求解三维空间分数阶对流扩散方程的Douglas-Gunn格式

!第"#卷第#期郑州大学学报!理学版"$%&’"#(%’#!)*#+年,月-./012340%56278.!(9:.;<7.=>."
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收稿日期!)*#AB
*#B *C 基金项目!国家自然科学基金项目!##ED#)C)".
作者简介!聂玉峰!#+CA %"#男#陕西西安人#教授#主要从事高性能数值计算方法’计算材料学’并行计算研究#=
B I 97&&M \271N 2[L5.1>5.<2$通信作者&胡嘉卉!#+A*%"#女#河南郑州人#博士研究生#主要从事偏微分方程数值解研究#=B I 97&&05R 0NI 97&.2[L5.1>5.<2.
求解三维空间分数阶对流扩散方程的!9D )?4>=U D ::格式
聂玉峰#!!胡嘉卉#!)!!王俊刚
#!#.西北工业大学计算科学研究中心!陕西西安D#*#)+$).河南工业大学理学院!河南郑州E"***#"
摘要!由于分数阶导数的非局部性特征#在模拟反常扩散现象时使用分数阶偏微分方程具有更好的效果#但是分数阶导数的非局部性也给数值分析和计算带来了很大困难#尤其在多维空间情形下.通过对经典d
%53&9S B V 522格式的推广#提出一种求解三维空间分数阶对流扩散方程!S
L9<1\@9<:7%29&9>81<:7%2>7\\5S 7%21O59:7%2#;F G d ="的交替方向隐!9
&:1@29:723>7@1<:7%27I L&7<7:#G d ^"差分格式#并用矩阵法证明了其稳定性和收敛性.用数值算例进一步验证了该格式在空间和时间方向均具有较高的二阶收敛精度#可以高效地求解三维;F
G d =.关键词!三维;F G d =$G d ^格式$Y @92JB (7<%&S %2格式$d %53&9S B V 522格式$稳定性$收敛性中图分类号!e
)E#文献标志码!G 文章编号!#CD#B CAE#!)*#+"*#B **EEB *D !"#!#*’#,D*"Q R .7S S 2.#CD#B CAE#’)*#A*##
$%引言
近年来#自然界中的反常扩散现象受到科研人员的广泛关注#为研究其独特的物理过程#常常用分数阶偏微分方程建立相应的数学模型.其中#在包含对流和超扩散两个物理过程的散布现象中#粒子束的传播与经典的布朗运动模型不再一致#此时把经典对流扩散方程中的空间二阶导数替换成分数阶导数构建的空间分数阶对流扩散方程!;F
G d ="能更准确地模拟这一现象.分数阶导数或积分具有非局部性#这给相应方程的求解带来了很大困难#在大多数情况下很难得到解析解#因此研究可靠而有效的数值方法就显得尤为重要.目前常用的数值解法包括有限差分法
(#X ))
’有限元法(,X E )’有限体积法(")’配点法(C )以及谱方法(D )等.
由于三维模型在科学研究中有广泛应用#本文考虑有限区域上带有零d 7@7<0&1:边界条件的三维;F G d =的数值求解.分数阶导数是一个非局部算子#这就使得离散;F
G d =得到的线性系统的刚度矩阵不再是稀疏矩阵#导致计算工作量和存储量都非常大#尤其在多维空间情形下.目前求解三维;F
G d =的数值方法还比较少.文献(A )采用了一种交替方向稳定法!9
&:1@29:723>7@1<:7%27I L&7<7:I 1:0%>#G d ^"差分格式求解三维;F G d =#并提高了精度.文献(+)提出了一种求解三维分数阶扩散方程的G d ^差分格式.文献(#*)研究了一种求解三维空间分数阶扩散方程的快速迭代G d ^有限差分方法.在本文中#我们将提出一种求解三维;F G d =的有效的G d ^有限差分格式#这种方法是将经典的d %53&9S B V 522格式中的二阶中心差分算子推广为包含左’右分数阶导数离散算子及一阶中心差分算子在内的复杂算子得到的#同时给出了该格式的稳定性和收敛性的必要证明.最后用数值实验验证了理论分析的结果.
&%三维F ’7!L 及其!9D )?4>=U D ::格式
本文考虑三维;F
G d =及它的初边值条件为-@!I #C #J #""-"
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!第#期聂玉峰#等$求解三维空间分数阶对流扩散方程的d
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其中&#K "#!#%K )$*-!I Q #I +"/!C Q #C +"/!J Q #J +"4S ,
$:##:)#P ##P )#2##2)!*是,个空间方向的左’
右扩散系数$X #’X )’X ,分别是,个空间方向的对流系数$!!I #C #J #""是源项.方程!#"中的分数阶导数是_71I 922B ]7%587&&1型的#即函数A
!I "的"!#K "K )"阶_71I 922B ]7%587&&1左导数和右导数分别定义为I Q R "I
A !I "-#’!).""-)-I ),I I Q
!I.4"#."A !4">4和I R "
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I +
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设*#’*)’*,和,为正整数#3#-!I +.I Q "L *##3)-!C +.C Q "L *)#3,-!J +.J Q "L *,#.-Z L ,分别是一致的空间步长和时间步长#由此定义的空间和时间的剖分为I ;-I Q #;3#;-*###-#*##C G -C Q #G 3#G -*###-#*)#J 9-J Q #93#9-*###-#*,#"7-7.#7-*###-#,1设@7;#G #9表示@!I ;#C G #J 9#"7"的近似值#
!7
;#G #9-!!I ;#C G #J 9#"7"1采用文献(##)中的方法离散方程!#"中的分数阶导数1以I
方向为例#有I
Q
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I
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记
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同时#用中心差分近似对流项的一阶导数#记
R "
#I @7;#G #9-!@7;###G #9.@7;.##G #9"L )3#1!C "
为了便于表示#进一步引入记号R ^
"#I @7;#G #9-X #R "#I @7;#G #9#)^
#"#I @7;#G #9-:#)#"#I @7;#G #9#)^
."#I @7;#G #9-:))."
#I @7;#G #91C 和J 方向的记号可以类似表示.&,+%三维F ’7!L 的有限差分近似
用公式!E "i !C "离散空间导数#时间方向采用Y
@92JB (7<%&S %2格式.记)"#I o -)^
#"#I #)^
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存在正常数$^
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郑州大学学报!理学版"
第"#卷
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!!为便于计算#下面构造G d ^差分格式.将方程!A "左边加上高阶项!.)
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与经典的d %53&9S B V 522格式不同#,个方向的二阶中心差分算子在此处分别被替换为)"#I ’)!#C ’)%#J #它们是包含了左’右分数阶导数离散算子等在内的复杂算子#可以认为是经典d %53&9S B V 522格式在求解分数阶方程中的推广.接下来#我们将给出收敛性和稳定性的必要证明.
+%收敛性和稳定性分析
显然#如果在格式!#*"i !#,"中消去中间解变量#则得到格式!+"#即格式!#*"i !#,"和!+"是等价的.下面用矩阵法证明格式!+"是无条件稳定和收敛的.首先把方程!+"表示成矩阵形式#令
"7-(@7######@7)#####-#@7*#.######@7##)###@7)#)###-#@7*#.##)###-#@7##*).####@7)#*).####-#@7*#.##*).####@7####)#@7
)###)#-#@7*#.####)#-#@7##*).##)#@7)#*).##)#-#@7*#.##*).##)#-#@7##*).##*,.##@7)#*).##*,.##-#@7*#.##*).##*,
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为了书写简单起见#我们用记号"7-!!(@7
;#G #9);-##)#-#*#.#"G -##)#-#*).#"9-##)#-#*,.#表示式!#E "#类似的表示还有87-!!(!7
;#G #9);-##)#-#*#.#"G -##)#-#*).#"9-##)#-#*,
.#1记0^
I -:#.
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%
1717#X ,.E 3,11717#!#D "
其中0"#0!#0%是P %1L&7:4矩阵#0"和1分别表示为
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#*#其中&7是单位矩阵$符号1表示b @%21<J1@积(#))
.0!’0%与0"类似.利用上述记号#式!+"可以写为
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I "!7.0^
C "!7.0^
J
""7##
-!7#0^I "!7#0^C "!7#0^
J
""7#.87##L )
1!#A "
!!为了证明式!#A "的稳定性和收敛性#下面列出一些相关的引理和定理.
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!第#期聂玉峰#等$求解三维空间分数阶对流扩散方程的d
%53&9S B V 522格式引理&(#,)
!一个7阶实矩阵0是正定的#当且仅当矩阵,-!0#0P
"L )是正定的$,是正定的#当且
仅当,的特征值都是正的.
引理+
(#,)
!设0是一个7阶复矩阵#0T 表示H 的共轭转置#记,-!0#0T "L
)#则对于0的任意特征值(#它的实部满足不等式(I 72!,"’+!(!0""’(I 9‘!,"#这里(I 72!,"和(I 9‘!,"分别表示,的最小和最大特征值.
定理&
(A )
!设0"是式!#""中的P %1L&7:4矩阵#则对于0"的任意特征值(#有+!(!0"""K *#并且0"是
负定矩阵1同时#+!(!=#0"#=)0P """K *#=##=)!*#=)##=)
)8*1
引理-!设0(S 9/7#1(S 8/B #2(S T /[
#则!011
"12-01!112"1证明!此结论可以由b @%21<J1@积的定义直接得到.
引理.!设0
#1(S 9/7#2(S B /"
#则有!0#1"12-012#112#21!0#1"-210#2111证明!此结论可以由b @%21<J1@积的定义直接得到.引理/(#))!设0(S 9/7#1(S 8/B #2(S 7/T #3(S B /"#则!011"!213"-02113!(S 98/T ""1引理0(#))!对于任意的矩阵0和1#有!011"P -0P 11P .
引理1
(#))
!设矩阵0(S 7/7有特征值0(;17;-##矩阵1(S 9/9有特征值01G 19G -#1
则矩阵011的97个特征值为(#1##-#(#19#()1##-#()19#-#(71##-#(7191
为了叙述并证明下述引理和定理#记%,%表示矩阵的)B 范数.
引理2%设0(S 7/7
是正定矩阵#则对任意的+(S 且+]*#有%!7#+
0".#%K #1证明!由矩阵)B 范数的定义#有%!7#+
0".#
%
)
-I 9‘I 8*!!7#+0".#I #!7#+0".#I "
!I
#I "1设C -!7#+0".#I #则有%!7#+0".#
%)-I
9‘C 8*!C #C "!!7#+0"C #!7#+0"C "
-#
I 72C 8*(##)+!0C #C "!C #C "#+)!0C #0C "!C
#C ")
K #1
引理6%设0(S 7/7
是正定矩阵#则对任意的+(S 且+]*#有%!7#+
0".#!7.+0"%K #1证明!由矩阵)B 范数的定义并记C-!7#+
0".#I #可得%!7.+
0"!7#+0".#
%)
-I 9‘I 8*!!7.+0"!7#+0".#I #!7.+0"!7#+0".#I "
!I #I "
-I 9‘C 8*!!7.+0"C #!7.+0"C "!!7#+0"C #!7#+0"C "-I 9‘C 8*!C #C ".)+!0C #C "#+)
!0C #0C "!C #C "#)+!0C #C "#+)!0C #0C "
K #1!!引理&$%设0#1#7(S 7/7
#0和1乘积可交换#且!7.0
".#’!7.1".#存在#则!7#0"与!7.1".##!7.
0".#与!7.1".#也是乘积可交换的.证明!首先#由0
1-10#不难验证!7a 0"!7.1"-!7.1"!7a 0"1所以有!7#0"!7.1".#-!7.1".#!7.1"!7#0"!7.1".#-!7.1".#!7#0"!7.1"!7.1".#-!7.1".#!7#0"#!7.0".#!7.1".#-!!7.1"!7.0"".#-!!7.0"!7.1"".#-!7.1".#!7.0".#
1
定理+%由式!#""i !#D "定义的矩阵0^
I ’0^
C ’0^
J 是负定的.证明!记0I -:#.
)’!E .""3"#0"#:).)’!E .""3"
#
0P
"#X #.E 3#1#则有0P
I
-:#.
)’!E .""3"#0P
"
#:).
)’!E .""3"#0"#X #.E 3#1P #0I #0P I )-!:##:)".)’!E .""3"
#
0"#0P
"
)#由定理##可得+!(!0I #0P I )""K *#也就是(!0I #0P I )"K *#而且由引理,#E 和C #有0^I #0^
P
I
)-7171
!0I #0P
I
)"#再根据引理D #可以得到(!0^
I #0^
P
I
)
"K *1最后由引理)和引理#可得+!(!0^I
""K *#且0^I 是负定的1类似地#可以证明0^C 和0^
J 是负定的.
定理-%差分格式!+"是无条件稳定的.
D
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郑州大学学报!理学版"第"#卷
证明!我们利用差分格式!+"的矩阵形式!#A "证明.设"7和#7分别是格式!#A "对应于初值"*和#*
的解#记’7o -"7.#7-!!(’7;#G #9);-##)#-#*#.#"G -##)#-#*).#"9-##)#-#*,
.#1由式!#A "可得’7
满足方程!7.0^I "!7.0^C "!7.0^
J
"’7##
-!7#0^I "!7#0^C "!7#0^
J
"’7
1!#+"
!!矩阵0^
I ’0^
C ’0^
J 是乘积可交换的.事实上#只需验证!#""i !#D "中b @%21<J1@积形式的矩阵都是乘积可交换的.由引理,和"#可得!71710""!710!17"-!71!710"""!71!0!17""-71!!710""!0!17""-71!0!10""#同时!710!17"!71710""-!71!0!17""!71!710"""-71!!0!17"!710"""-71!0!10""#等等1由0^
I ’0^
C ’0^
J 乘积可交换并利用引理#*#方程!#+"可以写为’7
-!!7.0^
J
".#!7#0^
J ""7
!!7.0^
C
".#
!7#0^
C ""7
!!7.0^
I
".#
!7#0^
I
""7’*
1由定理)和引理+可知%!7.0^
I ".#
!7#0^
I "%K ##所以!7.0^
I ".#
!7#0^
I "的谱半径小于##因此当7)q 时#!!7.0^
)"
.#
!7#0^I ""7收敛到零矩阵#也就是对任意的7!*#!!7.0^I ".#!7#0^I ""7有界1同理可证!!7.0^C ".#!7#0^
C ""7和!!7.0^
J
".#
!7#0^
J
""7对任意的7!*有界.这就证明了差分格式!+"是无条件稳定的.定理.%设@!I ;#C G #J 9#"7"是问题!#"^!,"的解#@7;#G #9是差分格式!+"的解1记<7
;#G #9-@!I ;#C G #J 9#"7".@7;#G #9#<7-!!(<7;#G #9);-##)#-#*#.#"G -##)#-#*).#"9-##)#-#*,.
##那么存在一个正常数$#使得%<7%K$!.)
#3)##3))#3),"1证明!记*7-!!(+7
;#G #9);-##)#-#*#.#"G -##)#-#*).#"9-##)#-#*,.
##那么方程!D "减去!+"的矩阵形式为!7.0^
I "!7.0^
C "!7.0^
J "<7##-!7#0^
I "!7#0^
C "!7#0^
J
"<7#*7##
1!)*"
因为0^
I ’0^
C ’0^
J 乘积可交换#根据引理#*#方程!)*"可以写为<7##-!7.0^
J ".#!7#0^
J "!7.0^
C ".#
!7#0^
C ",!7.0^
I ".#!7#0^
I "<7#!7.0^
J ".#!7.0^
C ".#!7.0^
I
".#*7##
1用矩阵的)B 范数作用上式两端#并利用引理A 和+#可得%<7
%K %<*
%##7.#
X -*
%*X ##%1因<*-$#所以存在正常数$#使得%<7%K$!.)#3)##3))#3)
,"1
-%数值结果
下面#我们通过两个数值算例验证本文所提出的数值格式的稳定性和收敛阶#也就是说格式是有效的#并在时间和空间方向都具有较高的二阶收敛精度.设"和"3分别表示问题!#"i !,"的解析解和采用格式!#*"i !#,"得到的数值解#用离散的Q q 和Q )范数计算全局截断误差#即
%"3."%Q q o -I 9‘#’9’*,
.
##’G ’*).##’;’*#.
#@,
;
#G #9.@!I ;#C G #J 9#Z
"#%"3."%Q )o -!#*,.#9-##*).#G -#
#*#.
#;-#
@,;
#G #9.@!I ;#C G #J 9#Z ")3#3)3,"#L )
1!!算例&%在问题!#"i !,"中#取*-!*##"/!*##"/!*##"#Z-#$对流和扩散系数分别为X #-X )-X ,-.##:#-:)j P #-P )-2#-2)-#$初值取@*!I #C #J "-I ,!#.I ",C ,!#.C ",J ,
!#.J ",1已知的解析解为@!I
#C #J #""-1."I ,!#.I ",C ,!#.C ",J ,
!#.J ",#由以上条件容易算出!!I #C #J #""1对常系数算例#取优化的步长比例,-*#-*)-*,进行测试.表#列出的数值结果表明#用格式!#*"i !#,"计算常系数问题!#"i !,"时#算法是无条件稳定的#而且在时间及空间方向都是二阶收敛的#这和理论分析的结果一致.
算例+%在问题!#"i !,"中#取*-!*##"/!*##"/!*##"#Z -#$对流和扩散系数分别为X #-*’)"I #X )-*’)"C #X ,-*’)"J #:#-I "#:)-!#.I ""#P #-C !#P )-!#.C "!#2#-J %
#2)-!#.J "%$初值取@*!I #C #J "-I ,!#.I ",C ,!#.C ",J ,!#.J ",1已知的解析解为@!I
#C #J #""-1."I ,!#.I ",C ,!#.C ",J ,
,!#.J ",#由以上条件!!I #C #J #""容易算出.
表)列出了变系数算例)的数值结果#这里也取优化的步长比例,-*#-*)-*,进行测试#数值结果表明用格式!#*"i !#,"计算变系数问题!#"i !,"时#算法是无条件稳定的#而且在时间及空间方向也都具
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!!表&!算例#在时刻"-##取,-*
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的数值误差和收敛阶
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有二阶收敛率#这和理论分析的结果是非常吻合的.
.%结论
本文将求解三维整数阶抛物方程的经典d%53&9S B V522格式推广到分数阶#提出了一种求解三维;F G d=的有效的数值方法#并证明该格式具有无条件稳定性和较高的二阶收敛精度#必要而充足的数值实验验证了理论结果.最后#由于分数阶导数是非局部算子#对于多维空间问题的求解需要耗费较大的计算工作量和空间存储量#在今后的工作中#我们将考虑开展适当的快速算法#以减少计算花费和加快计算速度.
参考文献!
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