人教新课标版数学高二A版选修1-2课时作业 合情推理

一、基础过关
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于()
A．47 B．65
C．63 D．128
答案B
解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.
2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
答案B
解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，
即1 111 111.
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
答案D
解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)．
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
答案D
解析由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．
5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝
2S
a＋b＋c，
类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r等于()
A.V
S1＋S2＋S3＋S4B.
2V
S1＋S2＋S3＋S4
C.3V
S1＋S2＋S3＋S4D.
4V
S1＋S2＋S3＋S4
答案C
解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V四面体A－BCD＝1
3(S1＋S2＋S3＋S4)R，
∴R＝3V
S1＋S2＋S3＋S4
.
6．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为__________________________．
答案n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．
解由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P－ABC中，三个侧面P AB，PBC，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”．
证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，
由PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α，
cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB
. ∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13(12
P A ·PB cos α＋ 12PB ·PC cos β＋12
PC ·P A cos γ)·h ， ∴(cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB
)h ＝1，即cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. 二、能力提升
8．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )
A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交
B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直
C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行
D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
答案 B
解析 推广到空间以后，对于A 、C 、D 均有可能异面，故选B.
9.在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是( )
A ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n <17，n ∈N *)
B ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 18－n (n <18，n ∈N *)
C ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 17－n (n <17，n ∈N *)
D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 18－n (n <18，n ∈N *)
答案 A
解析 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，
∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，
即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，
又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1
∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1
＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n .
若a 9＝0，同理可得
a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n .
相应地，等比数列{b n }中有：
b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．
10．观察下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n 个等式可为________．
答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2
解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，
a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2
.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2
. 11．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n
； (2)对一切的n ∈N *，a n >0，且2S n ＝a n ＋1.
解 (1)由已知可得a 1＝a ，
a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a
. 猜想a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a
(n ∈N *)． (2)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1，
∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，
∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0，
∵对一切的n ∈N *，a n >0，∴a 2＝3.
同理可求得a 3＝5，a 4＝7，
猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．
12. (1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为
定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a )．
依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，
所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a
(x ＋a )， 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a .同理得y N ＝－ay 0x 0－a
. 所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20
. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)． 所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20
＝b 2. 因为AN →＝{a ，y N }，BM →＝(－a ，y M )，
所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.
(2)－(a 2＋b 2)．
三、探究与拓展
13.
如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝(a c )2＋(b c )2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c
2＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，如图．
则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.
证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝(
m l )2＋(n l )2＋(g l )2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l
2＝1.。