1-2-3裂项与通项归纳

裂项与通项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

一、裂项综合
（1）、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)
n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ （2）裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项
(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3
n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4
n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 模块一、分数裂项 【例 1】 (美国长岛小学数学竞赛)
111111223344556
++++=⨯⨯⨯⨯⨯ 。

【巩固】
111
...... 101111125960 +++
⨯⨯⨯
【巩固】
1111 133******** ++++=⨯⨯⨯⨯
【巩固】
2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯
【巩固】
11111 104088154238
++++=。

【巩固】(2009年迎春杯初赛六年级)计算：
1111
25
1335572325
⎛⎫
⨯++++=
⎪
⨯⨯⨯⨯
⎝⎭
【巩固】计算：
3245671 255771111161622222929 ++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】(2008年台湾小学数学竞赛选拔赛初赛)251251251251251 4881212162000200420042008 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯
【例 2】(第五届《小数报》数学竞赛初赛计算题第3题)计算：
11111 123420 261220420 +++++
【巩固】计算：1111111 315356399143195 ++++++
【例 3】
111 123234789 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
111 1232349899100 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
1111 135246357202224 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
4444
...... 135357939597959799 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
9998971 12323434599100101 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 4】
11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
333
...... 1234234517181920 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 5】12349 223234234523410 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
5719
1232348910
+++=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
．
【巩固】
123456 121231234123451234561234567 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】 计算：
23993!4!100!
+++= . 【巩固】 (2009年迎春杯初赛五年级)计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （
【巩固】 计算：
3451212452356346710111314
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 6】 111111212312100
++++++++++
【巩固】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++
【巩固】2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++
【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++ （）
【例 7】 (仁华学校入学测试题) 22222211111131517191111131
+++++=------ .
【巩固】 计算：222222223571512233478
++++⨯⨯⨯⨯
【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951
++++++++++=----- ．
【巩固】 计算：2222
1235013355799101
++++=⨯⨯⨯⨯ ． 【例 8】 5667788991056677889910
+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】36579111357612203042
++++++
【巩固】123791117253571220283042
+++++++
【巩固】1111120102638272330314151119120123124
+++++++++ 【巩固】 35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
【巩固】 计算：57911131517191612203042567290
-+-+-+-+
【巩固】22222222
122318191920122318191920
++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯
【巩固】 11111(......)1200722006(2008)2006220071n n +++++-⨯⨯⨯-⨯⨯ 20071111(......)20081200622005(2007)20061n n +++++⨯⨯⨯-⨯ 模块二、整数裂项
【例 9】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯ =_________
【巩固】
14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ =_________ 【巩固】
1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________
【例 10】
12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【巩固】
2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯ 【巩固】
11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=
【例 11】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ． 模块三、通项归纳 【例 12】 111
3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999
+++++⨯++⨯+⨯⨯+
【巩固】 计算：111112123122007
++++++++⋯
【巩固】111133535735721
+++++++++++ 【例 13】 22446688101013355779911
⨯⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】121231234123502232342350
++++++++++⨯⨯⨯⨯++++++ 【例 14】 2222222222222
33333333333331121231234122611212312341226++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+
【巩固】 2221111112131991⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【巩固】 计算：22222222
1223200420052005200612232004200520052006
++++++++⨯⨯⨯⨯
【巩固】 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910
-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- 【例 15】 计算：222
22223992131991
⨯⨯⨯=---
【巩固】 计算：222
222129911005000220050009999005000
+++=-+-+-+ ．。