辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第一次模拟(一模)考试数学试题(文)

辽宁省朝阳市普通高中2018届高三第一次模拟考试
数学试题（文）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合{|0}A y y =≥，A B B =，则集合B 不可能是（）
A ．{|0}y y x =
≥ B ．1{|()}2
R x y y x =∈， C ．{|lg 0}y y x x =>， D ．∅
2.设复数z 满足(1i)1z -=+（i 是虚数单位），则||z 等于（）
A B ．2 C ．12
D ．2 3.按照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是（）
A ．3
B ．4
C 5．
D ．6
4.命题“0x ∃∈R ，3210x x -+>”的否定是（）
A.0x ∃∈R ，3210x x -+<
B.x ∀∈R ，3210x x -+≤
C.0x ∃∈R ，3210x x -+≤
D.不存在x ∈R ，3210x x -+>
5.已知数列{}n a 的通项公式262n a n =-，若使此数列的前n 项和n S 最大，则n 的值为（）
A ．12
B ．13 C.12或13 D ．14
6.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移
π3个单位长度后，再将所得图象上各点的纵坐标
不变，横坐标压缩到原来的12
倍，最终所得图象对应的函数的最小正周期为（） A ．π6 B ．π2 C.5π6
D ．2π 7.《九章算术》是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍凳，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，在该锲体的体积为（）
A ．10000立方尺
B ．11000立方尺 C.12000立方尺 D ．13000立方尺
8.设中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线的焦距为12，圆22(6)20x y -+=与该双曲线的
渐近线相切，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离是9，则点P 到2F 的距离是（）
A ．17或1
B ．13或5 C.13 D ．17
9.在平面直角坐标系xOy 中，设{()|22}D x y x y =≤≤，，，22{()|1}E x y x y =+≤，，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是（）
A.π4
B.π16
C.π8
D.2
π16 10.方程24sin π1x x
=-在[24]-，内根的个数为（） A.6个 B.7个 C.5个 D.8个
11.一个含有5项的等比数列，其中每一项都是小于100的正整数，这5项的和为121，如果S 是数列中奇数项之和，则S 等于（）
A ．90
B ．91 C.118 D ．121
12.在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AQ k AC =，则11h k
+=（） A ．3 B ．4 C.5 D ．6
二、填空题：每题5分，满分20分.
13.设变量x 、y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+最大值是．
14.抛物线C ：22y px =（0p >）的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，则PMQ ∠=．
15.矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，则四棱锥P EBCF -的外接球表面积为．
16.若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-的最小距离为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在ABC △中，已知45A =︒，4cos 5
B =. （1）求cos
C 的值；（2）若10BC =，
D 为AB 的中点，求CD 的长.
18. 在如图所示的几何体ABCDEF 中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是正方形，且边长为2，Q 是AD 的中点.
（1）求证：直线AE ∥平面FQC ；（2）求点E 到平面FQC 的距离.
19. 为了调查学生数学学习的质量情况，某校从高二年级学生（其中男生与女生的人数之比为9:11）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生依期中考试的数学成绩进行统计.根据数学
的分数取得了这n名同学的数据，按照以下区间分为八组：
①[3045)
，，②[4560)，，③[6075)，，④[7590)，，⑤[90105)，，⑥[105120)，，⑦[120135)，，⑧[135150)
，
得到频率分布直方图如图所示.已知抽取的学生中数学成绩少于60分的人数为5人.
（1）求n的值及频率分布直方图中第④组矩形条的高度；
（2）如果把“学生数学成绩不低于90分”作为是否达标的标准，对抽取的n名学生，完成下列22
列联表：
据此资料，你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关？
（3）若从该校的高二年级学生中随机抽取3人，记这3人中成绩不低于120分的学生人数为
X ，求X 的分布列、数学期望和方差
附1：“22⨯列联表a b c d ”的卡方统计量公式：22()()()()()()
a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++ 附2：卡方（2K ）统计量的概率分布表：2()0.0500.0100.001
3.841 6.63510.828P K k k ≥
20. 已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F 且2F 关于直线0x y a -+=的对称点M 在直线320x y +=上.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若C 的长轴长为4且斜率为12
的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得PA ，PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由.
21. 已知函数2211()()ln 24
f x x ax x x ax =--+（常数0a >）. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）设()f x '是()f x 的导函数，求证：3()4e ln x f x a x -'<-.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极
坐标方程为π)4ρθ=-，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=+⎩
t 为参数，直线l 和圆C 交于A ，B 两点.
（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设l 上一定点(01)M ，，求MA MB ⋅的值.
23.已知函数()3f x x m =--，且()0f x ≥的解集为(2][4)-∞-+∞，，
（1）求m 的值；（2）若R x ∃∈，使得()2f x t x ≥+-成立，求实数t 的取值范围.
【参考答案】
一、选择题
1-5: ACCBC 6-10:BADB D 11-12：BA
二、填空题
13.10 14.
π2 15.44π
三、解答题
17.解：（1）4cos 5B =，且(0180)B ∈，
，∴3sin 5B ==． cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-
243cos135cos sin135
sin 55
B B =+=-
=
（2）由（1
）可得sin C ==
= 由正弦定理得sin sin BC AB A C =72
AB =，解得14AB =. 在BCD △中，7BD =，22
247102710375CD =+-⨯⨯⨯
=，所以CD = 18.证明：（1）∵四边形ABCD 和四边形ABEF 都是正方形
∴EF AB DC ∥∥且EF AB DC ==
∴四边形DCEF 是平行四边形
连结DE 交FC 于P ，连结PQ ，则P 是DE 中点.
∵Q 是AD 的中点，∴PQ 是边AE 的中位线，PQ AE ∥，
注意到AE 在平面FQC 外，PQ 在平面FQC 内，∴直线AE ∥平面FQC
（2）由（1）知直线AE ∥平面FQC ，故E ，A 到平面FQC 等距离 下面求
A 到平面FQC 的距离，设这个距离是x
由平面ABCD ⊥平面ABEF ，FA AB ⊥，知FA ⊥平面ABCD ，
考虑三棱锥F AQC -的体积：F AQC A FQC V V --=
因正方形边长为2，所以11221333
F AQC AQC V FA S -=⋅⋅=⨯⨯=△ 在Rt DQC △
中求得QC =；在Rt AQF △
中求得FQ =，在Rt FAC △
中求得FC = 于是可得FQC △
F AQC A FQC V V --=
得，
2133=
，解得x 故点E 到平面FQC
19.解：（1）“成绩少于60分”的频率511()151001500375
n n =+⋅⇒= ④的高度[7590)，的率距
内频组151530151515151()150037537550601003001/12515-++++++== （2）按照“男生”和“女生”分层抽样
在容量为100的样本中，“男生”人数910045911=
⨯=+，“女生”人数1110055911
=⨯=+ “达标”即“成绩不低于90分”的频数1111()15100755060100300=+++⨯⨯= 据此可填表如下：
据表可得卡方统计量22
100(30104515)1004555752533K ⨯-⨯==⨯⨯⨯ 3.030 3.841=< 故有不足95%的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关 可以认为它们之间没有关联
（3）第①组的频数11510011500=⨯⨯=；第②组的频数1151004375=⨯⨯= 记第①组的学生为x ，第②组的学生分别为a ，b ，c ，d
基本事件空间{}xab xac xad xbc xbd xcd abc abd acd bcd Ω=，，，，，，，，， 设事件{}A abc abd acd bcd =，，，
故()42()()105
card A P A card ===Ω 20.解：（1）依题知2(0)F c ，，设00()M x y ，，则001y x c =--且00022
x c y a +-+=，
解得00
x a y a c =-⎧⎨=+⎩，即()M a a c -+， ∵M 在直线320x y +=上，∴32()0a a c -++=，2a c =，∴12
c e a == （2）由24a =及12
c a =得2a =
，b 22
143x y += 设直线l 方程为12
y x t =+，代入椭圆方程消去y 整理得2230x tx t ++-=. 依题0∆>，即24t <
设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x t +=-，2123x x t =- 如果存在()P m n ，使得PA PB k k +为定值，那么PA PB k k +的取值将与t 无关
1212PA PB
y n y n k k x m x m --+=+--223()2323n m t mn t mt m -+-=++-，令223()2323n m t mn M t mt m -+-=++- 则223()32302
Mt mM m n t m M M mn ++-+--+=为关于2(4)t t <的恒等式 ∴03223
M n m mn =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或132m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 综上可知，满足条件的定点P 是存在的，坐标为3(1)2--，及3(1)2
， 21.解：（1）()()ln f x x a x '=-（0x >，0a >） 画出y x a =-（0a >）及ln y x =（0x >）的图象，它们的零点分别为a 和1
①当01a <<时，()f x 在(0)a ，↑，(1)a ↓，
，(1)+∞↑， ②当1a =时，()f x 在(1)+∞↑，
③当1a >时，()f x 在(01)↑，
，(1)a ↓，，()a +∞↑， （2）因()()ln ln ln f x x a x x x a x '=-=- 要证3()4e ln x f x a x -'<-，需证3ln 4e x x x -<（0x >）
法1.即证3
2ln 4e x x x x
-<（0x >） 设ln ()x F x x
=（0x >），3
24e ()x G x x -=（0x >） 一方面2
1ln ()x F x x -'=（0x >）()F x ⇒在(0e)↑，，(e )+∞↓，
则1()(e)e
F x F =≤① 另一方面，3
34(2)e ()x x G x x
--'=（0x >）()G x ⇒在(02)↓，，(2)+∞↑， 则1()(2)e
G x G =≥② 据①②()()F x G x ⇒≤
有因①的取等条件是e x =，②的取等条件是2x =
故()()F x G x <，即3
2ln 4e x x x x
-<（0x >），即3()4e ln x f x a x -'<- 法2先证1ln e
x x ≤（0x >）（差函数） 进而21ln e
x x x ≤（0x >） 再证2314e e
x x -≤（差函数或商函数） 说明等号不成立
故3ln 4e x x x -<（0x >）成立.
22.解：（1
）π)cos 4ρθθθ=-=-2sin 2cos θθ=- ∴22sin 2cos ρρθρθ=-
∴2222x y y x +=-
∴22(1)(1)2x y ++-=
（2）直线l
的参数方程可化为21x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩t '为参数
代入22(1)(1)2x y ++-=
，得22(1))2''++=
化简得：210t ''-=∴12
1t t ''⋅=-∴121MA MB t t ''=⋅= 23.解：（1）不等式30x m --≥的解集为(3][3)m m -∞-⋃++∞，， 又∵()30f x x m =--≥的解集为(2][4)-∞-⋃+∞，， ∴34m +=，32m -=-∴1m =
（2）∵x ∃∈R ，使得()2f x t x ≥+-成立
高三一模数学试题
11 ∴R x ∃∈，使得132x t x --≥+-∴R x ∃∈，123x x t ---≥+ 令11
()12231212
x g x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<≤⎨⎪>⎩
∴x ∃∈R ，123x x t ---≥+
∴max 3()1t g x +≤=∴2t ≤-.。