江苏省海安县实验中学高二上学期期中考试试题(9科15份

实验中学2015—2016学年度第一学期期中考试试题
高二数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 命题“”的否定是 .
2. 直线,分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则与的位置关系为 .
3. 抛物线的准线方程为 ．
4. “”是“方程表示椭圆”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）
5. 已知直线,平面,且,给出下列命题:
①若∥，则m ⊥； ②若⊥，则m ∥; ③若m ⊥，则∥
④若m ∥，则⊥
其中正确的命题是 (填序号) ．
6. 若圆锥的侧面展开图圆心角为，则圆锥的底面半径和母线之比为 .
7. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同,
则双曲线的方程为 .
8. 已知或x > 3，q : a < x <3a (a >0).若是q 的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 9. 长、宽、高分别为4，3，的长方体的外接球的表面积为 .
10. 设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点 到的距离，则椭圆的离心
率是
．
11. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们
重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为
．
12. 在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于c 恒成立，则是实数
c 的最大值为 .
13. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ． 14. 已知是双曲线的右焦点，P 是C 左支上一点， ，当 周长最小时，该三角形的面积为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15. (本题满分14分) 已知命题p ：；命题q ：2220，x x ax a ∃∈++-=R ．
若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
16. (本题满分14分) 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高
2m ，载货后船露出水面上的部分高m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行.
17. (本题满分15分) 如图，三棱台的底面是直角三角形，为直角，
侧棱底
面.
(1) 求证：侧面；
（2）已知,,求这个棱台的侧面积.
18. (本题满分15分) 如图，三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别
是BC 、C A 的中点.
（1）证明：平面PBE ⊥平面P AC ；
（2）如何在BC 上找一点F ，使A D//平面PE F ？
并说明理由；
（3）若P A =AB =2，对于（2）的点F ，求三棱锥
B —PEF 的体积.
19. (本题满分16分) 如图，F 1、F 2分别为椭圆C ：
A
C
A 1
B 1
C 1
)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点到F 1、F 2两点的距离之和为4.
（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标，离心率，准线方程；
（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点， 求△F 1PQ 的面积.
（3）若点N (1,1）,试在椭圆上找一点M,使MN +2MF 2最小,并求出
该最小值.
20. (本题满分16分) 在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆T 的中心在坐标原点,一条准线方程为,且经过
点(1,0).
(1) 求椭圆T 的方程;
(2) 设四边形ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆T 相切. ① 求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ② 求矩形ABCD 面积S 的取值范围.
实验中学2015—2016学年度第一学期期中考试试题
高二数学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 命题“”的否定是 .
2. 直线,分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则与的位置关系为 .
相交或异面
3. 抛物线的准线方程为 ．
4. “”是“方程表示椭圆”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”） 必要不充分 ．
5. 已知直线,平面,且,给出下列命题:
①若∥，则m ⊥； ②若⊥，则m ∥; ③若m ⊥，则∥
④若m ∥，则⊥
其中正确的命题是 (填序号) ①④．
6. 若圆锥的侧面展开图圆心角为，则圆锥的底面半径和母线之比为 .
7. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同,
则双曲线的方程为
8. 已知或x > 3，q : a < x <3a (a >0).若是q 的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 9. 长、宽、高分别为4，3，的长方体的外接球的表面积为
10. 设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点 到的距离，则椭圆的离心
率是
．
11. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们
重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为
12. 在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于c 恒成立，则是实数
c 的最大值为 .
13. 已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 2 ． 14. 已知是双曲线的右焦点，P 是C 左支上一点， ，当 周长最小时，该三角形的面积为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15. (本题满分14分) 已知命题p ：；命题q ：2220，x x ax a ∃∈++-=R ． 若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围． 【解】： p 是真命题对恒成立．而函数的最小值为1， 所以使p 为真命题的a 的取值范围是．………5分
q 是真命题关于x 的方程有解，
即2(2)4(2)4(2)(1)0a a a a ∆=--=+-≥，亦即． 所以使q 为真命题的a 的取值范围是． ………10分 命题“p 且q ”是真命题p ，q 都是真命题．………12分 故使p 和q 为真命题的a 的取值范围是．………14分
16. (本题满分14分) 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高
2m ，载货后船露出水面上的部分高m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行.
解：建立直角坐标系，设抛物线型拱桥方程为， 过，. ,………5分 由于小船宽，当时，，
即当船顶距抛物线拱顶为m 时，小船恰好能通过.………10分 又载货后，船露出水面上的部分高m.
当水面距抛物线拱顶距离时，小船恰好能通行.………13分
答：当水面上涨到与抛物线拱顶相距时，小船恰好能通行.………14分
17. (本题满分15分) 如图，三棱台的底面是直角三角形，为直角，
侧棱底
面.
(1) 求证：侧面；
（2）已知,,求这个棱台的侧面积. 【证】：（1）∵底面， ∴,又为直角， ∴,又,
∴ ………7分 【解】(2) 在平面为垂足中，作H AB H B B A ,11⊥. ∵ ∴244111====B B A A H B BH ，. 又4811==B A AB ，因而，
故直角梯形.24111=S ABB A 的面积为 ………9分 由于～,且由4,6811===B A BC AB ，，
A
C
A 1
B 1
C 1
可知5C A 3,C 10.B AC 1111===, 而由B B BC 111,ABB A BC ⊥⊥得到平面, 故直角梯形218BCC B 211=S 的面积为. ………12分 又直角梯形，的面积为30ACC A 311=S
)23(18S 321+=++=∴S S S 侧 ………15分
18. (本题满分15分) 如图，三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别
是BC 、C A 的中点.
（1）证明：平面PBE ⊥平面P AC ；
（2）如何在BC 上找一点F ，使A D//平面PE F ？
并说明理由；
（3）若P A =AB =2，对于（2）的点F ，求三棱锥
B —PEF 的体积.
【证】（1）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE
又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA.
又PACA=A ，∴BE ⊥平面PAC ………3分 ∵BE 平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC ………5分 【解】（2）取CD 的中点F ，则F 即为所求 ………7分 ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD.
又EF 平面PEF ，AD 平面PEF ，∴AD//平面PEF ………10分 （3）1113332.3322B PEF P BEF BEF V V PA S --==
⋅=⋅⋅⋅⋅= ………15分 19. (本题满分16分) 如图，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右两个焦点，A 、
B 为两个顶点，已知椭圆
C 上的点到F 1、F 2两点的距离之和为4. （1）求椭圆C 的方程和焦点坐标，离心率，准线方程；
（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，
求△F 1PQ 的面积.
（4）若点N (1,1）,试在椭圆上找一点M,使MN +2MF 2最小,并求出
该最小值.
解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2；………1分
将点代入椭圆方程得， 解得b 2 = 3；
∴c 2 = a 2－b 2 = 4－3 = 1， 故椭圆方程为，
焦点F 1、F 2的坐标分别为（-1，0）和（1，0）， ，准线方程………5分 （2）由（1）知， ， ∴PQ 所在直线方程为, 由⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=+-=134
)1(232
2
y x x y 得 ，………7分 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则8
9
,232121-=⋅-=+y y y y ，………8分 2
21894434)(2122121=⨯+=
-+=-∴y y y y y y ，
.2
21
2212212121211=⨯⨯=-⋅=
∴∆y y F F S PQ F ………11分 (3) , ………16分
20. (本题满分16分) 在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆T 的中心在坐标原点,一条准线方程为,且经过
点(1,0).
(1)求椭圆T 的方程;
(2)设四边形ABCD 是矩形,且四条边都与椭圆T 相切. ①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ②求矩形ABCD 面积S 的取值范围.
【解】(1)因为椭圆T 的中心在坐标原点,一条准线方程为有y =2,
所以椭圆T 的焦点在y 轴上,于是可设椭圆T 的方程为y 2a 2+x 2
b 2=1(a >b >0).………………2分
因为椭圆T 经过点(1, 0),
所以2
22
2011a b =⎪+=⎪⎩，， 解得
故椭圆T 的方程为.………………4分 (2)由题意知,矩形ABCD 是椭圆的外切矩形,
①(i)若矩形ABCD 的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为, 则由2212
y x y kx m
⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(2)220k x kmx m +++-=,………………6分
于是2222
44(2)(2)0
k m k m
∆=-+-=,化简得.
所以矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为,即,
则另一组对边所在直线的方程为,
于是矩形顶点坐标(x,y)满足2222
()()(2)(12)
y kx ky x k k
-++=+++,
即2222
(1)()3(1)
k x y k
++=+,亦即.………………8分
(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴平行,则四个顶点显然满足.
故满足条件的所有矩形的顶点在定圆上.………………10分
②当矩形ABCD的边与坐标轴不平行时,由①知,一组对边所在直线间的距离为另一组对边的边
长,于是矩形的一条边长为,
=
所以S===
………………12分
令,则,
于是(6
S⎤
==⎦.………14分
②若矩形ABCD的边与坐标轴平行,则.
故S的取值范围是.………………16分。