2024届广西北流市中考押题数学预测卷含解析

2024届广西北流市中考押题数学预测卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列运算正确的是（）
A．﹣3a+a=﹣4a B．3x2•2x=6x2
C．4a2﹣5a2=a2D．（2x3）2÷2x2=2x4
2．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）
A．35°B．45°C．55°D．65°
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD 于点G，H，则下列结论错误的是( )
A．EA EG
BE EF
=B．
EG AG
GH GD
=C．
AB BC
AE CF
=D．
FH CF
EH AD
=
4．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、
N为圆心，大于1
2
MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关
系为
A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1
5．1903年、英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质在放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期，如图是表示镭的放射规律的函数图象，根据图象可以判断，镭的半衰期为（）
A．810 年B．1620 年C．3240 年D．4860 年
6．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（）
A．80°B．80°或50°C．20°D．80°或20°
7．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，弦CD垂直平分OB，E是弧AD上的动点，AF⊥CE于点F，点E在弧AD上从A运动到D的过程中，线段CF扫过的面积为（）
A．4π+33B．4π+3
4
3C．
4
3
π+
3
4
3D．
4
3
π+33
8．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
9．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，3以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将BD 绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为（）
A ．2233π-
B ．2233π-
C ．233π-
D ．233
π- 11．满足不等式组21010x x -≤⎧⎨
+>⎩的整数解是（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1
12．某班组织了针对全班同学关于“你最喜欢的一项体育活动”的问卷调查后，绘制出频数分布直方图，由图可知，下列结论正确的是（ ）
A ．最喜欢篮球的人数最多
B ．最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍
C ．全班共有50名学生
D ．最喜欢田径的人数占总人数的10 %
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．点（-1，a ）、（-2，b ）是抛物线2
y x 2x 3=+-上的两个点，那么a 和b 的大小关系是a_______b （填“>”或“<”或“=”）．
14．分解因式：8x²
-8xy+2y²= _________________________ . 156的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为_______平方单位．
16．因式分解：2b2a2﹣a3b﹣ab3=_____．
17．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形成为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为．18．抛物线y=（x+1）2 - 2的顶点坐标是______ ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，抛物线y=ax2+bx(a＜0）过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A(t,0)，当t=2时，AD=1．求抛物线的函数表达式．当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
20．（6分）如图，直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C；抛物线y=x2+bx+c经过点B、C，与x轴的另一个交点为点A（点A在点B的左侧），对称轴为l1，顶点为D．
（1）求抛物线y=x2+bx+c的解析式．
（2）点M（1，m）为y轴上一动点，过点M作直线l2平行于x轴，与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），且x2＞x1＞1．
①结合函数的图象，求x3的取值范围；
②若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，求m的值．
21．（6分）“六一”儿童节前夕，某县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对红星小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为6名，7名，8名，10名，12名这五种情形，并绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）该校有_____个班级，补全条形统计图；
（2）求该校各班留守儿童人数数据的平均数，众数与中位数；
（3）若该镇所有小学共有60个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名留守儿童．
22．（8分）如图是东方货站传送货物的平面示意图，为了提高安全性，工人师傅打算减小传送带与地面的夹角，由原来的45°改为36°，已知原传送带BC长为4米，求新传送带AC的长及新、原传送带触地点之间AB的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.1，tan36°≈0.73，2取1.414
23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C 作直线MN，使∠BCM=2∠A．判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．
24．（10分）已知抛物线y=x2﹣6x+9与直线y=x+3交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线y=x+3与x轴交于点D．
（1）求抛物线的顶点C的坐标及A，B两点的坐标；
（2）将抛物线y=x2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t（t＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围；
（3）点P（m，n）（﹣3＜m＜1）是抛物线y=x2﹣6x+9上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求m，n 的值．
25．（10分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的倾斜角∠BAH＝30°，AB＝20米，AB＝30米．
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
26．（12分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
27．（12分）如图，点A，B在O上，直线AC是O的切线，OC OB．连接AB交OC于D．
=
（1）求证：AC DC
AC=，O5OD的长．
（2）若2
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D
【解题分析】
根据合并同类项、单项式的乘法、积的乘方和单项式的乘法逐项计算，结合排除法即可得出答案.
【题目详解】
A. ﹣3a +a =﹣2a ，故不正确；
B. 3x 2•2x =6x 3，故不正确；
C. 4a 2﹣5a 2=-a 2 ，故不正确；
D. （2x 3）2÷2x 2=4x 6÷2x 2=2x 4，故正确；
故选D.
【题目点拨】
本题考查了合并同类项、单项式的乘法、积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键. 2、C
【解题分析】
分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°
-∠B 即可求得.
详解：∵∠ADC=35°，∠ADC 与∠B 所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C ．
点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
3、C
【解题分析】
试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，
,AD BF BE DC AD BC ∴=，，
,,.EA EG EG AG HF FC CF BE EF GH DG EH BC AD
∴==== 故选C.
4、B
【解题分析】
试题分析：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，
则P 点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，
∴2a+b=﹣1．故选B ．
5、B
【解题分析】
根据半衰期的定义，函数图象的横坐标，可得答案．
【题目详解】
由横坐标看出1620年时，镭质量减为原来的一半，
故镭的半衰期为1620年，
故选B ．
【题目点拨】
本题考查了函数图象，利用函数图象的意义及放射性物质的半衰期是解题关键．
6、D
【解题分析】
根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答．
【题目详解】
∵等腰三角形的一个外角是100°，
∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°，
当80°为底角时，顶角为180°-160°=20°，
∴该等腰三角形的顶角是80°或20°
. 故答案选：D.
【题目点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.
7、A
【解题分析】
连AC ，OC ，BC ．线段CF 扫过的面积＝扇形MAH 的面积+△MCH 的面积，从而证明120AMH ∠︒＝即可解决问题．
【题目详解】
如下图，连AC ，OC ，BC ，设CD 交AB 于H ，
∵CD 垂直平分线段OB ，
∴CO ＝CB ，
∵OC ＝OB ，
∴OC ＝OB ＝BC ，
∴60ABC ∠︒＝，
∵AB 是直径，
∴90ACB ∠︒＝，
∴30CAB ∠︒＝，
∵90AFC AHC ∠∠︒＝＝，
∴点F 在以AC 为直径的⊙M 上运动，当E 从A 运动到D 时，点F 从A 运动到H ，连接MH ，
∵MA ＝MH ，
∴30MAH MHA ∠∠︒＝＝
∴120AMH ∠︒＝， ∵43AC ＝
∴CF 扫过的面积为
221203(23)(23)4333604
ππ⨯+⨯=+， 故选：A ．
【题目点拨】 本题主要考查了阴影部分面积的求法，熟练掌握扇形的面积公式及三角形的面积求法是解决本题的关键.
8、C
【解题分析】
根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．
【题目详解】
A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【题目点拨】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
9、B
【解题分析】
试题分析：对于一元二次方程，当△=时方程有两个不相等的实数根，当△=
时方程有两个相等的实数根，当△=时方程没有实数根.根据题意可得：△=，则方程有两个不相等的实数根.
10、B
【解题分析】
阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可．
【题目详解】
由旋转可知AD=BD，
∵∠ACB=90°3
∴CD=BD，
∵CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=∠CBD=60°，
∴BC=2
3
π3
，
∴阴影部分的面积3
2
602
360
π⨯
3
2
3
π
.
故答案选：B.
【题目点拨】
本题考查的知识点是旋转的性质及扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质及扇形面积的计算.
11、C
【解题分析】
先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．
【题目详解】
210 10x x -≤⎧⎨+⎩
①＞② ∵解不等式①得：x≤0.5，
解不等式②得：x ＞-1，
∴不等式组的解集为-1＜x≤0.5，
∴不等式组的整数解为0，
故选C ．
【题目点拨】
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 12、C
【解题分析】
【分析】观察直方图，根据直方图中提供的数据逐项进行分析即可得.
【题目详解】观察直方图，由图可知：
A. 最喜欢足球的人数最多，故A 选项错误；
B. 最喜欢羽毛球的人数是最喜欢田径人数的两倍，故B 选项错误；
C. 全班共有12+20+8+4+6=50名学生，故C 选项正确；
D. 最喜欢田径的人数占总人数的
4100%50
⨯=8 %，故D 选项错误， 故选C.
【题目点拨】本题考查了频数分布直方图，从直方图中得到必要的信息进行解题是关键.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、＜
【解题分析】
把点（-1，a ）、（-2，b ）分别代入抛物线223y x x =+-，则有：
a=1-2-3=-4，b=4-4-3=-3，
-4<-3，
所以a<b ，
故答案为＜.
14、1()22x y -
【解题分析】
提取公因式1，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．完全平方公式：a 1±1ab+b 1=（a±b ）1．
【题目详解】
8x1-8xy+1y²=1（4x1-4xy+y²）=1（1x-y）1．
故答案为：1（1x-y）1
【题目点拨】
此题考查的是提取公因式法和公式法分解因式，本题关键在于提取公因式可以利用完全平方公式进行二次因式分解．15、6﹣23
【解题分析】
由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；设B′C′和CD的交点是O，连接OA，构造全等三角形，用S阴影
=S正方形﹣S四边形AB′OD，计算面积即可．
部分
【题目详解】
解：设B′C′和CD的交点是O，连接OA，
∵AD=AB′，AO=AO，∠D=∠B′=90°，
∴Rt△ADO≌Rt△AB′O，
∴∠OAD=∠OAB′=30°，
∴OD=OB′=2，
S四边形AB′OD=2S△AOD=2×12
×6=23，
2
∴S阴影部分=S正方形﹣S四边形AB′OD=6﹣23．
【题目点拨】
此题的重点是能够计算出四边形的面积．注意发现全等三角形．
16、﹣ab（a﹣b）2
【解题分析】
首先确定公因式为ab，然后提取公因式整理即可．
【题目详解】
2b2a2﹣a3b﹣ab3=ab（2ab-a2-b2）=﹣ab（a﹣b）2，所以答案为﹣ab（a﹣b）2.
【题目点拨】
本题考查了因式分解-提公因式法，解题的关键是掌握提公因式法的概念.
17、1
【解题分析】 试题分析：根据题意可得圆心角的度数为：
180π，则S=221802360360n r πππ⨯==1． 考点：扇形的面积计算．
18、 (-1,-2)
【解题分析】
试题分析：因为y=（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2）．
考点：二次函数的性质．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）21542
y x x =-+；（2）当t=1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412；（3）抛物线向右平移的距离是1个单位．
【解题分析】
（1）由点E 的坐标设抛物线的交点式，再把点D 的坐标（2，1）代入计算可得；
（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t ，据此知AB=10-2t ，再由x=t 时AD=21542
t t -
+，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；
（3）由t=2得出点A 、B 、C 、D 及对角线交点P 的坐标，由直线GH 平分矩形的面积知直线GH 必过点P ，根据AB ∥CD
知线段OD 平移后得到的线段是GH ，由线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P 知PQ 是△OBD 中位线，据此可得．
【题目详解】
（1）设抛物线解析式为()10y ax x =-，
当2t =时，4AD =， ∴点D 的坐标为()2,4，
∴将点D 坐标代入解析式得164a -=， 解得：14
a =-， 抛物线的函数表达式为21542y x x =-
+； （2）由抛物线的对称性得BE OA t ==，
102AB t ∴=-，
当x t =时，21542AD t t =-+， ∴矩形ABCD 的周长()2AB AD =+
()215210242t t t ⎡⎤⎛⎫=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦， 21202
t t =-++， ()2141122
t =--+， 102
-<， ∴当1t =时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为
412
； （3）如图，
当2t =时，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为()2,0、()8,0、()8,4、()2,4，
∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为()5,2，
直线GH 平分矩形的面积，
∴点P 是GH 和BD 的中点，
DP PB ∴=，
由平移知，//PQ OB
PQ ∴是ODB ∆的中位线，
142
PQ OB ∴==， 所以抛物线向右平移的距离是1个单位．
【题目点拨】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点．
20、（2）y=x2﹣4x+3；（2）①2＜x3＜4，②m的值为11317
2
或2．
【解题分析】
（2）由直线y=﹣x+3分别与x轴、y交于点B、C求得点B、C的坐标，再代入y=x2+bx+c求得b、c的值，即可求得抛物线的解析式；（2）①先求得抛物线的顶点坐标为D（2，﹣2），当直线l2经过点D时求得m=﹣2；当直线l2经过点C时求得m=3，再由x2＞x2＞2，可得﹣2＜y3＜3，即可﹣2＜﹣x3+3＜3，所以2＜x3＜4；②分当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间和当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间两种情况求m的值即可.
【题目详解】
（2）在y=﹣x+3中，令x=2，则y=3；
令y=2，则x=3；得B（3，2），C（2，3），
将点B（3，2），C（2，3）的坐标代入y=x2+bx+c
得：，解得
∴y=x2﹣4x+3；
（2）∵直线l2平行于x轴，
∴y2=y2=y3=m，
①如图①，y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣2，
∴顶点为D（2，﹣2），
当直线l2经过点D时，m=﹣2；
当直线l2经过点C时，m=3
∵x2＞x2＞2，
∴﹣2＜y3＜3，
即﹣2＜﹣x3+3＜3，
得2＜x3＜4，
②如图①，当直线l2在x轴的下方时，点Q在点P、N之间，
若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PQ=QN．
∵x2＞x2＞2，
∴x3﹣x2=x2﹣x2，
即x3=2x2﹣x2，
∵l2∥x轴，即PQ∥x轴，
∴点P、Q关于抛物线的对称轴l2对称，
又抛物线的对称轴l2为x=2，
∴2﹣x2=x2﹣2，
即x2=4﹣x2，
∴x3=3x2﹣4，
将点Q（x2，y2）的坐标代入y=x2﹣4x+3
得y2=x22﹣4x2+3，又y2=y3=﹣x3+3
∴x22﹣4x2+3=﹣x3+3，
∴x22﹣4x2=﹣（3x2﹣4）
即x22﹣x2﹣4=2，解得x2=，（负值已舍去），
∴m=（）2﹣4×+3=11317
2
-
如图②，当直线l2在x轴的上方时，点N在点P、Q之间，
若三个点P、Q、N中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则得PN=NQ．由上可得点P、Q关于直线l2对称，
∴点N在抛物线的对称轴l2：x=2，
又点N在直线y=﹣x+3上，
∴y3=﹣2+3=2，即m=2．
故m的值为11317
2
-
或2．
【题目点拨】
本题是二次函数综合题，
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、线段的中点及分类讨论思想等知识．在（2）中注意待定系数法的应用；在（2）①注意利用数形结合思想；在（2）②注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
21、（1）16；（2）平均数是3，众数是10，中位数是3；（3）1．
【解题分析】
（1）根据有7名留守儿童班级有2个，所占的百分比是2.5%，即可求得班级的总个数，再求出有8名留守儿童班级的个数，进而补全条形统计图；
（2）将这组数据按照从小到大排列即可求得统计的这组留守儿童人数数据的平均数、众数和中位数；
（3）利用班级数60乘以（2）中求得的平均数即可．
【题目详解】
解：（1）该校的班级数是：2÷2.5%=16（个）．
则人数是8名的班级数是：16﹣1﹣2﹣6﹣2=5（个）．
条形统计图补充如下图所示：
故答案为16；
（2）每班的留守儿童的平均数是：（1×6+2×7+5×8+6×10+2×2）÷16=3
将这组数据按照从小到大排列是：6，7，7，8，8，8，8，8，10，10，10，10，10，10，2，2．
故这组数据的众数是10，中位数是（8+10）÷2=3．
即统计的这组留守儿童人数数据的平均数是3，众数是10，中位数是3；
（3）该镇小学生中，共有留守儿童60×3=1（名）．
答：该镇小学生中共有留守儿童1名．
【题目点拨】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了平均数、中位数和众数以及用样本估计总体．
22、新传送带AC的长为1.8m，新、原传送带触地点之间AB的长约为1.2m．
【解题分析】
根据题意得出：∠A=36°，∠CBD=15°，BC=1，即可得出BD的长，再表示出AD的长，进而求出AB的长．
【题目详解】
解：如图，作CD⊥AB于点D，由题意可得：∠A=36°，∠CBD=15°，BC=1．
在Rt△BCD中，sin∠CBD=CD
BC
，∴CD=BC sin∠CBD=22．
∵∠CBD=15°，∴BD=CD=22．
在Rt△ACD中，sin A=CD
AC
，tan A=
CD
AD
，∴AC=
CD
sinA
≈
22
0.59
≈1.8，AD=
CD
tanA
=
22
36
tan︒
，∴AB=AD﹣BD=
22
36
tan︒
﹣
22=2 1.414
0.73
⨯
﹣2×1.111≈3.87﹣2.83=1.21≈1.2．
答：新传送带AC的长为1.8m，新、原传送带触地点之间AB的长约为1.2m．【题目点拨】
本题考查了坡度坡角问题，正确构建直角三角形再求出BD的长是解题的关键．
23、（1）相切；（2）16
43 3
π
-
【解题分析】
试题分析：（1）MN是⊙O切线，只要证明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC以及BC，根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC 计算即可．
试题解析：（1）MN是⊙O切线．
理由：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴∠BCM=∠BOC，
∵∠B=90°，
∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC⊥MN，
∴MN是⊙O切线．
（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，
∴BO=1
2
OC=2，BC=23
∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=
2
1204116
42343 36023
ππ
-⨯⨯=-．
考点：直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．
24、（1）C（2，0），A（1，4），B（1，9）；（2）1
2
＜t＜5；（2）
773
-
，∴
3773
-
.
【解题分析】
分析：（Ⅰ）将抛物线的一般式配方为顶点式即可求出点C的坐标，联立抛物线与直线的解析式即可求出A、B的坐标．（Ⅱ）由题意可知：新抛物线的顶点坐标为（2﹣t，1），然后求出直线AC的解析式后，将点E的坐标分别代入直线AC与AD的解析式中即可求出t的值，从而可知新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围．（Ⅲ）直线AB与y轴交于点F，连接CF，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥x轴于点N，交DB于点G，由直线y=x+2与x轴交于点D，与y轴交于点F，得D（﹣2，0），F（0，2），易得CF⊥AB，△PAB的面积是△ABC面
积的2倍，所以1
2
AB•PM=
1
2
AB•CF，PM=2CF2，从而可求出PG=3，利用点G在直线y=x+2上，P（m，n），
所以G（m，m+2），所以PG=n﹣（m+2），所以n=m+4，由于P（m，n）在抛物线y=x2﹣1x+9上，联立方程从而可求出m、n的值．
详解：（I）∵y=x2﹣1x+9=（x﹣2）2，∴顶点坐标为（2，0）．
联立
269
3
y x x
y x
⎧=-+
⎨
=+
⎩
，
解得：
1
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
6
9
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；
（II）由题意可知：新抛物线的顶点坐标为（2﹣t，1），设直线AC的解析式为y=kx+b
将A（1，4），C（2，0）代入y=kx+b中，∴
4 30 k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
2
6
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的解析式为y=﹣2x+1．
当点E 在直线AC 上时，﹣2（2﹣t ）+1=1，解得：t =
12． 当点E 在直线AD 上时，（2﹣t ）+2=1，解得：t =5，
∴当点E 在△DAC 内时，12
＜t ＜5； （III ）如图，直线AB 与y 轴交于点F ，连接CF ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，交DB 于点G ． 由直线y =x +2与x 轴交于点D ，与y 轴交于点F ，
得D （﹣2，0），F （0，2），∴OD =OF =2．
∵∠FOD =90°，∴∠OFD =∠ODF =45°．
∵OC =OF =2，∠FOC =90°，
∴CF ，∠OFC =∠OCF =45°，
∴∠DFC =∠DFO +∠OFC =45°+45°=90°，∴CF ⊥AB ．
∵△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍，∴
12AB •PM =12
AB •CF ，
∴PM =2CF ．
∵PN ⊥x 轴，∠FDO =45°，∴∠DGN =45°，∴∠PGM =45°．
在Rt △PGM 中，sin ∠PGM =PM PG ， ∴PG =45PM sin ︒=3．
∵点G 在直线y =x +2上，P （m ，n ）， ∴G （m ，m +2）．
∵﹣2＜m ＜1，∴点P 在点G 的上方，∴PG =n ﹣（m +2），∴n =m +4．
∵P （m ，n ）在抛物线y =x 2﹣1x +9上，
∴m 2﹣1m +9=n ，∴m 2﹣1m +9=m +4，解得：m
∵﹣2＜m ＜1，∴m m n =m ．
点睛：本题是二次函数综合题，涉及待定系数法，解方程，勾股定理，三角形的面积公式，综合程度较高，需要学生综合运用所学知识．
25、(1) BH为10米；(2) 宣传牌CD高约（40﹣203）米
【解题分析】
（1）过B作DE的垂线，设垂足为G．分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；
（2）在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．
【题目详解】
（1）过B作BH⊥AE于H，
Rt△ABH中，∠BAH＝30°，
∴BH＝1
2
AB＝
1
2
×20＝10（米），
即点B距水平面AE的高度BH为10米；（2）过B作BG⊥DE于G，
∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，
∴四边形BHEG是矩形．
∵由（1）得：BH＝10，AH＝3
∴BG＝AH+AE＝（3+30）米，
Rt△BGC中，∠CBG＝45°，
∴CG＝BG＝（3+30）米，
∴CE＝CG+GE＝CG+BH＝103+30+10＝103+40（米），
在Rt△AED中，
DE
AE
＝tan∠DAE＝tan60°＝3，
DE＝3AE＝303
∴CD＝CE﹣DE＝103+40﹣303＝40﹣203．
答：宣传牌CD高约（40﹣203）米．
【题目点拨】
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是掌握解直角三角形的应用-仰角俯角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题的基本方法.
26、（1）1
3
；（2）这个游戏不公平，理由见解析.
【解题分析】
（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．
【题目详解】
解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，
故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：1
3
；
（2）这个游戏不公平．画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，
∴P （甲胜）=59，P （乙胜）=49
． ∴P （甲胜）≠P （乙胜），
故这个游戏不公平．
【题目点拨】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
27、（1）证明见解析；（2）1．
【解题分析】
（1）连结OA ，由AC 为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC 为直角，再由OC OB ，得到∠BOC 为直角，由OA=OB 得到OAB OBA ∠=∠，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到CAD CDA ∠=∠，利用等角对等边即可得证； （2）在Rt OAC △中，利用勾股定理即可求出OC ，由OC=OD +DC ，DC=AC ，即可求得OD 的长．
【题目详解】
（1）如图，连接OA ，
∵AC 切O 于A ，
∴OA AC ⊥，
∴1290∠+∠=︒
又∵OC OB ，
∴在Rt BOD 中：390B ∠+∠=︒
∵OA OB =，
∴2B ∠=∠，
∴13∠=∠，
又∵34∠=∠，
∴14∠=∠，
∴AC DC =；
（2）∵在Rt OAC ∆中：2AC =， 5OA = 由勾股定理得：22OC AC OA +222(5)3=+=，
由（1）得：2DC AC ==，
∴321OD OC DC =-=-=．
【题目点拨】
此题考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．。