知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高

《解析几何初步》全章复习与巩固
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；
3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；
4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；
5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；
6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；
7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识络】
【要点梳理】
要点一：直线方程的几种形式
（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．
（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．
（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；
③2
2
0(0)Ax By C A B ++=+≠；
④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．
要点二：两条直线的位置关系
1．特殊情况下的两直线平行与垂直．
(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为0
90，互相平行；
(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为0
90），另一条直线的倾斜角为0
0时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：
（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠
（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则
1l ∥2l ⇔
2
1
2121C C B B A A ≠= ． 要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．
3．斜率都存在时两直线的垂直：
（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ； （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则
1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．
要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2
2
00B
A C
By Ax d +++=
2．两平行线间的距离公式
已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与
2l 的距离为2
2
21B
A C C d +-=
．
要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可 要点四：对称问题
1．点关于点成中心对称
点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．
设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--．
2点关于直线成轴对称
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建
立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：
设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有00
00122
y y k x x y y x x k b '-⎧
⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、
y '．
特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-．
3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -； （2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -； （3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --； （4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ； （5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --．
要点五：圆的方程
求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．
1．圆的标准方程
222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.
要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2
2
2
x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222
a b r +=.
(2)圆的标准方程2
2
2
()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.
(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
2．圆的一般方程
当22
40D E F +->时，方程2
2
0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,2
2D E ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭为圆心，
为半径. 要点诠释：由方程22
0x y Dx Ey F ++++=得22
224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(1)当22
40D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-
=-.它表示一个点(,)22
D E --. (2)当2
2
40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
(3)当22
40D E F +->时，可以看出方程表示以,2
2D E ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭为半径的圆.
要点六：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为2
2
2
()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有
(1)若点()00M x y ，在圆上()()22
2
00||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=
(2)若点()00M x y ，在圆外()()22
2
00||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->
(3)若点()00M x y ，在圆内()()22
2
00||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<
要点七：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：
判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点； 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：
设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222
:()()(0)C x a y b r r -
+-=>，圆心(,)C a b 到直
线l 的距离记为
d =
:
当d r <时，直线l 与圆C 相交；
当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离.
要点诠释：
(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.
(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.
(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：
判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：
圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆2
2
22
2
2:()()C x
a y
b r
-+-
=，两圆圆心距
d =
当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含.
要点诠释：
判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.
要点九：求圆的切线方程的常用方法：
(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；
(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；
(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：
①过圆222
x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；
②过圆()()22
2
x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：
()()()()200x a x a y b y b r --+--=.
要点十：空间直角坐标系
空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法． 【典型例题】
类型一：直线方程的综合问题
例1．已知A (-m -3，2)，B (-2m -4，4)，C (-m ，m )，D (3，3m+2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论． 【答案】1或-1
【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，
∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，
∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，
-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．
而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，
∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．
②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式
422
24(3)(1)AB k m m m -=
=------+，
322(1)
3()3
CD m m m k m m +-+=
=--+．
∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C D
k k =-，
即
22(1)
1(1)3
m m m +=--++，解得m ＝1．
综上，m 的值为1或-1．
举一反三：
【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值． 【答案】0或16
- 【解析】
解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ；
直线斜率存在时，123311//26
a l l a a a -⇔-=⇔=-． 故使12//l l 的a 的值为0或16
-
． 解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-
，故使12//l l 的a 的值为0或16
-． 例2．已知三条直线120(0)l x y a a -+=>:，24210l x y --=:，310l x y +-=:且1l 与2l
的距离为
(1)求a 的值．
(2)能否找到一点P ，使得点P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限点，②点P 到1l 、3l 的
P 到1l 、2l 的距离比是1:2．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．
【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解． 【答案】（1）3 （2）137918P ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 【解析】
(1)直线2l 的方程变为1
202
x y --
=， ∴ 1l 与2
的距离d =
=
∴ 17
22
a +
=，∵ 0a >，∴ 3a =． (2)设P (x 0，y 0)，若点P 满足条件③，则点P 在与直线1l 、2l 平行的直线20l x y c '-+=:上，
=，即132c =或116，
∴ l '为0013202x y -+
=或0011
206
x y -+=． 若点P 满足条件②，由点到直线的距离公式得
002
=
解得00240x y -+=或0320x +=(∵ 点P 是第一象限点，∴ 不合题意，舍去)．
联立方程00
0013202240x y x y ⎧
-+=⎪⎨⎪-+=⎩，， 解得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，舍去． 联立方程00001120
6
240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩， 解得00193718x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，. ∴ 137918P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，为同时满足三个条件的点．
【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．
例3．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程．
【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．
2.由平面几何知识可知，若a 与b 关于l 对称，则应具有下列几何性质：
（1）若点A 在直线a 上，则A 点关于l 的对称点B 一定在直线b 上，即l 为线段AB 的垂直平分线（AB l ⊥，AB 的中点在l 上）；
（2）设(,)P x y 是所求直线b 上一点，则P 关于l 的对称点(,)P x y '''的坐标适合直线a 的方程； （3）若a 与b 相交，则l 过a 与b 交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//a l ，则////b l a ，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案． 【解析】方法一：在直线:240a x y +-=上取一点(2,0)A ，设A 点于l 的对称点00(,)B x y ，
则00002
034102204
23
x y y x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B -，
由240
3410
x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩，解得交点(3,2)D -．
由两点式可求得直线b 的方程：211160x y ++=．
方法二：设(,)P x y 是所求直线b 上任一点；设P 关于l 的对称点(,)P x y '''，
则有：''
341022
'4'3y y x x y y x x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩
∵(,)P x y '''在直线:240a x y +-=上，
∴72462478
2402525
x y x y -+--+⋅
+-=，整理得211160x y ++=， 故所求直线b 的方程：211160x y ++=．
【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．
2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C ，仍可用此方
法解决．
举一反三：
【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．
【答案】：4510x y -+=
【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件
0000
23
1,2
23
1,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得(4,3)P '--，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为31
1(1)41
y x ---=---，
即4510x y -+=． 类型二：圆的方程的综合问题
例4．（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）
、(1,3)B
，且圆心C 在直线y =x 上．
（1）求圆C 的方程； （2
）过点的直线l
截圆所得弦长为l 的方程． 【思路点拨】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程；
（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可． 【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1
或y x =+ 【解析】（1）AB
的中点坐标3
(,22
-
，AB
可得AB
垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0）， 圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4； （2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l
过， ∴直线l
的方程为(1)y k x -
=-
，即y kx k =， 则圆心（0，0
）到直线的距离|
|k d -=
，又圆的半径r =2
，截得的弦长为
2
2
(||)
4
k
=，
解得：
3
k=-，
则直线l
的方程为y x
=+
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．
直线l的方程：x=1
或
33
y x
=-+．
【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．举一反三：
【变式1】直线l被圆C:2220
x y y
+-=所截得的弦的中点是
13
(,)
22
M-，求直线l的方程．【答案】20
x y
--=
【变式2】（2015春东台市校级期中）已知：圆C：22
(1)(2)25
x y
-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，
求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；
（2）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．
【答案】（1）P（3，1）；（2）2x－y－5=0．
【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，
即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，
令
270
40
x y
x y
+=
+-=
⎧
⎨
⎩
－
，则
3
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
故直线l恒过点P（3，1）；
（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，
此时CP⊥l，
圆C：22
(1)(2)25
x y
-+-=的圆心C（1，2），
由直线CP的斜率为
211
132
-
=-
-
，
即有直线l的斜率为2，即
21
2
1
m
m
+
-=
+
，
即
3
4
m=-，
则直线l的方程为2x－y－5=0．
例5．已知圆的方程：2222(2)20
x y ax a y
+-+-+=，其中a≠1，且a∈R．
(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点；
(2)求与圆相切的直线方程；
(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．
【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题．
【解析】
(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为22
42(22)0x y y a x y +-+--=， 令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，，
解得11x y =⎧⎨=⎩，. ∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)．
(2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，半径
为1|a -．设所求切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则圆心到直线的距离等于半径，
即1|a =-恒成立，即
22222(1)4(1)2(1)k a k a k +-+++ 222(1)2(2)(1)(2)k a b k a b =++-++-恒成立．
比较系数可得
222222(1)(1)4(1)2(2)(1)2(1)(2)k k k b k k b ⎧+=+⎪-+=-+⎨⎪+=-⎩
，，， 解得10k b =⎧⎨=⎩，. 故所求切线方程为y ＝x ．
(3)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，又设圆心坐标为(x ，y )，则2x a y a =⎧⎨=-⎩
，， 消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a )总在直线x+y -2＝0上．
举一反三：
【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程．
【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，
∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25
λ=-
． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．
【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程．
类型三：直线与圆的方程的综合问题
例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O
，且与直线1:0l x y --=相切．
（1）求圆C 的方程；
（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．
【思路点拨】（1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．
（2）设出直线2l 的方程，判断出△OPQ 为等腰直角三角形，求得圆心到直线2l 的距离，进而利用点到直线的距离求得C ，则直线方程可得．
【答案】（1）22
4x y +=；（2）x +y +2=0或x +y －2=0．
【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2
r =
=， ∴ 圆的方程为224x y +=．
（2）设直线2l 的方程为x +y +c =0， 由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为1，利用点到直线的距离公式得， 求得c =±2．
∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0．
举一反三：
【变式1】已知直线l 过点P (2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程．
错解：∵ 2OP k =，且OP l ⊥，∴ 12l k =-
， ∴ l 的方程为14(2)2
y x -=--，即2100x y +-=． 错因分析：本题错误的原因是误把点P 当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．
正解：当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．
当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，
∵ 直线与圆相切，∴
|2=，解得34k =， ∴ 直线l 的方程为34100x y -+=．
∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．
例7．已知m ∈R ，直线2(1)4l mx m y m -+=:和圆2284160C x y x y +-++=:．
(1)求直线l 斜率的取值范围；
(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为
12的两段圆弧？为什么? 【答案】（1）1122
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）不能 【解析】(1)直线l 的方程可化为22411m m y x m m =
-++， 直线l 的斜率21m k m =
+． 因为21||(1)2
m m ≤+， 所以2||1||12
m k m =≤+，当且仅当||1m =时等成立． 所以斜率k 的取值范围是1122
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． (2)不能．
由(1)知l 的方程为y ＝k (x -4)，其中||k ≤
12． 圆C 的圆心为C (4，-2)，半径r ＝2．
圆心C 到直线l 的距离
d =．
由1||
2k ≤，得d 1>，即2r d >． 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于
23π． 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12
的两段圆弧． 类型四：空间直角坐标系
例8．正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N
在BF 上移动．若|CM|=|BN|=a （0a <<）．当a 为何值时，|MN|最小？
【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a 的函数，用函数的思想方法解题．
【答案】2
【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥
平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC
的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为|BC|=1，|CM|=a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点
,0,122m a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭．
因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN|=a ，所以点,,022N a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．
由空间两点间的距离公式，得
||MN ==，
当2a =（满足0a <<|MN|最小，最小值为2． 【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 的最小值．
举一反三：
【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．
【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点．
【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==
当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）．。