第二届物理竞赛贴吧排位赛-参考答案

第⼆届物理竞赛贴吧排位赛-参考答案
2 0 2 第⼆届物理竞赛贴吧排位赛第 1 次⽐赛参考答案
题⼀
(a) 每块砖顶⾓：α =
2?+1
(1)
设第 i+1 块砖块对第 i 块砖的⽀持⼒和摩擦⼒都以斜上为正⽅向。

顶部 2i+1 块砖竖直⽅向受⼒：αα
2?i sin (iα + 2) + 2f i cos (iα + 2
) = (2i + 1)? (2)
左边（i+1）块砖⽔平受⼒：
ααα
i cos (iα + 2) ? f i sin (iα + 2) = ?0 cos (2
) (3)
对第 0 块砖竖直受⼒：
得到：
α
2?0 sin (2
) = ? (4) ?i =
{
2i + 1 2
i ? (iα + α 2) + ? α 2 cot (2 α
iα + 2)
(5)
2i + 1 α ? αα f i = (iα + ) ? cot ( ) sin(iα + ) 2 2 2 2 2
f 的值视正⽅向的选取可能会有正负号的差别。

(b) ? = 6, α = ?
设每块砖需要的最⼩摩擦系数为? 则有 13
i
ααα
f i (2i + 1) cos (iα + 2) ? cot (2) sin (iα + 2) ?i = ? = αα i (2i + 1) sin (iα + ??) + cot ( ) cos(iα + 2) i
1
2
4
5
6 ?i
-0.0132
-0.0586
-0.142
-0.264
-0.424
-0.634
因此最⼩摩擦系数?? = 0.634
(c) 以顶上 2i + 1 块砖头为整体观察，⽀持⼒和摩擦⼒的合⼒（全反⼒）沿着摩擦⾓ arctan µ的⽅向，因⽽左右两边的全反⼒之和可以等于任意⼤于 0 的数值。

然⽽当接触⾯与竖直
⾯夹⾓⼤于摩擦⾓的时候，左右全反⼒之和不能等于⼩于 0 的数值，这时就可以顶开了。

1.5π < arctan 0.65 = 33.0? <
2.5π
，因⽽最容易从 2、3 之间滑动，于是应当顶开 5 13 13
块砖头
T / G = 5
题⼆
3 G ?
(a) ?0 = √
(b)
2
2 + ?ω0 ?1 ? = ?ω0 ?1 ?1
0 0
0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0 =
1 ?
(c) ?0
dL = q ρ B ρdt = qB ρd ρ = d ( 1 qB ρ 2
)
3 ?ω0
1 2
因此?? = ? 2 (?)，允许相差⼀个同量纲的常数
(d) 由电磁感应定律涡旋电场? =
()
2
(
)
2
因此d ? = ??(? ) ??(?) d ? + (?) d ? = 2 d(?(?)?
(?) )
′ 1 2 于是?? = ? 2 ??(?) ?
(?)，允许相差⼀个同量纲的常数
由守恒量：
m ω r 2 - 1 qBr 2 = m θρ 2 - 1 qB ρ 2
0 1 2
1
2
r 2 1 qB r 2 r 2
θ = ω 1 + (1 - 1 ≈ω 1 ，因此可见磁场的影响是⾼阶⼩量 0 ρ 2 2 m ρ 2 0 ρ 2 (e)
（⾚道⾯俯视图，其他画法只要意思⼀样均视为正确）
(f) P =
1
2?/ω
∫ ??
cos ((ω ? ω )?) ? d ? =
2?/ω0 0
0 0 1 1 2?/ω0
定。

∫2?/ω0 cos((ω ? ω )?) ? α sin (ω ?) ω d ?，写出表达式即可。

其中初相位不当
ω1 = 1
时可以吸收能量达到共振ω0
2
理由:对于径向运动，电场相对其以相同的频率变化，相当于共振
题三
P (a) 末态压强为P 0 /2，以⽓体加活塞整体为对象，这样对外做功就⽤ 0 ( x - x )S 能量守恒：?? ? = ?? ? + ??0 (
)
2
状态⽅程： = ???
2 1 0
得到：3 P ?? = 3 ??0
+ 0
(?
)
2 0 0 2 2 1 2 1 0
1
= 1.60
( γγ
(b) 以密封的⽓体为对象看，满⾜绝热⽅程：P 0 ?0 = P 2 ?2 （第⼀次停下来时候，不⼀定是
受⼒平衡态，只是速度为 0）
以⽓体加活塞为对象，初末态动能为 0，由能量守恒：3 P ? = 3 P ? + ??0
(? ? ? )
2 0 0 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2 3
2
得到：3 ( ) 3 + ?2 ? 4 = 0，令f ( ) = 3 ( ) + ? ? 4
数值求解：
2 0
f ?2 ?0
2 3 2.2 2.3 2.25 2.26 2.254 2.255 ) - +
-
+
-
+
-
-
因此
2 = 2.26
(c) 求此过程的⽅程，能量守恒：3
d ? = d ? ? P ?d ?
2
令χ =
x 3 ;π =
x 0 p ，带⼊理想⽓体状态⽅程得到: p 0
3 d (πχ ) = 1
d χ - π d χ 2 4
整理得到
类似于绝热⽅程的推导有
(5π - 1
)d χ = -3χd π
2
- 5 d χ = -
d π 3 c π - 1 10
即
(π - 1 5 ) χ 3 = 常数 = 0.9 10
以⽓体加活塞为对象，对于初末态能量守恒，由于动能不变，摩擦⼒做功发热属于内部作⽤，于是有：
- x )S = γ C (T - T ) = 3 ( p x S - px S ) 2 3 0 即：
V 末 0 2 0 0 3
χ - 1 = 3(1 - πχ )
和“绝热⽅程”联⽴得到:
f ( χ ) = ( 4 - χ - 3χ
1 5 χ 3 - 0.9 = 0
10
除了
χ = 1外，数值求得另⼀个解为χ = x 3
= 1.47 x 0
(c) 1
2 2
题四
(a) ?? = ?1 ?2 ? + ?2 ?2 ?
d ?(??
) (b) ? = d ? (c) 吸引
= 2
(d) 在半空间内均匀扩散，因此稳定后半径为 x 的半圆上单位时间内通过的摩尔数为??：J = ?? d ? 2?? 2
d ?
所以d ? = ?
J d ?
2??? ?
2
⽆穷远处? = 0
因此：?(?) = ∫? ? J
d ? = J 1
∞ 2??? ? 2??? ?
(e) 受到的表⾯张⼒为：? = d ?(??) ? = ? a ?? 1 ?
d ?
2??? ?2
质量很⼩因此受合⼒为零：? ? ?? = 0
得到速度：d ? = ? = ? aJ ?
dt
所以时间为：? = 2?kD (?3 ? ?3 ) 3aJ ? 1 2
题五
2
1
(a) ?2 = 1 , ?2 = f 1
(b) 将上述变换的逆变换带⼊圆⽅程：
2
2
2
( x 1 - h ) + y 1
= r
得到 ( f - h )2 + (- y 2
f )2 = r 2 ，（顺便证明了⼆次曲线成像均为⼆次曲线）
x 2 x 2
整理有 2
2
2
2
2
2 2
2 2 2
(h - r ) x
2
- 2hf x 2 + f + y 2
f = 0 ，显然当 h - r = f 时为圆。

进⼀步带⼊得到 f 2 ( x - h )2 + y 2 f 2 = r 2 f 2 ，即半径也不变 ? = ?ω? sin θ{ ?1 = ω? cos θ
2 2
f 2
f 2 √?2 ? f 2
= ?2 = ? 2 ?1 = sin θ ?1 f ?1 (? + √?2 ? f 2 cos ??)
f √?2 ? f 2 ω??√?2 ? f 2 cos θ ?? = ?2 = ? 2 ?1 ? ? ?1 = 2 θ {
1 1 ? + √?
2 ? f 2 cos θ可能因θ的定义， cos θ差⼀个负号。

{ 2 f x x 2
f v ' = x ? y v z
(d) 最亮的点： ?2 = ? ? √?2 ? f 2
压缩最厉害
(e) 如图做出成像光路
n 1
2 = 0
y 1 - y 2 y 1
在 ?SH 1F 1, ?M 2OF 1 中， = ，于是有 y 2 =- f 1 x x 1
⼜ f
1 =
- y 2 = x 2 ，于是有 x f 1 1
= f 1 f
2 x 1 y 1 f 2
x 1
同理得到逆变换： y
=- f y 2 ； x = f 1 f 2 ，重复(a)得到 1 2 1
2 2
( f 1 f 2 - h )2 + (- f x 2
y 2 )2 = r 2
，整理得到 x 2
2 2
2
2 2 2 2 x 2
(h - r ) - 2hx 2 f 1 f 2 + f 1 f 2
+ f 2 y 2
= 0
显然 2 2
2
h - r = f 2 ，带⼊有
( x - h f 1 2 + y 2 = (r f 1 )2
2 2
2 2
因此 h ' = h
题六
f 1 ； r ' = r f 2
f 1 =f 2 ? v x - u ? 1 - u ? v x
(a) ? ? ?v y ' = c c u v
(1 - x )
z
' = ? c c u v ? (1 - ? x )
c c
(b) Δ =
cτ
1 sin θ
2 2 ′
2 2
所以有：??′
=
1
√1? ?2 c
(τ ? ?τ ?1 c sin θ )，Δ′ = 1 √1? ?2 c
( cτ
1 s i n θ ? ???) (c) sin i′ =
c τ =
1 c s i n θ ??
2 Δ′
2 12
sin θ
所以i ′ = arcsin ?1
c sin
2
1?2
sin θ
再变回原系有:
i =
(d)
1 c s i n c
2 c 1 2 sin c
= 1，于是??c = arcsin
2 c +
1 c +1 2
0 c +
(e) ? = αΔ?, sin ??c = ? = ?+Δ?
解得 R =
n 0 c
n 0 - 1 α
题七
(a) φ = 1 Br 2
sin θ cos θ cos ωt
2
(b)
Ωx = -ω s in θ cos θ cos ωt ，Ωy = -ω s in θ cos θ sin ωt ，Ωz = ω sin θ
(c) 0 (d) 0
(e) W ，回路电动势等于单位时间内回路扫过⾯积的磁通量，⽽⾮回路⾃⾝⾯积磁通量变化率。