微积分基础知识PPT演示课件

A lim f ( i )xi
0 i 1
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4)无穷级数
1 1 1 1 1 lim n n 2 2 4 2 4 1 1 (1 n ) 2 1 lim 2 n 1 1 2
1 2n
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具备的数学素质：
从实际问题抽象出数学模型的能力
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
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三、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.会运用 数学能力。
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
y a0 a1 x an x 为初等函数
n
y a0 a1x an x 不是初等函数
n
y e sin x 1
x 2
x y x 1 y x, x,
x0 不是初等函数 x0 x 0 可表为 2 故为初等函数. y x , x0 20
１． 定义 设数集 D，若存在对应法则 f ，使对 x D ， 存在唯一确定 y M R 与之对应，则称 f 是定义在数集Ｄ 上的函数。记作 f : D M ( x | y ). 函数 f 在点 x 的函数值，记为 f ( x ) ， 全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f ( D) 。 即 f ( D) y | y f ( x), x D 。
o
x
-1
x sgn x x
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(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
y
-4 -3 -2 -1
x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
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(3) 狄利克雷函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
计算与分析的能力
了解和使用现代数学语言和符号的能力
使用数学软件学习和应用数学的能力
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第0章
基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体.
组成集合的事物称为该集合的元素.
a M,
a M,
P（x)表示元素具有性质
A {a1 , a2 ,, an }
M { x P( x) }
设有函数链ห้องสมุดไป่ตู้
— 复合映射的特例 ① ②
y f (u ), u D1
则
且 g ( D) D1
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 g ( D ) D 1 不可少. 可定义复合 例如, 函数链 : y arcsin u , 函数 但函数链 y arcsin u , u 2 x 2 不能构成复合函数 .
代入法
设 y u, u 1 x 2 ,
y 1 x2
定义: 设函数y=f(u),uU，函数u=(x), x X, 其值域
为(X)={u\u= (x), xX } U，则称函数y=f[(x)]为
x的复合函数。
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
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复合函数
马克思
2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .
华罗庚
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3、极限的思维方法 1） 计算圆的周长
圆内接正n 边形
O
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
n
r
n 3 ,4 ,5 ,

n lim 2 r
• o 无理数点 有理数点
x
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(4) 取最值函数
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
在自变量的不同变化范围中,对应法则
用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.
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复合函数
为初等函数
双曲函数与反双曲函数
双曲函数
e e 双曲正弦shx 2
D : ( , ),
x x
y chx
奇函数.
第0章 基本知识
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成
恩格斯
为必要的了.
1
二、主要内容
n
S lim 2nr sin
n
sin

n 2 r
4

n
2)切线的斜率
y
y f ( x)
N T
C
o

M

x0
x
x
f ( x ) f ( x0 ) k tan lim . x x0 x x0
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3)计算曲边梯形面积
y
y f ( x)
o
n
a
b
x
曲边梯形面积为
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2.邻域:
设a与是两个实数, 且 0.
数集{x x a () }称为点 a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.


x
a a a 点a的去心的邻域, 记作U(a, ).
U(a, ) {x 0 x a }.
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二、函数
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注: 复合函数
代入法
设 y u, u 1 x 2 ,
y 1 x2
复合函数可以由两个以上的函数经过复合 构成.
x 例如 y cot , 2
y u,
x u cot v , v . 2
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初等函数
定义: 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合 运算所构成并可用一个式子表示的显函数，称为初等函数。 例：
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２．函数类别： 显函数 y=f(x) 隐函数 F(x,y)=0 参量函数 初等代数函数(只含代数运算显函数） 分段表达函数 单值函数 多值函数
基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数 和反三角函数）.
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几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0