2021年高考数学一轮复习 3-5指数与指数函数检测试题(2)文

2021年高考数学一轮复习 3-5指数与指数函数检测试题（2）文一、选择题
1．若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan aπ
6
的值为( )
A．0 B.
3
3
C．1 D.3
解析：由题意有3a＝9，则a＝2，所以tan aπ
6
＝tan
π
3
＝3，故选D.
答案：D
2．函数f(x)＝2|x－1|的图像是( )
A
B
C
D
解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －1
，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1
，x ＜1.故选B.
答案：B 3．若函数f (x )＝
1
2x
＋1
，则该函数在(－∞，＋∞)上是( ) A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值
D ．单调递增有最大值
解析：设y ＝f (x )，t ＝2x ＋1，则y ＝1t
，t ＝2x ＋1，x ∈(－∞，＋∞)，t ＝2x
＋1在(－∞，＋
∞)上递增，值域为(1，＋∞)．
因此y ＝1
t
在(1，＋∞)上递减，值域为(0,1)．
答案：A
4．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x
B ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫131－x
C ．y ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －1 D ．y ＝1－2x
解析：∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
的值域是正实数集，
∴y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫131－x
的值域是正实数集．
答案：B
5．已知f (x )＝2x ＋2－x
，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9
D ．11
解析：由f (a )＝3得2a
＋2－a
＝3， 两边平方得22a
＋2－2a
＋2＝9，
即22a
＋2
－2a
＝7，故f (2a )＝7.
答案：B
6．设函数f (x )＝2|x |
，则下列结论中正确的是( ) A ．f (－1)＜f (2)＜f (－2) B ．f (－2)＜f (－1)＜f (2) C ．f (2)＜f (－2)＜f (－1) D ．f (－1)＜f (－2)＜f (2) 解析：由题意，f (x )＝2|x |
＝2
|－x |
＝f (－x )，即f (x )为偶函数．
故⎩⎨⎧
f －1＝f 1，f －2＝f 2
，f
－2
＝f
2.
显然x ≥0时，f (x )＝2x
单调递增，所以f (－1)＝f (1)＜f (－
2)＝f (2)＜f (－2)＝f (2)． 答案：D
7．已知a ＞0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜1
2
，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12∪[2，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，1∪(1,4] C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，1∪(1,2] D.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14∪[4，＋∞) 解析：如果函数f (x )的定义域为[－1,1]，则0＜a ＜1时f (x )在x ＝1处取得最大值，所以
f (1)≤12
，解得12
≤a ＜1；a ＞1时，f (x )在x ＝－1处取得最大值，所以f (－1)≤12
，解得1＜a ≤2，
故选C.
答案：C 8．函数f (x )＝a
|x ＋1|
(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )
A ．f (－4)>f (1)
B ．f (－4)＝f (1)
C ．f (－4)<f (1)
D ．不能确定
解析：由题意知a >1，又f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2
，∴f (－4)>f (1)． 答案：A
9．若x ∈[－1,1]时，22x －1
＜a
x ＋1
恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(2，＋∞)
B ．(3，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(5，＋∞)
解析：由2
2x －1
＜a
x ＋1
⇒(2x －1)lg2＜(x ＋1)lg a ⇒x ·lg 4
a
－lg(2a )＜0.
设f (x )＝x ·lg 4
a －lg(2a )，由x ∈[－1,1]时，f (x )＜0恒成立，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
f
1＜0，f －1
＜0
⇒
⎩⎪⎨⎪⎧
lg 4
a －lg 2a ＜0，－lg 4a －lg 2a ＜0
⇒a ＞2为所求的范围.
答案：A
10．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13b
，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；
④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 和y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
的图像，如图所示．
由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13b
结合图像，可得a ＜b ＜0，或a ＞b ＞0，或a ＝b ＝0. 答案：B 二、填空题
11．若x＞0，则(2x 1
4
＋3
3
2
)(2x
1
4
－3
3
2
)－4x
－
1
2
(x－x
1
2
)＝__________.
解析：原式＝(2x 1
4
)2－(3
3
2
)2－4x
－
1
2
x＋4x
－
1
2
·x
1
2
＝4x 1
2
－33－4x
－
1
2
＋1＋4x
－
1
2
＋
1
2
＝4x 1
2
－27－4x
1
2
＋4x0
＝－27＋4
＝－23.
答案：－23
12．函数y＝a x＋2 012＋2 012(a＞0，a≠1)的图像恒过定点__________．解析：令x＋2 012＝0，则x＝－2 012，
此时y＝a0＋2 012＝1＋2 012＝2 013.
∴恒过定点(－2 012,2 013).
答案：(－2 012,2 013)
13．已知a＝5－1
2
，函数f(x)＝a x，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为
__________．
解析：∵a＝5－1
2
＜1，∴f(x)＝a x是递减函数．由f(m)＞f(n)，得m＜n.
答案：m＜n
14．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)且f(1)＝9.则f(x)的单调递减区间是__________．解析：由f(1)＝9得a2＝9，∴a＝3.
因此f(x)＝3|2x－4|，
又∵g(x)＝|2x－4|的递减区间为(－∞，2]，
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
三、解答题
15．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝
1
2|x|
＋2.
(1)求函数g(x)的值域；
(2)求满足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．
解析：(1)g (x )＝
12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |＋2， ∵|x |≥0，所以0＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
≤1，即2＜g (x )≤3.
∴g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0，得2x
－
1
2
|x |－2＝0. 当x ≤0时，显然不满足方程． 即只有x ＞0时，满足2x
－12x －2＝0.
整理，得(2x )2
－2·2x
－1＝0，(2x
－1)2
＝2， 故2x
＝1± 2.
∵2x
＞0，∴2x
＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)． 答案：(1)(2,3]；(2)log 2(1＋2)．
16．已知函数f (x )＝b ·a x
(其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )；
(2)若不等式⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b x
－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围.
解析：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x
，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a ＞0，且a ≠1，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝3.
∴f (x )＝3·2x
.
(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
≥m 在(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．
∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
在(－∞，1]上为减函数，
∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x
有最小值56.
∴只需m ≤5
6
即可．
答案：(1)f (x )＝3·2x
；(2)m ≤56
.
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1．[xx·济南质检]定义运算a ⊗b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a
a ≤
b ，
b a ＞b ，
则函数f (x )＝1⊗2x
的图像大致为( )
A B C D
解析：由a ⊗b ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a
a ≤
b ，b a ＞b ，
得f (x )＝1⊗2x
＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
x ≤0，1x ＞0.
答案：A
2．设a ＝22.5，b ＝2.50
，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A. a >c >b
B. c >a >b
C. a >b >c
D. b >a >c
解析：因为a ＝22.5>1，b ＝2.50
＝1，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 2.5<1，所以a >b >c .
答案：C
3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫121＋x
，则f (2 011)＋f (2 013)＝( )
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．－2
解析：由已知，得f (2 011)＋f (2 013)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)
＝1.
答案：A
4．已知函数f (x )＝a x
(a ＞0且a ≠1)在区间[－2,2]上的最大值不大于2，则函数g (a )＝log 2a 的值域是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞ 解析：①当a ＞1时，a 2
≤2⇒1＜a ≤2；②当0＜a ＜1时，a －2
≤2⇒
2
2
≤a ＜1，则g (a )＝log 2a
的值域为g (a )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12，故选B. 答案：B
5．已知函数f (x )＝|2x
－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是__________．
①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0；③2－a
<2c ；④2a ＋2c
<2. 解析：画出函数f (x )＝|2x
－1|的图像(如图)，
由图像可知，a <0，b 的符号不确定，c >0.故①②错； ∵f (a )＝|2a
－1|，f (c )＝|2c
－1|， ∴|2a
－1|>|2c －1|， 即1－2a
>2c
－1， 故2a
＋2c <2，④成立； 又2a
＋2c
>22
a ＋c
，∴2
a ＋c
<1，
∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a
>2c
，③不成立． 答案：④
6．设函数f (x )＝ka x －a －x
(a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)>0，求不等式f (x 2
＋2x )＋f (x －4)>0的解集；
(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x
－4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．
解析：∵f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴k －1＝0，即k ＝1. (1)∵f (1)>0，∴a －1
a
>0，
又a >0且a ≠1，∴a >1，f (x )＝a x －a －x
， ∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x
)ln a >0， ∴f (x )在R 上为增函数．
原不等式可化为f (x 2
＋2x )>f (4－x )，
∴x 2＋2x >4－x ，即x 2
＋3x －4>0， ∴x >1或x <－4，
∴不等式的解集为{x |x >1，或x <－4}． (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2
－3a －2＝0，
∴a ＝2或a ＝－1
2(舍去)，
∴g (x )＝22x
＋2
－2x
－4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x
)＋2.
令t (x )＝2x －2－x
(x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，
∴原函数变为w (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2
－2， ∴当t ＝2时，w (t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)． 即g (x )在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2.
答案：(1){x |x ＞1或x ≤－4}；(2)－2.32550 7F26 缦 435506 8AB2 課~21387 538B 压22727 58C7 壇LHq20941 51CD 凍e{+u。