直角坐标系中，已知左眼A 的坐标是（﹣2，3），右眼B 的坐标为（0，3），则嘴唇C 点的坐标是 ．
答案：（﹣1，1）
考点：平面直角坐标系。

解析：依题意，建立如下图所示的平面直角坐标系，
则C 点的坐标为（－1,1）。

15．某校为了解七年级同学的体能情况，随机选取部分学生测试一分钟仰卧起坐的次数，并绘制了如图所示的直方图，学校七年级共有600人，则计该校一分钟仰卧起坐的次数不少于25次的
有 人．
考点：统计图。

解析：由直方图可知，样本的容量为：3＋10＋12＋5＝30，
分钟仰卧起坐的次数不少于25次的有：12517 3030
+
=，
学校七年级的600人中一分钟仰卧起坐的次数不少于25次的有：
17
600
30
⨯＝340（人）。

16．按下面的程序计算：
规定：程序运行到“判断结果是否大于7”为一次运算．若经过2次运算就停止，若开始输入的值x为正整数，则x可以取的所有值是．
答案：2或3
考点：程序框图。

解析：第一次运算：2x＋1＞7，不成立，
即2x＋1≤7，解得：x≤3，
第二次运算：2x（2x＋1）＋1＝4x2＋2x＋1＞7，成立，
x为正整数，x≤3，
只有当x为2或3时，满足4x2＋2x＋1＞7。

三、解答题：
17．（12分）计算题：
（1|1|
（2）解方程组
21 239 x y
x y
-=⎧
⎨
+=⎩
（3）解不等式组：
考点：根式的运算，二元一次方程组，一元一次不等式组。

解析：（1）原式＝3－2－1..4分
18．（6分）已知5a+2的立方根是3，4b+1的算术平方根是3，c求a+b+c
的值．
考点：立方根，算术平方根。

解析：
19．（6分）已知不等式组
12
2561
x n
x m
-<
⎧
⎨
+>-
⎩
的解集是﹣6＜x＜3，求2m+n的值．
考点：一元一次不等式组。

解析：
20．（6分）如图，已知单位长度为1的方格中有个△ABC．
（1）请画出△ABC向上平移3格再向右平移2格所得△A′B′C．
（2）请以点A为坐标原点建立平面直角坐标系（在图中画出），
然后写出点B、点B′的坐标：B（，）；B′（，）
考点：平移变换，平面直角坐标系。

解析：（1）如下图，
（2）B（1,2），B’（3,5）
21．（6分）如图，∠ADE＝∠B，CD∥FG，证明：∠1＝∠2．
考点：两直线平行的判定与性质。

解析：
22．（8分）我市正在努力创建“全国文明城市”，为进一步营造“创文”氛围，我市某学校组织了一次“创文知识竞赛”，竞赛题共10题．竞赛活动结束后，学校团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽査的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次抽查的样本容量是；
（2）在扇形统计图中，m＝，n＝．（3）补全条形统计图．
考点：统计图。

解析：（1）样本容量是：
5
10%
＝50
（2）8
50
＝16%，所以，m＝16，
1－0.1－0.16－0.24－0.2＝0.3＝30%，所以，n＝30
（3）答对9题人数：30%×50＝15，
答对10题人数：20%×50＝10，
如下图，
23．（9分）某学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同），购买1个足球和2个篮球共需270元；购买2个足球和3个篮球共需440元．
（1）问足球和篮球的单价各是多少元？
（2）若购买足球和篮球共24个，且购买篮球的个数大于足球个数的2倍，购买球的总费用不超过2220元，问该学校有哪几种不同的购买方案？
考点：列二元一次方程组解应用题，一元一次不等式组。

解析：（1）设购买一个足球需要x元，一个篮球需y元，则有
x＋2y＝270
2x ＋3y ＝440
解这个方程组得x ＝70，y ＝100，
所以，足球的单价是70元，篮球的单价是100元。

（2）设购买x 个足球，则篮球是（24－x ）个，则有
70100(24)2220242x x x x +-≤⎧⎨->⎩
， 解得：68x ≤<，
x 是整数，所以，x 可取6、7两种，
即有2种不同的购买方案。

24．（9分）如图，已知l 1∥l 2，线段MA 分别与直线l 1，l 2交于点A ，B ，线段MC 分别与直线l 1，l 2交于点C ，D ，点P 在线段AM 上运动（P 点与A ，B ，M 三点不重合），设∠PDB ＝α，∠PCA ＝β，∠CPD ＝γ．
（1）若点P 在A ，B 两点之间运动时，若a ＝25°，β＝40°，那么γ＝ ．
（2）若点P 在A ，B 两点之间运动时，探究α，β，γ之间的数量关系，请说明理由；
（3）若点P 在B ，M 两点之间运动时，α，β，γ之间有何数量关系？（只需直接写出结论）
考点：两直线平行的性质，分类讨论。

解析：（1）65°
（2）γ＝α＋β，理由如下：
如图，过点P 作PE ∥AC 交CD 于E ，
∵AC∥PE，
∴β=∠CPE，
又∵AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴α=∠DPE，
∴α+β=γ；（3）β﹣α＝γ．。