全国通用版七年级数学有理数专题练习-------定义新运算题库(含解析)

（6）=4，则 G(36)+G(42)= 【考点】定义新运算之直接运算
。 【难度】2 星
【题型】计算
【解析】36 的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42 的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所
以有 G（36） G（42） 9 8 17 。 【答案】 17
【巩固】如果 a & b a b 10 ,那么 2 & 5
原式 (6 4) 2 5 .
【答案】 5
【巩固】x 为正数,<x>表示不超过 x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过 5.1 的质数有 2,3,5 共 3 个.那么
<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是
.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】<19>为不超过 19 的质数,有 2,3,5,7,11,13,17,19 共 8 个.<93>为不超过的质数,共 24 个,易知
。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】2&5=2+5÷10=2.5 【答案】 2.5
【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的
编码取为 244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于
果 1 4＝2 3，那么 3 4 等于________。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】根据
1 4=2 3，得到
m1 4 21 4

m23 223
，解出
m=6。所以， 3 4

63 4 234

11 12
。
【答案】 11 12
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42. 【答案】 42
【例 5】 我们规定：符号 表示选择两数中较大数的运算，例如：5 3=3 5=5，符号△表示选择两数
(0.

6

15
)

(0.625
23)
中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：
【答案】 1 1998000
【例 4】 [A]表示自然数 A 的约数的个数.例如 4 有 1,2,4 三个约数,可以表示成[4]=3.计算:
([18] [22]) [7] =
.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】因为18 2 32 有 (1 1) (2 1) 6 个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】A*B 是这样结果这样计算出来：先计算 A＋3B 的结果，再计算 A＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由 A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312
【答案】 312
【例 8】 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=
羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在
一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一
种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：
<1>=0,所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.
【答案】 11
【巩固】定义运算“△”如下:对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 a△b.例
如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=
.
【考点】定义新运算之直接运算
【答案】 435
【巩固】 P 、 Q 表示数， P *Q 表示 P Q ，求 3 * (6 * 8) 2
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【解析】 3* (6 *8) 3* (6 8) 3* 7 3 7 5
2
2
【答案】 5
【题型】计算
【巩固】已知 a,b 是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1, a b ab 2 ,那么
【答案】 2009
【巩固】规定运算“☆”为：若 a>b，则 a☆b=a＋b；若 a=b，则 a☆b=a－b＋1；若 a<b，则 a☆b=a×b。
那么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=
。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【解析】19
【答案】 19
【题型】计算
【例 2】 “△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中 c，d 为常数)，如 5△7＝5×c＋7×d。

A

1 6
,
2

1
1

A

6,
A

1
，所以
1998
1999

1998
1 1999

1998
1
1 1999
1

1 1998 1999

1999
1
2000

2000 1998 1998 19 99 2000

3998
1
1998 1999 2000 1998000
【巩固】设 a △ b a a 2 b ，那么，5△ 6 ______，(5△2) △ 3 _____.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】 5△6 5 5 2 6 13
5△2 5 5 2 2 21 ,1△3 21 21 6 435
七年级数学有理数专题练习----定义新运算
教学目标
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算 规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的 运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子 代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
【解析】因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△
【例 3】 对于任意的整数 x 与 y 定义新运算“△”： xy= 6 x y ,求 2△9。 x 2y
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】根据定义 xy= 6 x y 于是有 29 6 2 9 5 2
x 2y
229 5
【答案】 5 2 5
知识点拨
一 定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运
算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
9 的补码，例如：0 变 9，1 变 8 等，那么“华杯赛”新的编码是________.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】偶数位自左至右依次为 4、0、1、9、0、8，它们关于 9 的补码自左至右依次为 5、9、8、0、9、
1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981 【答案】 254948903981
【答案】 30
【巩固】我 们 规 定 ： A ○ B 表 示 A 、 B 中 较 大 的 数 ， A △ B 表 示 A 、 B 中 较 小 的 数 。 则
10△8 6△5 11○13 +15△20 =
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】根据题目要求计算如下： 10△8 6○5 11○13 +15△20 =8 6 13 15 =2 28=56
23
35 的结果是多少？
(0.

3

34
)

(11
2.25)
99 6
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】
(0.

6

15
)

(0.625
23)
23
35

2 3

5 8

31 24

1

(0.3

34
)1 2
99 6
3 4 12
【答案】 1 2
羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被
羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左
到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3 星
【题型】计算
4 (6 8) (3 5)
.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】原式 4 [(6 8 1) (3 5 2)] 4 [13 13] 4 [13 13 1] 4 25 4 25 2 98 【答案】 98
算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相
同.
二 定义新运算分类
1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型
4.其他类型综合
例题精讲
模块一、直接运算型
【例 1】 若 A* B 表示 A 3B A B ，求 5 * 7 的值。
【巩固】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7
◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30
如果 1△2＝5，2△3＝8，那么 6△1OOO 的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8， 可得 c=1,d=2 6△1000＝6×c＋1000×d=2006
【答案】 2006
【巩固】对于非零自然数 a 和 b，规定符号 的含义是：a b＝ m a b （m 是一个确定的整数）。如 2ab
【巩固】定义新运算为 a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由 a△b＝（a＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）
÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】 7
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
如：2＋3＝5
2×3＝6
都是 2 和 3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际
就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意
两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运
【巩固】 M N 表示 (M N ) 2, (2008 2010) 2009 ____
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】原式 2008 2010 2 * 2009 2009 * 2009 2009 2009 2 2009
【巩固】“*”表示一种运算符号，它的含义是：
x

y

1 xy

x
1
1 y

A
，已知
2
1

1 21

2
1
1 1

A

2 3
，求 1998
1999
。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】根据题意得

2

1
1 1

A

2 3

1 2
,
2

1
1 1
【答案】 56
【例 6】 如果规定 a※b =13×a-b ÷8，那么 17※24 的最后结果是______。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】17※24=13×17-24÷8=221-3=218 【答案】 218
【巩固】若用 G（a）表示自然数 a 的约数的个数，如：自然数 6 的约数有 1、2、3、6，共 4 个，记作 G