第4章三角形证明 题型解读14 三角形全等证明思路步骤详解-2020-2021学年北师大版七下数学

《三角形证明》题型解读14 三角形全等证明思路步骤详解
【知识梳理】
第一步：应用情景----看题目所求的结论分析
①直接证两个三角形全等
②证两个角相等（或求角度，证该角与已知角相等）
③证两条边相等（或求角度，证该角与已知角相等）
④证边或角的倍分关系
⑤证边或角的和差关系
第二步：明确需证全等的两个三角形（针对以上五种情形）
1.挑选方法
①直接确定
②直接找两个角所在的三角形；若直接所在的三角形不全等，则利用等量代换，找第三个角与其中未换的那个角
所在三角形全等；
③直接找两条边所在的三角形；若直接所在的三角形不全等，则利用等量代换，找第三条边与其中未换的那条边
所在三角形全等；
④先利用已知条件，把边或角的倍分关系转化成“一对一”关系，再按②或③的思路找三角形全等；
⑤先“截长补短”，把把边或角的和差关系转化成“一对一”关系，再按②或③的思路找三角形全等；
2.挑选技巧
①所挑选的两个三角形，从图形视觉上应完全相同；
②所挑选的两个三角形，离已知条件的图形位置最近；
第三步：寻找全等条件，确定全等方法
①先看字母找条件，再看图形证条件；
②看图时，学会拉近已知条件与未知条件的图形位置；
③学会利用已证明结论的作已知条件----“解题思路的延续性”；
附：熟悉三角形全等中四个典型：“典型模型、典型图形、典型题型、典型经验”，快速确定思路方向和解题方法；
【范例详解】
例1.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O，且BO＝CO，
求证： DO＝EO。

【思路分析】
要求DO=EO，首选三角形全等，找DO、EO所在的三角形△DOB与△EOC，再确定这两个三角形全等条件。

不难找到以下的全等条件：已知条件BO=CO；对顶角∠DOB=∠EOC，还缺一个全等条件，由于OD=OE是题目最终要证的结论，所以不可能运用SAS证明这两个三角形全等，即意味着所缺的那个全等条件应该是一组角相等，而且一定与未用过的已知条件：AB=AC有关。

由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，则∠ABC=∠ACB；而由OB=OC也可得∠OBC=∠OCB，由等式性质可得∠DBO=∠ECO，这样由ASA可证△DOB≌△EOC，由全等性质可得DO=EO.
【证明过程】
证：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠DBO=∠ECO，在△DOB与△EOC中，∵∠DOB=∠EOC，BO=CO，∠DBO=∠ECO，∴△DOB≌△EOC，∴DO=EO.
例2.在△ABC中,AB=AC,点D是直线,BC上一点(不与B,C重合),以AD为边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,求∠BCE的度数；
(2)设∠BAC=α，∠BCE=β.如图2,当点D在线段BC上移动,则α、β有怎样的数量关系?请说明理由。

【思路分析】
(1)从图形视觉上可以初步判别∠BCE=90°,且由△ABC是等腰直角三角形可知∠ACD=45°,即要求∠BCE的度数，只需求∠ACE=45°，由∠B=45°可知，只需证∠ACE=∠B，即可，证角相等，首选三角形全等，由“全等”的视觉
要求便知，只需证△ABD ≌△ACE 即可，不难找到以下全等条件：已知条件AB=AC;由共角模型∠DAE=∠BAC 可得∠BAD=∠CAE;已知条件AD=AE ，由SAS 可证△ABD ≌△ACE ，可得∠ACE=∠B=45°，即∠BCE=90°.
(2)从审图技巧（拉近已知条件与未知条件的图形位置） 角度分析，要找到α、β的数量关系，必须要想办法拉近∠BAC 与∠BCE 的图形位置关系，拉成“同一个三角形或邻居”，就能找到两者之间的数量关系；∠BCE=∠BCA+∠ACE ，而∠BCA 与∠BAC 本就处于同一个三角形：△ABC 中，我们只需把∠ACE 也拉到△ABC 内，这样∠BAC 与∠BCE 就在同一个三角形，很容易得出∠BAC+∠BCE=180°；现在只需把∠ACE 也拉到△ABC 内，题目就解决了。

依“解题思路的延续性”，通过（1）中△ABD ≌△ACE ，可得∠ACE=∠B ，就能达到目的。

【证明过程】
(1)证：∵∠DAE=∠BAC ，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 与△CAE 中，∵AB=AC,∠BAD=∠CAE ，AD=AE ，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ACE=∠B ，∵AB=AC, ∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=90°
(2)解：α+β=180°，理由是：
∵∠DAE=∠BAC ，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 与△CAE 中，∵AB=AC,∠BAD=∠CAE ，AD=AE ，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ACE=∠B ，∴α+β=∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B =180°
例3.如图，△ABC 中，∠BAC=90°,AB=AC,BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过点C 的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于点F.求证：BD=2CE
【整体思路分析】
（1）出现线段的倍分关系，先把等式中的“2”转化掉，把倍分关系转化成线段“一对一”的等量关系，再利用全等知识证明；
（2）转化角度有两种：①在图中找出一条线段，使BD 长是该线段的两倍；②在图中找出一条线段，使该线段长等于CE 的2倍；结合“相等”的图形要求，从审图视觉上就可以排除①，且能初步找到符合②要求的线段：CE=EF 、CF=2CE 。

这样，题目所证结论就转化成了需证BD=CF ，找到BD 、CF 的所在的三角形△BDA 与△CFA ，依“全等”在图形视觉上的要求，大致可以判断，这两个三角形可能会全等，只需寻找全等条件即可，整体解题思路线就形成了。

F
E
D
C B A
【具体证明思路步骤】
（1）先证CF=2CE ，即CE=EF ，找CE 、EF 所在的三角形△BEF 、△BEC ，只需证△BEF ≌△BEC 全等即可（注意：一定要养成字母对齐的书写习惯）。

结合题目已知条件，不难找到以下全等条件：依BD 是角平分线得出的∠FBE=∠CBE ；公共边BE=BE ；BE ⊥CF 得到的∠BEF=∠BEC=90°，用ASA 便可证明△BEF ≌△BEC ，依全等性质得EF=CE ，进而可得CF=2CE ；
（2）再证BD=CF ，找BD 、CF 所在的三角形△BAD 、△CAF ，只需证△BAD ≌△CAF 全等即可（注意：一定要养成字母对齐的书写习惯）。

结合题目已知条件，不难找到以下全等条件：已知条件AB=AC ；已知条件∠BAD=∠CAF=90°;还缺一个全等条件。

熟悉“8字模型”的同学可直接找出所缺全等条件是：∠ABD=∠ACF ；不熟悉的同学，可从这两个三角形的对应字母这个角度去寻找，一一排除，也能找到：∠ABD=∠ACF ，利用三角形外角性质即可证明；
【解题过程】
证：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠FBE=∠CBE ，∵BE ⊥CF ，∴∠BEF=∠BEC=90°，在△BEF 和△BEC 中，∵∠FBE=∠CBE ，BE=BE, ∠BEF=∠BEC,∴△BEF ≌△BEC ，∴EF=CE ，∴CF=2CE ；
∵△ABC 中，∠BAC=90°,∴∠BAD=∠CAF, 在△ABD 和△EDC 中，∵∠BDC=∠ABD+∠BAD=∠DCE+∠ACF ，∴∠ABD=∠ACF, 在△ABD 和△ACF 中，∵∠ABD=∠ACF ，AB=AC, ∠BAC=∠CAF,∴△ABD ≌△ACF ，∴BD=CF ，∵CF=2CE,∴BD=2CE ；
例4.已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2,BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE
【整体思路分析】
（1）此题不仅出现线段的和差关系，还出现了线段的倍分关系，可先用“截长补短”的思路，把等式中“AC-AB ”转化成一条线段，再去思考解决该线段与BE 的2倍关系；仍然会利用到全等知识；
（2）由题可知：线段AE 是“长”，线段AB 、BE 是“短”，由于存在着2倍的BE ，“补短”无从下手，不好思考，所以只采用“截长”----在“长边”AC 上截取一段，使该线段等于“短边AB ”，便“截取”角度有两种：①在AC 上取12A
E C B B C E
A 2
1354F
一段，使之等于AB；②延长BE交AC于一点F，也可以把“长边AC”截成两段；结合目的（证三角形全等）及题目条件∠1=∠2,BE⊥AE，采用角度②，便于证明△ABE≌△AFE，这样，即可把所求结论中的“AC-AB=2BE”，通过等式性质，转化成形如“CF=2BE=BF”,再利用等腰三角形性质即可解题.
【具体证明思路步骤】----“截长思路”
延长BE交AC于点F，由ASA易证△ABE≌△AFE，可得BE=EF,AB=AF，则AC-AB=2BE就转化成了CF=2BE=BF，即要证△BFC是等腰三角形，结合全等性质、外角定理及已知条件∠ABC=3∠C，便可得到∠EBC=∠C，BF=CF。

【具体证明过程】
如图，延长BE交AC于点F，在△ABE和△AFE中，∵∠1=∠2，AE=AE, ∠AEB=∠AEF=90°,∴△ABE≌△AFE，∴∠3=∠4,BE=EF，AB=AF,∵∠4=∠5+∠C,∴∠3=∠5+∠C,∵∠ABC=3∠C,即∠3+∠5=3∠C，∴∠5+∠C+∠5=3∠C，∴2∠5=2∠C，∴∠5=∠C，∴BF=CF，∵BF=2BE，CF=AC-AF,AF=AB,∴AC-AB=2BE；
【附】线段和差问题，是三角形全等题型中的一大典型题型，常用的解题方法是“截长补短”，但并非每一道线段和差问题的题目，“截长”、“补短”都行之有效，有的两种思路都可以用，有的却只能用其中一种思路，就算两种思路都可以用，也必有一种思路解题上会更便捷些。

所以，对待这两种思路，我们不求“全”，而求“快”，哪种简单快速有效率，就选哪种，灵活选用。