2020最新题库大全2020年高考数学 试题分项 专题专题04 数列 理

2020最新题库大全2020年数学（理）高考试题分项专题04 数列
一、选择题
1、（全国1理15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______。

解．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，1
1n n a a q -=，又
21343S S S =+，即21111114()3()a a q a a a q a q +=+++，解得{}n a 的公比1
3
q =。

2、（广东理5）已知数列｛n a ｝的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足５＜k a ＜８，则k= （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 答案：B ；
解析：此数列为等差数列，1210n n n a S S n -=-=-，由5<2k-10<8得到k=8。

3、（天津文理8）设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
6、（福建理2）数列{}的前n 项和为，若)
1(1
+=
n n a n ，则5s 等于
A 1
B 65
C 61
D 30
1 解析：)1(1+=
n n a n =1
1
1+-n n ，
所以6
5
6151514141313121211543215=-+-+-+-+-
=++++=a a a a a S ，选B 9、（湖北理5）已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111
p
q n n n ∞
⎛
⎫+- ⎪⎝⎭=⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭→（ ） A ．0 B ．1 C ．
p
q
D ．
1
1
p q --
10、（湖北理8）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ， 且
7453n n A n B n +=+，则使得n n
a
b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案：选D
解析：由等差数列的前n 项和及等差中项，可得()()()()()()121
121121121112122112122
n n n n
n n a a n a a a b b b n b b ----+-+==
+-+ ()()2121
72145143871912
7213
221
1
n n n A n n B n n n n ---+++=====+-++++()n N *
∈， 故1,2,3,5,11n =时，
n
n
a b 为整数。

故选D 11、（海、宁理4）已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，
则其公差d =（ ）
Ａ．
23
-
Ｂ．13
-
Ｃ．
13
Ｄ．
23
12、（海、宁理7）已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，
则2
()a b cd
+的最小值是（ ）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2
Ｄ．4
【答案】：D
【分析】：,,a b x y cd xy +=+=Q
2
22(2)()() 4.xy a b x y cd xy xy
++∴=≥=
14、（重庆理1）若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ）
A ．3 B.4 C. 5 D. 6
15、（重庆理8）设正数a,b 满足4)(2
2lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞→n
n n n n b a
ab a 21
1
1lim （ ） A ．0 B ．41 C ．2
1
D ．1
【答案】：B 【分析】：22
1()44242.2lim x a x ax b a b a b b →+-=⇒+-=⇒=∴=Q
11
1
11
()()122.11124()2()22
lim lim lim n n n n n n n
n n n n a a a a a ab b b a a
b a b a +--→∞→∞→∞++
+∴
===+++ 18、（辽宁理4文5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=
（ ）
A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
解析：由等差数列性质知S 3、S 6-S 3、S 9-S 6成等差数列，即9，27，S 成等差，所以S=45，选B 20、（陕西理5）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S n =2,S 30=14,则S 40等于
（A ）80 （B ）
30 (C)26 (D)16ZX 21、（陕西理9）给出如下三个命题：
①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad=bc; ②设a,b ∈R ，则ab ≠0
若
b a ＜1，则a
b
＞1； ③若f(x)=log 22x=x,则f （|x|）是偶函数
其中不正确命题的序号是
A.①②③
B.①②
C.②③
D.①③ 解析：①ad =bc 不一定使a 、b 、c 、d 依次成等比数列，如取a=d=-1，b=c=1；②a 、b 异号时不正确，选B 二、填空题
1、（天津13） 设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为,n S 则
2
2lim n n n
a n S →∞-=__________. 3、（广东文13）已知数列{an}的前n 项和S n =n 2
-9n ，则其通项an= ；若它的第k 项满足5<a k <8，则k=
【解析】{an}等差,易得210n a n =-,解不等式52108k <-<,可得8k =
4、（全国2理16）已知数列的通项a n =－5n +2,其前n 项和为S n , 则2
lim
n
n S n →∞= 。

解、已知数列的通项a n =－5n +2，其前n 项和为S n (51)2n n --，则2lim n n S
n
→∞=－25。

6、（安徽理14）如图，抛物线y =－x 2
+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P 1,P 2,…,P n －1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，
Q 2，…，Q n －1，从而得到n －1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △Q n －1P n －1P n －1,当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限
为 .
解析：如图，抛物线y =－x 2
+1与x 轴的正半轴交于点A (1，0)，
将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P 1,P 2,…,P n －1,过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，…，Q n －1，从而得到n －1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2,…, △
Q n －1P n －2P n －1, ∴ 11(,0)k k P n --，2121
(1)(,1)k k k Q n n ----，211
||n n P P n --=，当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为22
2221112(1)lim [(1)(1)(1)]2n n n n n n →∞-⋅-+-+-
L . 整理得221
(1)(1)(2)(23)
16lim []2n n n n n n n n
→∞-----=31。

8、（北京理10）若数列{}n a 的前n 项和2
10(123)n S n n n =-=L ，
，，，则此数列的通项公式为
；数列{}n na 中数值最小的项是第
项．
解析：数列{}n a 的前n 项和2
10(123)n S n n n =-=L ，
，，，数列为等差数列，数列的通项公式为1n n n a S S -=-=211n -，数列{}n na 的通项公式为2
211n na n n =-，其中数值最小的
项应是最靠近对称轴11
4
n =的项，即n=3，第3项是数列{}n na 中数值最小的项。

9、（江西理14）已知数列{}n a 对于任意*
p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119
a =，则36a =
．
12、（重庆理14）设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程2
4830x x -+=的两根，
则=+20072006a a __________. 【答案】：18
【分析】：2004a Q 和2005a 是方程2
4830x x -+=的两根，故有：
200420051232a a ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或20042005
32
12
a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）。

3.q ∴=
2
22006200720053
()(33)18.2
a a a q q +=+=⨯+=
三、解答题
1、（重庆理21）已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且
*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=
（1）求{n a }的通项公式； （2）设数列{n b }满足1)12
(=-n
b n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：
（Ⅱ）证法一：由1)12(=-b n a 可解得 133log 11log -=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=n n
a b z n z z ； 从而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=133··56
·23log 21n n b b b T z n n ΛΛ。

因此23n 2·
133··56
·23log )3(log 133
+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+n n a T z n z n Λ。

令23n 2·
133··56
·23)(3
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=n n x f Λ,则 2
33
)23)(53()33(23n 33n ·5323)()1(+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+n n n n n n f n f 。

因079)23)(53()33(22＞+=++-+n n n n ，故 )()1(n f n f ＞+.
特别的120
27
)1()(＞=
≥f n f 。

从而0)(log )3log(13＞n f a T n n =+-+， 即)3(log 132++n n a T ＞。

证法二：同证法一求得b n 及T n 。

由二项式定理知当c ＞0时，不等式 c c 31)1(3++＞成立。

由此不等式有
323
22log 133··5
6·322log 13x n A n n T =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+Λ
＞)3(log )23(log 2log 222+=+=n n n n a n C B A 。

2、（浙江理21）已知数列{}n a 中的相邻两项212k k a a -，是关于x 的方程
2(32)320k k x k x k -++=g 的两个根，且212(123)k k a a k -=L ≤，，，．
（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ；
本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．
（I ）解：方程2(32)320k
k x k x k -++=g
的两个根为13x k =，22k x =， 当1k =时，1232x x ==，， 所以12a =；
当2k =时，16x =，24x =， 所以34a =；
当3k =时，19x =，28x =， 所以58a =时；
当4k =时，112x =，216x =， 所以712a =．
（II ）解：2122n n S a a a =+++L
2(363)(222)n n =+++++++L L
2133222
n n n
++=+-．
（III ）证明：(1)
123456212111(1)f n n n n
T a a a a a a a a +--=+-++
L ， 所以112116
T a a =
=， 2123411524
T a a a a =
+=． 当3n ≥时，
(1)
3456212111(1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-++
L ， 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭
L ≥
2311111662622n ⎛⎫
+-++ ⎪⎝⎭
L g ≥ 111
6626
n
=
+>g ， 同时，(1)5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--++
L 5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭
L ≤
31511112492922n ⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭
L g ≤
515
249224
n =
-<
g ． 综上，当n ∈N*时，
15624
n T ≤≤． 3、（浙江文19）已知数列{n a }中的相邻两项21k a -、2k a 是关于x 的方程
2(32)320k k x k x k -++⋅= 的两个根，且21k a -≤2k a (k ＝1，2，3，…)．
(I)求1357,,,a a a a 及2n a (n ≥4)(不必证明)； (Ⅱ)求数列{n a }的前2n 项和S 2n ．
本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分．
(I)解：方程2(32)320k k
x k x k -++⋅=的两个根为123, 2k x k x ==．
当k ＝1时，123,2x x ==，所以12a =； 当k ＝2时，126,4x x ==，所以34a =；
4、（天津理21）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *
∈N ，使得
11n k n k
a a
a a ++≤对任意n *∈N 均成立． 本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解法一：222
22(2)22a λλλλ=++-=+，
2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．
由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n
n a n λ=-+．
以下用数学归纳法证明．
（1）当1n =时，12a =，等式成立．
（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k k
k a k λ=-+，
那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k
k λλλλλ++=-+++-
11[(1)1]2k k k λ++=+-+．
这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n
n a n λ=-+对
任何n *
∈N 都成立．
这时数列{}n a 的前n 项和2121
2
(1)22(1)
n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=
．这时数列{}n a 的前n 项和1
(1)222
n n n n S +-=+-． （Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的第一项2
1
a a 最大，下面证明：
21214
,22
n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要2
12(4)(2)n n a a n λ+<+≥， 因为222(4)(4)(1)(1)2n n
n a n λλλλ+=+-++
124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·
1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．
所以③式成立．
因此，存在1k =，使得
1
121
n k n k a a a
a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立．
7、（上海理20）若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即
1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项
（2）已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得2
1
1,2,2...2m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2020项和2008S
③ 122221222212222m m m m ----L L ，
，，，，，，，，，；
④ 1222212222112222m m m m ----L L ，
，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，122
22120082007
22008-=++++=ΛS ． 当15002007m <≤时，20092212
20082222
21----+++++++=m m m m S ΛΛ 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ．
对于②，当2008m ≥时，12
2008
2008-=S ． 当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ．
对于③，当2008m ≥时，2008
200822--=m m S ．
当15002007m <≤时，2008S 32
22009-+=-m
m ．
对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．
当15002007m <≤时，2008S 22
22008-+=-m
m ．
9、（陕西理22）已知各项全不为零的数列{a k }的前k 项和为S k ,且S k ＝∈+
k a a k k (2
1
1N *),其中a 1=1.
(Ⅰ)求数列{a k }的通项公式;
(Ⅱ)对任意给定的正整数n (n ≥2),数列{b k }满足1
1++-=b k k a n
k b b （k =1,2,…，n -1）,b 1=1. 求b 1+b 2+…+b n
.
所以1121121(1)(2)(1)
(1)1(1)21
k k k k k k b b b n k n k n b b b b b k k -----+-+-=
=--L g g L g g g g g g L g g
11(1)(12)k k
n C
k n n
-=-=g L ，，，．
故123n b b b b ++++L 12311(1)n n
n n n n C C C C n -⎡⎤=-+-+-⎣⎦L {}
012111(1)n n
n n n n C C C C n n
⎡⎤=--+-+-=⎣⎦L g ．
11、（山东理17）设数列{}n a 满足2
1
123333
3
n n n a a a a -++++=
…，a ∈*
N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n n
n
b a =
，求数列{}n b 的前n 项和n S ． (I)2
1
12333 (3)
,3n n n a a a a -+++=
2212311
33...3(2),3
n n n a a a a n ---+++=≥
111
3(2).333n n n n a n --=-=≥
1
(2).3
n n a n =≥
验证1n =时也满足上式，*
1().3
n n a n N =∈
(II) 3n
n b n =⋅，
13、（全国2理21）设数列{}n a 的首项1
13(01)2342
n n a a a n --∈==，
，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设32n n b a a =-，证明1n n b b +<，其中n 为正整数．
那么，22
1n n b b +-
22112
22(32)(32)
3332(32)229(1).4
n n n n n n n n n n a a a a a a a a a
a ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=-
又由（1）知0n a >且1n a ≠，故22
10n n b b +->，
因此
1n n b b n +<，为正整数．
方法二：
由（1）可知3
012
n n a a <<≠，， 因为132
n
n a a +-=
， 所以
11
(3)32n n n n n a a b a a +++-=-=．
由1n a ≠可得3
3(32)2n n n a a a -⎛⎫
-< ⎪⎝⎭，
即 2
2
3(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭
g
两边开平方得
3322
n
n n a a a a --<
g 即 1n n b b n +<，为正整数．
15、（全国1理22）已知数列{}n a 中12a =，1(2
1)(2)n n a a +=-+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，134
23
n n n b b b ++=
+，123n =，，，…，
证明：432n n b a -<≤，123n =，，，…．
即n a 的通项公式为2(21)1n
n a ⎤=
+⎦，1
23n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当1n =22<，112b a ==，所以
112b a <≤，结论成立．
（ⅱ）假设当n k =432k k b a -<≤， 也即43023k k b a -<． 当1n k =+时，
134
2223
k k k b b b ++-=
+
(322)(432)
23
k k b b -+-=
+
(3
22)(2)
023
k k b b --=
>+，
17、（辽宁理21）已知数列{}n a ，{}n b 与函数()f x ，()g x ，x ∈R 满足条件：
n n a b =，1()()()n n f b g b n +=∈N*.
（I ）若()1
02f x tx t t +≠≠≥，，，()2g x x =，()()f b g b ≠，lim n n a →∞
存在，求x 的取值范围；
（II ）若函数()y f x =为R 上的增函数，1
()()g x f x -=，1b =，(1)1f <，证明对任意
n ∈N*，lim n n a →∞
（用t 表示）
．
18、（江西理22）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有
1111
11
22111
n n n n
a a a a n n ++++<<+-+．
（1）求1a ，3a ；
（3）求数列{}n a 的通项n a ．
解：（1）据条件得111111
2(1)2n n n n n n a a a
a ++⎛⎫+
<++<+ ⎪⎝⎭
① 当1n =时，由21211111
222a a a a ⎛⎫+
<+<+ ⎪⎝⎭
，即有1112212244a a +<+<+，
解得
128
37
a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由331111
26244a a ⎛⎫+
<+<+ ⎪⎝⎭
， 解得3810a <<，所以39a =．
22
212(1)1
(1)(1)11
k k k a k k k ++⇒+-<<+++-
因为2k ≥时，2
2
(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]2
2
(1)011
k k +∈+，． 11k -≥，所以
(]1
011
k ∈-，． 又1k a +∈*
N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．
故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2
n a n =成立． 由1o ，2o
知，对任意n ∈*N ，2n a n =．
（2）方法二：
由11a =，24a =，39a =，猜想：2
n a n =．
下面用数学归纳法证明．
则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是2
1(1)k a k ++≤ ③
又由②右式，2222
1(1)21(1)1
k k k k k k k k a k k
+++-+-+<=． 则23
1(1)(1)k k k a k k +-+>+．
因为两端为正整数，则243
1(1)1k k k a k k +-+++≥，
所以4321221(1)11
k k k k
a k k k k k +++=+--+-+≥．
又因2k ≥时，1k a +为正整数，则2
1(1)k a k ++≥ ④
据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2
n a n =成立． 由1o ，2o
知，对任意n ∈*N ，2n a n =．
19、（江苏理20）已知 {}n a 是等差数列，
{}n b 是公比为q 的等比数列，11221,a b a b a ==≠，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，
（1）若(,k m b a m k =是大于2的正整数)，求证：11(1)k S m a -=-；（4分）
（2）若3(i b a i =是某一正整数)，求证：q 是整数，且数列{}n b 中每一项都是数列{}n a 中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数q ，使等比数列{}n b 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
解：设{}n a 的公差为d ，由11221,a b a b a ==≠，知0,1d q ≠≠，()11d a q =-（10a ≠） （1）因为k m b a =，所以()()111111k a q a m a q -=+--，
()11n n b a q n N -+=∈，设数列{}n a 中的某一项m a ()m N +∈=()()1111a m a q +--
现在只要证明存在正整数m ，使得n m b a =，即在方程()()1
11111n a q a m a q -=+--中m
有正整数解即可，()()11
221
111,111
n n n q q
m q m q q q q ----=+---==+++-L ，所以
222n m q q q -=+++L ，若1i =，则1q =-，那么2111,222n n b b a b b a -====，当3
i ≥时，因为1122,a b a b ==，只要考虑3n ≥的情况，因为3i b a =，所以3i ≥，因此q 是正整数，所以m 是正整数，因此数列{}n b 中任意一项为
()11n n b a q n N -+=∈与数列{}n a 的第222n q q q -+++L 项相等，从而结论成立。

（3）设数列{}n b 中有三项(
),,,,,m n p b b b m n p m n p N +
<<∈成等差数列，则有
21
11111,n m p a q
a q a q ---=+设()
,,,n m x p n y x y N +-=-=∈，所以21y
x q q
=
+，令1,2x y ==，则3210,q q -+=()()2
110q q q -+-=，因为1q ≠，所以210q q +-=，
所以()51
2q -=
舍去负值，即存在51
2
q -=使得
{}n b 中有三项()13,,m m m b b b m N +++∈成等差数列。

20、（湖南理21）已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线x
y e =上的点，1a a =，n S 是数列{}
n a 的前n 项和，且满足222
13n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，
…． （I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
（2n ≤）是常数数列； （II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增
所以2
262n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)n n b n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
≥是常数数列．
（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，所以
332a a =+，4182a a =-．
而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列， 所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N*， 数列{}n a 是单调递增数列12a a ⇔<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立．
12a a ⇔<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+-
1234a a a a ⇔<<<9151223218244
a a a a a ⇔<-<+<-⇔
<<． 即所求a 的取值集合是9154
4M a
a ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭．
（III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n n
a a n n n n n n n
b b e e k a a a a ++++--==
-- 任取0x ，设函数0
0()x x e e f x x x -=-，则002
0()()()()
x x x e x x e e f x x x ---=- 记00()()()x
x x g x e x x e e =---，则00()()()x x x x
g x e x x e e e x x '=-+-=-，
当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，
上为增函数， 当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，
所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，
上都是增函数．
由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，
取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n n
a a n n e e a a ++-<
-． 取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-2
2
n n a a n n e e a a ++->
-． 所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．
解法二：设函数1
1
()n a x n e e f x x a ++-=-，同解法一得，()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，
上都是增函数，
所以111111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→，2111
11211
lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++++
+++++--=>=--→． 故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随n 单调递增．
21、（湖南文20）设n S 是数列{}n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且222
13n n n S n a S -=+，
0n a ≠，234n =L ，，，．
（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；
（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N*）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项．
解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．
因为10n n n a S S -=-≠，所以2
13n n S S n -+=． …………………………① 于是2
13(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………②
由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有1215a a +=，所以332a a =+，
而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．
所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N*．
由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}
k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．
若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，
此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，1
37n k -=⨯∈N*，从而n b 是数列{}n a 中
的第1
67
n -⨯项．
（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第
126723
n a
-⨯+
-项即可）
22、（湖北理21）已知m n ，为正整数，
（I ）用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1m
x mx ++≥；
（II ）对于6n ≥，已知11132m n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，求证1132m
m m ⎛⎫-< ⎪
+⎝⎭， 求证1132m m
m n ⎛
⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，1
2m n =L ，，，； （III ）求出满足等式34(2)(3)n
n
n
m
n n ++++=+L 的所有正整数n ．
本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．
解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边2
12x x =++，右边12x =+，
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当6n ≥时，
2
121111111113332222n n n
n
n
n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+-++-<+++=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L ，
2131333n n n
n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ∴． 即34(2)(3)n
n
n
n
n n ++++<+
L ．即当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ．
故只需要讨论12345n =，，，，的情形： 当1n =时，34≠，等式不成立； 当2n =时，2
2
2
345+=，等式成立； 当3n =时，3
3
3
3
3456++=，等式成立；
当4n =时，4
4
4
4
3456+++为偶数，而4
7为奇数，故4
4
4
4
4
34567+++≠，等式不成立； 当5n =时，同4n =的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的n 只有23n =，．
因为1x >-，所以10x +>．又因为02x k ≠，≥，所以2
0kx >．
于是在不等式(1)1k
x kx +>+两边同乘以1x +得
2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++>++=+++>++·，
所以1
(1)
1(1)k x k x ++>++．即当1m k =+时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（Ⅱ）证：当6n ≥，m n ≤时，11132n
n ⎛
⎫-< ⎪+⎝⎭∵，11132n
m m
n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<⎢⎥ ⎪
⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦∴，
而由（Ⅰ），111033m
m n n ⎛
⎫--> ⎪
++⎝⎭
≥， 1111332n
n
m m
m n n ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫--<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎣⎦∴≤． （Ⅲ）解：假设存在正整数06n ≥使等式000
00034(2)
(3)n
n
n n n n ++++=+L 成立，
即有000
00002341333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． ②
又由（Ⅱ）可得000
0000234333n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L
000
0000011111333n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
00
01
1111112222n n n -⎛⎫⎛⎫
<+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
L ，与②式矛盾．
故当6n ≥时，不存在满足该等式的正整数n ． 下同解法1．
24、（广东理21）已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，'()f x 是
f (x)的导数；设11a =，1()
'()
n n n n f a a a f a +=-
（n=1,2,……） （1）求,αβ的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ； （3）记ln
n n n a b a a
β
-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n 。

解析：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，
∴αβ=
=
； （2）'()21f x x =+，21
115
(21)(21)12
442121
n n n n
n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ =5114
(21)4
212n n a a ++
-
+，∵11a =，
∴有基本不等式可知20a >
（当且仅当1a
时取等号）
，∴20a >
同，样3a >
，……，n a α>=（n=1,2,……）， （3）1()()(1)2121
n n n n n n n n a a a a a a a a αββ
ββα+----=--=++++，而1αβ+=-，即1αβ+=-，
21()21n n n a a a ββ+--=+，同理21()21n n n a a a αα+--=+，12n n b b +=，
又11ln 1b βα-===-
2(2n n S =-
26、（福建理21）等差数列{}n a 的前n
项和为1319n S a S ==+， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；
（Ⅱ）设()n
n S b n n
*=
∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查等比数
列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分
解：
（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，
2d ∴=，
故21(n n a n S n n =-=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得n
n S b n n
=
=+ 假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2
q p r b b b =．
即2
((q p r +=++．
2()(20q pr q p r ∴-+--=
p q r *∈N Q ，，，
2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，，
2
2()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，
，． 与p r ≠矛盾．
所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．
28、（北京理15，文科16）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =L ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．
（I ）求c 的值；
（II ）求{}n a 的通项公式．
1(1)n n a a n c --=-，
所以1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=+++-=
L ． 又12a =，2c =，故2
2(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=L ，
，． 当1n =时，上式也成立，
所以2
2(12)n a n n n =-+=L ，
，．
29、（安徽理21）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d （d >0），因此，历年所交纳的储务金数目a 1，
a 2，…是一个公差为d 的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利
率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r （r >0），那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a 1（1＋r ）
n －1
，第二年所交纳的储备金就变为a 2（1＋r ）
n －2
，……，
以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额. （Ⅰ）写出T n 与T n －1（n ≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证：T n ＝A n ＋B n ，其中｛A n ｝是一个等比数列，｛B n ｝是一个等差数列.
本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、
建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．
1[(1)1](1)n n n d
r r a r a r
=
+--++-． 即1122(1)n
n a r d a r d d T r n r r r ++=+--．
如果记12(1)n
n a r d A r r +=+，12n a r d d B n r r
+=--，
则n n n T A B =+． 其中{}n A 是以
12
(1)a r d
r r
++为首项，以1(0)r r +>为公比的等比数列；{}n B 是以12a r d d r r +--为首项，d
r
-为公差的等差数列．
2020年高考数学试题分类汇编—数列
1．（2020年福建卷）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 （B ） （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45 2．（2020年广东卷）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是
A.5
B.4
C. 3
D.2
2．330
25515
20511=⇒⎩⎨
⎧=+=+d d a d a ，故选C.
3．（2020年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .
5．（2020年广东卷）=)3(f 10，6
)
2)(1()(++=
n n n n f
6． ( 2020年重庆卷)在等差数列｛a n ｝中，若a a+a b =12,S N 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S N 的值为 (B)
（A ）48 (B)54 (C)60 (D)66
(14) ( 2020年重庆卷)在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项
a n =__123n +-___.
7．（2020年全国卷II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6
S 12
＝ (A)
（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）19
8．（2020年全国卷II ）函数f (x )＝∑i ＝1
19
|x －n |的最小值为 ( C )
（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 9．（2020年天津卷）已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，
且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ C ）
A ．55
B ．70
C ．85
D ．100
10. （2020年湖北卷）若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则a =（D ）
A.4
B.2
C.-2
D.-4
10．解选D ：依题意有2
2,,
310.a c b bc a a b c +=⎧⎪=⎨⎪++=⎩
4,2,8.a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
11．（2020年全国卷I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，
12380a a a =，则111213a a a ++=
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
11．12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080
a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=。

选B 。

这个题主要反映一个“元”的概念：确定一个等差数列，需要且只要两个独立的“元”。

在这个解法中，我选择的是2a 和d 。

12．（2020年江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B u u u r ＝200OA a OC u u u r u u u r
＋，且
A 、
B 、
C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ A ） A ．100 B. 101 C.200 D.201
解：依题意，a 1＋a 200＝1，故选A
13．（2020年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于
14．（2020年北京卷）设4710310
()22222()n f n n N +=+++++∈L ，则()f n 等于 (D)
（A ）
2(81)7n
- （B ）
1
2(81)7
n +- （C ）3
2(81)7
n +-
（D ）
4
2(81)7
n +- 15．（ 2020年浙江卷）设S n 为等差数列a,的前n 项和，若S n -10, S n =-5,则公差为 -1 （用数字作答）.
16．（ 2020年浙江卷）已知函数f(x)=x 3
+ x 3
，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）
.
求证：当n *
N ∈时，
(Ⅰ)x ;2312
12+++=+n n n n x x x
（Ⅱ）21
)2
1
()
2
1(--≤≤n n n x
16．略。

17．(2020年山东卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2
+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；
（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； （3） 记b n =
211++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +1
32-n T =1. 17.(2) 2
1
3n
n T -=,2
1
31n
n a -=-;
18．（2020年北京卷）在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且12||,3,4,5,n n n a a a n --=-=L ，则称{}n a 为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列”{}n a 中，20213,0a a ==，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++，
1,2,3,n =L ，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求
出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 18．（Ⅰ）1233,1,2a a a ===，4561,1,0a a a ===，7891,1,0a a a ===，101a =。

（Ⅱ）略；
（Ⅲ）331320,
,,
n k n k n k a a A a
A +++++=⎧⎪
=⎨⎪=⎩0,1,2,3,k =L 。

19．（2020年上海卷）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1．
（1）求证：数列{n a }是等比数列； （2）若a ＝2
1
22
-k ，数列{n b }满足n b ＝
)(log 1
212n a a a n
⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ）
，求数列{n b }的通项公式；
（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －
23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －2
3
|＋|k b 2－2
3
|≤4，求k 的值． [解]（1）
（2）
20．（2020年辽宁卷）已知0(),n
f x x ='11()
()(1)
k k k f x f x f --=,其中(,)k n n k N +≤∈,
设021222
01()()()...()...()k n n n n k n n F x C f x C f x C f x C f x =+++++,[]1,1x ∈-.
(I) 写出(1)k f ;
(II) 证明:对任意的[]12,1,1x x ∈-,恒有1
12()()2(2)1n F x F x n n --≤+--.
【解析】(I)由已知推得()(1)n k
k f x n k x -=-+,从而有(1)1k f n k =-+
(II) 证法1:当11x -≤≤时,
212(1)22(2)2()12
()(1)...(1)...21n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-+-++++ 当x>0时, ()0F x '>,所以()F x 在[0,1]上为增函数 因函数()F x 为偶函数所以()F x 在[-1,0]上为减函数
所以对任意的[]12,1,1x x ∈-12()()(1)(0)F x F x F F -≤-
0121
1210(1)(0)(1)...(1)...2(1)...(1)...2k n n n n n n
n n n k n n
n n n
F F C nC n C n k C C nC n C n k C
C C
-----=++-+-+++=+-+-++++
1
(1)()(1,2,31)
n k n k
n k n n n
k
k n n
n k C n k C C nC
C k n -----+=-+=+=-Q L
1211210
1111
1
(1)(0)(...)(...)(2
1)212(2)1
k n n n n n n n n
n n
n F F n C C C C C C C n n n --------=++++++=-+-=+--
因此结论成立.
证法2: 当11x -≤≤时,
212(1)22(2)2()12
()(1)...(1)...21n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-+-++++ 当x>0时, ()0F x '>,所以()F x 在[0,1]上为增函数 因函数()F x 为偶函数所以()F x 在[-1,0]上为减函数
所以对任意的[]12,1,1x x ∈-12()()(1)(0)F x F x F F -≤-
0121
(1)(0)(1)...(1)...2k n n n n n n F F C nC n C n k C C --=++-+-+++ 又因12110(1)(0)23......k n n n n n n F F C C kC nC C ---=++++++ 所以12110
2[(1)(0)](2)[......]2k n n n n n n F F n C C C C C ---=+++++++
12110
12(1)(0)[......]2
2(22)12(2)1
2
k n n n n n n n n n F F C C C C C n n n ---+-=
+++++++=-+=+--
因此结论成立.
证法3: 当11x -≤≤时,
212(1)22(2)2()12
()(1)...(1)...21n n n k n k n n n n n F x x nC x n C x n k C x C x ----=++-+-++++ 当x>0时, ()0F x '>,所以()F x 在[0,1]上为增函数 因函数()F x 为偶函数所以()F x 在[-1,0]上为减函数
所以对任意的[]12,1,1x x ∈-12()()(1)(0)F x F x F F -≤-
0121
(1)(0)(1)...(1)...2k n n n n n n F F C nC n C n k C C --=++-+-+++
由
11221
121
1
12[(1)][.....1]
.....n n n n k n k n n n n n n
n k n k n n n
n
n
x x x x C x C x C x C x C x C x
C x
C
x x
------+-+-=+++++=+++++
对上式两边求导得
111221
(1)(1)(1)...(1)..21
n n n n n n k n k n n n n n x x nx x nx nC x n C x n k C x C x -----+-++-=+-+-++++22212()(1)(1)n n n F x x nx x nx -=+++-
11(1)(0)221(2)21n n n F F n n n n --∴-=+--=+--
因此结论成立.
【点评】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 22．（2020年江苏卷）设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），
证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）
∴数列}{n a 为等差数列。

综上所述：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）。

点评：本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力
23．（2020年全国卷II ）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2
－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式．
22．解：(Ⅰ)当n ＝1时，x 2
－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，
于是(a 1－1)2
－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12
．
当n ＝2时，x 2
－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12
，
于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝1
6
．
(Ⅱ)由题设(S n －1)2
－a n (S n －1)－a n ＝0，
即 S n 2
－2S n ＋1－a n S n ＝0．
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得 S n －1S n －2S n ＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝2
3．
由①可得S 3＝3
4
．
由此猜想S n ＝
n
n ＋1
，n ＝1，2，3，…． ……8分
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i )n ＝1时已知结论成立． (ii )假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝
k
k ＋1
，
当n ＝
k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1
k ＋2，
故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(i )、(ii )可知S n ＝
n
n ＋1
对所有正整数n 都成立． ……10分 于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1
n (n ＋1)，
又n ＝1时，a 1＝12＝1
1×2，所以
｛a n ｝的通项公式a n ＝
n
n ＋1
，n ＝1，2，3，…． ……12分
24．（2020年四川卷）已知数列{}n a ，其中()12111,3,22n n n a a a a a n +-===+≥，记数列
{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}ln n S 的前n 项和为n U
（Ⅰ）求n U ； （Ⅱ）设()()
()()()2'2
1
0,2!n U n
n
n n k k e F x x
x T x F x n n ==>=∑，
（其中()'k F x 为()k F x 的导函数），计算()
()
1lim
n n n T x T x →∞+
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运
算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分。