初等函数的认识与运算

函数值域与定义域
函数值域
函数值域是指函数在定义域内所有可能 取到的值的集合。对于不同的函数类型 ，其值域也有所不同。例如，一次函数 的值域为全体实数；二次函数的值域根 据开口方向和顶点位置而定；指数函数 的值域为正实数集；对数函数的值域为 全体实数；三角函数的值域根据具体函 数而定。
VS
函数定义域
初等函数的认识与运 算
汇报人：XX 2024-01-29
目 录
• 函数基本概念 • 初等函数及其性质 • 初等函数运算规则 • 初等函数在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
函数基本概念
函数定义与性质
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是实数集的某个子集，若对于$D$中的每一个数 $x$，变量$y$按照一定的对应法则总有一个确定的数值与之对应，则称$y$是 $x$的函数，记作$y=f(x)$，其中$x$称为自变量，$y$称为因变量，$f$称为对 应法则。
隐函数
隐函数是一种通过方程来表示的函数关系，即$F(x,y)=0$。隐函数的求解通常需要使用代数方法或数值方法，同 时要注意隐函数的定义域和值域。在实际问题中，很多关系都是隐函数关系，如经济学中的供需平衡、物理学中 的运动方程等。
THANKS
感谢观看
奇偶性判断与周期性分析
奇偶性判断
对于定义域关于原点对称的函数f(x)，如果满足f(-x)=f(x)， 则称f(x)为偶函数；如果满足f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
周期性分析
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对于定义域内 的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T为其一个 周期。对于周期函数，可以通过分析其周期性来简化运算和 研究函数性质。
三角函数与反三角函数
定义
三角函数包括正弦函数 $y = sin x$、余弦函数 $y = cos x$ 和正切函数 $y = tan x$ 等 ；反三角函数包括反正弦函数 $y = arcsin x$、反余弦函数 $y = arccos x$ 和反正切函 数 $y = arctan x$ 等。
性质
匀变速直线运动
描述物体在受到恒定外力作用时 ，加速度保持不变的直线运动规
律。
曲线运动
描述物体在受到外力作用时，沿 着曲线运动的规律，如平抛运动
、圆周运动等。
05
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
函数的概念及表示法
函数是一种特殊的对应关系，可以用 解析式、表格、图像等方式表示。
函数的性质
包括单调性、奇偶性、周期性等，这 些性质反映了函数图像的特征和变化 趋势。
函数定义域是指函数中自变量$x$的取值 范围。对于不同的函数类型，其定义域也 有所不同。例如，一次函数的定义域为全 体实数；二次函数的定义域为全体实数； 指数函数的定义域为全体实数；对数函数 的定义域为正实数集；三角函数的定义域 根据具体函数而定。
02
初等函数及其性质
一次函数
定义
一次函数是形如 $y = ax + b$（ $a neq 0$）的函数，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。
函数性质
函数性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、有界性等。这些性质反映了函数在 定义域内的变化趋势和对称性等特点。
常见函数类型及图像
一次函数
一次函数的一般形式为$y=kx+b$，其中 $k$和$b$为常数，且$k neq 0$。一次函 数的图像是一条直线。
三角函数
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切 函数等。它们的图像分别是正弦曲线、余 弦曲线和正切曲线。
复合函数定义
设y=f(u)的定义域为D，值域为M， 函数u=g(x）的定义域为Dₓ且 M∩Dₓ≠Ø，则由下式确定的函数 y=f[g(x)]称为由函数f(u)与函数g(x) 和g(x)，先求 出g(x)的值域，确保其包含在f(u)的定 义域内，然后按照对应法则进行复合 运算。
04
初等函数在实际问题中应用举例
线性规划问题求解
01
02
03
资源分配问题
在资源有限的情况下，如 何分配给不同的项目或产 品，使得整体效益最大化 。
生产计划问题
根据市场需求、生产成本 等因素，制定最优的生产 计划。
运输问题
如何安排运输路线和方式 ，使得运输成本最低、效 率最高。
经济学中成本收益分析问题
02 03
性质
指数函数的图像是一条经过点 $(0,1)$ 的曲线，当 $a > 1$ 时单调递增 ，当 $0 < a < 1$ 时单调递减；对数函数的图像是一条经过点 $(1,0)$ 的曲线，当 $a > 1$ 时单调递增，当 $0 < a < 1$ 时单调递减。
运算
指数函数和对数函数可以进行四则运算和复合运算，结果仍为初等函数 。
二次函数
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$ ，其中$a$、$b$和$c$为常数，且$a neq 0$。二次函数的图像是一条抛物线 。
对数函数
对数函数的一般形式为$y=log_a{x}$，其 中$a>0$且$a neq 1$。对数函数的图像 是一条从原点出发的对数曲线。
指数函数
指数函数的一般形式为$y=a^x$，其中 $a>0$且$a neq 1$。指数函数的图像是 一条从原点出发的指数曲线。
对于相同定义域的函数，可以直接进行减 法运算，结果函数的值等于被减函数值减 去减数函数值。
乘法运算
除法运算
对于相同定义域的函数，可以直接进行乘 法运算，结果函数的值等于各函数值的乘 积。
对于相同定义域且分母函数值不为零的函数 ，可以直接进行除法运算，结果函数的值等 于被除函数值除以除数函数值。
复合函数运算
投资决策
通过比较不同投资项目的 成本和预期收益，选择最 优的投资方案。
成本控制
在生产过程中，如何控制 成本，提高生产效率，增 加企业利润。
价格制定
根据市场需求和竞争状况 ，制定合理的价格策略， 以实现企业利润最大化。
物理学中运动规律描述问题
匀速直线运动
描述物体在不受外力作用时，保 持匀速直线运动的规律。
性质
一次函数的图像是一条直线，斜率 为 $a$，截距为 $b$。
运算
一次函数可以进行加减乘除运算， 结果仍为一次函数。
二次函数
定义
二次函数是形如 $y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）的函数，其中 $a$ 、$b$ 和 $c$ 是常数。
运算
二次函数可以进行加减乘除运算，结 果仍为二次函数。
基本初等函数
包括幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数等，这些函数在解决实际问 题中经常用到。
函数的四则运算和复合运算
通过四则运算和复合运算可以构造更 复杂的函数，同时要注意运算的优先 级和定义域。
拓展延伸：分段函数和隐函数简介
分段函数
分段函数是一种在定义域的不同区间上对应不同解析式的函数。分段函数的图像由各个区间的图像拼接而成，要 注意分段点的取值和函数的连续性。
性质
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
指数函数与对数函数
01
定义
指数函数是形如 $y = a^x$（$a > 0$，$a neq 1$）的函数；对数函
数是形如 $y = log_a x$（$a > 0$，$a neq 1$）的函数。
三角函数的图像是周期性的，具有振幅、周期和相位等特征；反三角函数的图像是三角函 数图像的反函数图像，具有相应的定义域和值域。
运算
三角函数和反三角函数可以进行四则运算和复合运算，结果仍为初等函数。
03
初等函数运算规则
加减乘除运算
加法运算
减法运算
对于相同定义域的函数，可以直接进行加 法运算，结果函数的值等于各函数值之和 。