宜春中学2005-2006学年上学期期中考试高二年级数学试卷

宜春中学2005－2006学年上学期期中考试高二年级数学试卷
一、单选题（5′×12＝60′）
1、若a ＞b ，下列不等式中一定成立的是（ ）
A 、1a ＜1b
B 、b a ＜1
C 、lg(a －b )＞0
D 、2a ＞2b
2、若三点A (1,3)，B (5,m )，C (10,12)共线，则m 的值为（ ）
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8
3、若直线2x ＋y －2＝0和mx －y ＋1＝0的夹角为
4π
，则m ＝（ ） A 、－1
3或－3
B 、－1
3或3
C 、13或3
D 、13或－3
4、直线ax ―by ―c ＝0 (ab ＜0)的倾斜角是（ ）
A 、b a arctan
B 、b
a
arctan -
C 、b a arctan +π
D 、b a
arctan -π
5、a ＜b 且c ＜d 成立的必要条件是（ ）
A 、a ＋c ＜b ＋d
B 、a －c ＜b －d
C 、ac ＜bd
D 、a c ＜b
d
6、设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有（ ）
A 、1≤ab ≤a 2＋b 22
B 、ab ＜1＜a 2＋b 2
2
C 、ab ＜a 2＋b 22＜1
D 、a 2＋b 2
2＜ab ＜1
7、已知直线(a ＋1)x －y ＋1－2a ＝0与(a 2－1)x ＋(a －1)y －15＝0平行，则实数a 的值为（ ）
A 、1
B 、－1
C 、0
D 、0或1
8、满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤≤222y x y x 的z ＝x ＋2y 的取值范围是（ ）
A 、[2,6]
B 、[2,5]
C 、[3,6]
D 、[3,5]
9、直线l 1：ax －y ＋b ＝0与直线l 2：bx ＋y －a ＝0 (ab ≠0)图象是（ ）
A
B C D
10、已知x ，y ∈R +
，且x ＋2y ＝1，则1x ＋1
y 的最小值为（ ）
A 、6
B 、4 2
C 、3＋2 2
D 、以上都不对 11、直线l 经过P (－4,3)与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且AP
→＝35PB →，则直线l
方程为（ ）
A 、5x －4y ＋32＝0
B 、5x ＋4y ＋8＝0
C 、3x ＋5y ＋3＝0
D 、5x －3y ＋3＝0
12、已知集合P ＝{(x ,y )|y ＝－4－x 2且y ≠0}与Q ＝{(x ,y )|y ＝x ＋b }满足P ∩Q ＝φ，则实数b 的取值范围是（ ）
A 、－22＜b ＜2
B 、b ＜－22或b ≥2 2
C 、－22＜b ≤2 2
D 、b ＜－22或b ≥2
二、填空题（4′×4＝16′）
13、不等式x ＋2≤1的解集为___________
14、以C (2,－1)为圆心，截直线x ＋y ＋1＝0所得弦的长为22的圆方程是________
15、若椭圆x 264＋y 2
36＝1的焦点为F 1、F 2，过F 1任作一弦交椭圆于A 、B 两点，则 △ABF 2的周长为_________
16、若实数x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为____________
宜春中学2005－2006学年上学期期中考试高二年级数学试卷
答题卡
一、单选题（5′×12＝60′）
二、填空题（4′×4＝16′）
13、_________________ 14、_________________
15、_________________ 16、_________________
三、解答题（76分）
17、解不等式（2×6′＝12′）
（1）x－x3＜0 （2）|x2＋3x－8|＜10
18、（12′）解关于x的不等式ax2－1
ax－1
＞x(a＞0且a≠1)
19、（12′）过定点P(2,3)任作两条互相垂直的直线l1和l2，分别与x轴和y轴
交于M、N两点，求MN中点Q 的轨迹方程。

20、（12′）已知直线l过点(0,1)且与直线x－y＋4＝0垂直
（1）求直线l的方程
（2）设点P(a,b)为直线l上在第一象限内的点，求证
1
a≥9－
4
b
21、（12′）求经过点A(－2,2)且在第二象限与两坐标轴围成的三角形面积最小时的直线方程。

22、(14′)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4与直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8 （1）证明：无论m为何实数直线l与圆C必相交
（2）当直线l被圆C截得弦长最短时，求m的值
宜春中学2005－2006学年上学期期中考试高二年级数学试卷参考答案 一、单选题（5′×12＝60′）
二、填空题（4′×4＝16′） 13、[－2,－1]
14、(x －2)2＋(y ＋1)2＝4
15、32
16、10
三、解答题（76分） 17、（1）x －x 3＜0 （2）(x 2＋3x －8)2－102＜0 x (x 2－1)＞0
(x 2＋3x －18) (x 2＋3x +2)＜0
x (x ＋1)( x －1)＞0……3′
(x －3)(x ＋6)(x ＋1)( x ＋2)＜0… 3′ －1＜x ＜0或x ＞1……5′
－6＜x ＜－2或－1＜x ＜3……5′
∴不等式解集{x |－1＜x ＜0或x ＞1}…6′∴不等式解集{x |－6＜x ＜－2或－1＜x ＜3}…6′
18、
011
1
1
2>--⇔
>--ax x x ax ax ……2′ ∵a ＞0 ∴x －1x －1a
＞0……4′
当1＞1a 即a ＞1时，不等式解为x ＞1或x ＜1a
当1＜1a 即a ＜1时，不等式解为x ＜1或x ＞1
a …………10′
∴当a ＞1时，不等式解为{x |x ＞1或x ＜1
a }
当a ＜1时，不等式解为{x |x ＜1或x ＞1
a
}
19、解：设Q (x ,y )
则|QP |＝1
2|MN |＝|QO |………………6′
∴(x －2)2＋(y －3)2＝x 2＋y 2……8′
化简得4x ＋6y －13＝0…10′ ∴所求轨迹方程为4x ＋6y －13＝0…12′ 20、解：①∵直线l 与直线x －y ＋4＝0垂直 ∴直线l 斜率为－1……2′ 又直线l 过点(0,1) ∴直线l 方程y －1＝－(x －0)即x ＋y －1＝0……4′ ②∵P (a ,b )为直线l 在第一象限内的点
∴a ＋b －1＝0 (a ＞0，b ＞0) ∴b ＝1－a ＞0 ∴0＜a ＜1…………6′ ∴1a －(9－4b )＝1a ＋4b －9 ＝1a +1
1－a －9＝(3a －1)2a (1－a )≥0…………11′
∴1a ≥9－4
b …………12′
21、解：设直线方程为y －2＝k (x ＋2) (k ＞0)即kx －y ＋2k ＋2＝0……2′
它与x 轴交点为(－2－2
k
,0) 与y 轴交点为(0,2k ＋2)
∴三角形面积S ＝12(2＋2
k )(2k ＋2)＝
2(k ＋1)2k …………6′
＝2(k ＋1k ＋2)≥2(2k ×1
k ＋2)＝8…………8′
∴当k ＝1
k 即k ＝1时，S 最小＝8…………10′ 此时，直线方程为x －y ＋4＝0…………12′ 22、解（1）由(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8
得(x ＋2y －7)m ＋(2x ＋y －8)＝0…………1′
由方程组⎩⎨
⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=-+2
3
082072y x y x y x ∴直线过定点A (3,2)……3′ ∵已知圆圆心C (2,3)，半径为2，|AC |＝2＜2 ∴A (3,2)在圆内……6′ ∴直线与圆C 相交…………7′
（2）设直线l 被圆裁得的弦的弦心距为d …………7′ 则d ＝
5
85|1|)
12()2()
87(3)12(2)2(2
2
2
++-=
++++-⨯++⨯+m m m m m m m m …………8′
∴(5d 2－1)m 2＋(8d 2＋2)m ＋(5d 2－1)＝0 （1）…………9′
当5d 2－1＝0，即d 2＝1
5时，有m ＝0
当5d 2－1≠0，即d 2≠1
5时，∵m ∈R ∴△＝(8d 2＋2)2－4(5d 2－1)2≥0
∴9d 4≤18d 2
∴d 2≤2 ∴d 的最大值＝2…………12′
当d 最大值为2时，弦长最短，此时（1）为9m 2＋18m ＋9＝0 ∴m ＝－1 …………14′。