10.1图上距离与实际距离
10.1图上距离与实际距离1
10.1图上距离与实际距离
全等图形
相似图形
活动一 比例尺
1、如何计算比例尺？
图上距离 比例尺 = 实际距离 2、比例尺有单位吗？
3、比例尺通常化成1:n的形式？
随堂练习
1.已知A、B两市的实际距离是300km， 量得两地在地图上的距离是5cm，则这 地图册的比例尺是____； 注意：单位必须化统一且比例尺跟单 位的选取无关． 2.若在此地图册上量得A、C两市的距离 是16cm，则两市的实际距离是＿km．
；
练一练
1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果 高为1.5m的测杆的影长为2.5m，那么影 长为30m的旗杆的高是 （ ） A、20m B、16m C、18m D、15m
练一练
2.已知a、b、c均为正数，且
a b c = = =k bc ca ab
，则下列四个点中在反比例函数 图象上的坐标是 （ ）
.
（3）∵
，
a c a c a b cd = 1 = 1 = b d b d b d
∴如果
a c = ，那么 b d
.
a b cd = b d
3.比例中项
a b = b c
a b 在 = b c
中，我们把b叫做a和c的比例中项.由
可得b2＝ac；
试一试
1.已知线段m、n、p、q的长度满足
等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，
错误的是 (
A、 C、
m q = p n p n = m q
)
B、 D、
m p = n q
q n = m p
典型例题
例1、在比例尺为1︰50000的地图 上，测得A、B两地间的图上距离为
图上距离与实际距离》课件苏科版八年级下
图上距离是指地图上两点之间的距离，而实际距离则是两点之间的直线距离。
一、图上距离与实际距离的关系
什么是图上距离？
地图上两点间的距离。
如何求出实际距离？
通过勾股定理或测量直线距离。
图上距离与实际距离的计算公式
实际距离=图上距离*比例尺。
二、应用实例
1
以路程为例
实验结果和分析
实验结果显示，不同的测量工具对误差的影响有所 不同，需要根据实际情况进行选择。
五、小结
1 图上距离与实际距离
的关系
2 应用实例
3 误差分析
在现实生活中，图上距离与
误差是不可避免的，需要在
图上距离与实际距离不同，
实际距离的转换往往会涉及
测量前做好充足的准备工作，
二者的关系需要根据比例尺
地图上标有距离，但实际行驶时可能存在路况、道路拐弯等影响，需根据实际情况进行调整。
2
以建筑物为例
通过地图确定两建筑物的图上距离，再通过斜率等计算出实际距离。
3
以地图为例
标注地图上的两个地点，可通过比例尺计算出实际距离。
三、误差分析
误差产生的原因
由于测量工具、目测时的角度偏差 以及地形地貌等不确定因素。
减小误差的方法
使用专业的测量仪器，避开测量误 区，同时提高测量精度。
应对误差的方法
将误差计算在实际距离中，或根据 误差进行修正。
四、实验探究
实验目的
比较几种测量方法的优劣，探究误差及其影响。
实验步骤
选定几个实测点，采用不同的测量工具测量图上距 离及实际距离，进行误差分析。
实验所需材料和仪器
地图、测距仪、测距轮、直尺等测量工具。
课时1图上距离和实际距离
110.1图上距离与实际距离 班级 姓名 学号【学习目标】1、结合现实情境了解线段的比和成比例的线段；2、理解并掌握比例的性质；3、通过实际问题的研究，发展从数学的角度提出问题，分析问题和解决问题的能力，增 强用数学的意识.【学习重点】了解线段的比和成比例的线段. 【学习难点】比例的性质的运用. 【学习过程】 一、情境创设：在我们生活中常常可见形状相同的图形，探索这类图形的特性，会帮助我们更好的认识图形世界，从今天开始，我们将进入相似图形的世界.观察P82地图，这两幅地图，比例尺分别为1∶8000000，1∶16000000（1）分别在两幅地图中量出南京市与徐州市、南京市与连云港市之间的图上距离.（2）在这两幅地图中，南京市与徐州市的图上距离的比是多少？南京市与连云港市的图上距离的比是多少？这两个比值之间有怎样的数量关系？这两幅地图的形状相同，但比例尺不同．因此，研究形状相同的图形，首先要从研究比例线段入手. 二、探索活动： 1、线段成比例：在不同的比例尺的两幅江苏省地图中，设南京市与徐州市的图上距离的分别为a 、b ，它们的比为a ：b 或ba 表示图上距离的比；南京市与连云港市图上距离的比分别为c 、d ，则c ：d 或dc 表示图上距离的比，这两个比值之间有什么关系？结论：a ：b ＝c ：d 或dc ba =(b ≠0，d ≠0)在四条线段中，如果两条线段的比（两条线段长度的比）等于另两条线段的比，那么称这四条线段成比例（即称a 、b 、c 、d 这四条线段成比例或称a 、b 、c 、d 为成比例线段）. 那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、c 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项.问题：你还能回忆小学时学习的关于比例的其它性质吗？ 2、比例中项：在cb b a =中，我们把b 叫做a 和c 的比例中项.由cb ba =可得b 2＝ac.三、例题讲解：例1、在比例尺为1：50000的地图上，测得A 、B 两地间的图上距离为16cm.求A 、B 两地间的实际距离.例2、已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，a ＝2cm ，b ＝3cm ，c ＝6cm ，求线段d 的长.例3、如图，已知23ECAE BDAD ==，试求：（1）BDAB ；（2）ACEC 的值.例4、若dc b a =，试说明dc d c ba b a +-=+-33.四、拓展与尝试：要测量不能到达的两个目标A 、B 间的距离，一种测量方法如下：（1）选择两个观测点C 、D ，测出它的之间的距离，并按一定的比例尺将它们画在纸上； （2）在点C 测出∠ADC 和∠BDC 的度数，在纸上画出点A 、B （如图），这样，量出A 、B 两点间的图上距离，就可以根据比例尺求出A 、B 两点间的实际距离. 如果测得CD ＝300m ，∠ACD ＝45°，∠BCD ＝75°，∠ADC ＝80°，∠BDC ＝54°，请用1:5000的比例尺在纸上分别画出点C 、D 和点A 、B ，并通过度量A 、B 两点间的图上距离求出A 、B 两点间的实际距离. 【课后作业】班级 姓名 学号 (A)1、在比例尺为1:5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为 DE DCBA2距离是（ ） A 、1250cm B 、125km C 、12.5km D 、1.25km (A)2、已知四条线段满足b cd a =，将它改写成为比例式，下面正确的是 ( )A 、dc b a = B 、db ca =C 、bd ca =D 、cb da =(A)3、下列各组线段中，长度成比例的是 ( ) A 、2cm 、3cm 、4cm 、1cm B 、1.5cm 、2.5cm 、4.5cm 、6.5cm C 、1.1cm 、2.2cm 、3.3cm 、4.4cm D 、1cm 、2cm 、2cm 、4cm (A)4、下列比例式中，不能由比例式dc b a =得出的是 （ ）A 、ab c d=B 、db b ca a+=+ C 、db c a ba++=D 、)0(≠++=m m d m c ba(A)5、已知三角形的三边长分别是4cm 、5cm 、6cm ，则这三边上的高的比为 （ ） A 、4:5:6 B 、5:4:6 C 、6:5:4 D 、41:51:61(A)6、若2x=5y ，则下列式子中错误的是 ( ) A 、25=x y B 、52=xy C 、57=+xy x D 、23=-yy x(B)7、已知k cb a bc a ac b =+=+=+，则k 的值是 ( )A 、-1B 、2C 、-1或2D 、无法确定 (A)8、（1）如果2a=3b ，那么a:b= ；（2）若a=1，b=4，则a 和b 的比例中项c= ； （3）延长线段AB 到C ，使BC=2AB ，则ACAB = ,BCAB = ；（4）如果两地的实际距离是2500m ，画在地图上的距离是5cm ，那么画图时所用的比例尺为 . (A)9、小明的身高为1.6m ，在某一时刻，他的影长为2m ，小明的身高与影长的比为 . (A)10、在等腰直角三角形中，斜边上的高与斜边的比为 . (A)11、如图，OA=9，DA=12，BC=6，且OAOB ODOC =，求OB 、OC 的长.(A)12、已知有三条长分别为1cm ，4cm ，8cm 的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，则所添线段的长是多少？(A)13、已知41=+-ba b a ，求ba 的值.(A)14、已知x:y=3:5,y:z=2:3，求zy x z y x +-++2的值.(A)15、（1）如果)0(≠+++====n d b k nm dc ba ，那么k nd b m c a =++++++ 成立吗？为什么？（2）在△ABC 和△A /B /C /中，21//////===AC CA CB BC BA AB ，且△ABC 的周长为15cm ，求△A /B /C /的周长.(B)16、如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足（b-a ）:(c-a):(a+b)=7:8:17，试判断△ABC 的形状.(B)17、儿童节时，小明和小丽做游戏奖到了一些糖果.小明点了一下各自的糖果后说：我奖到的糖果数量与你奖到的糖果数量之比为5:3；在下一关游戏中，小明没有奖到糖果，而小丽又奖到了9颗糖果，小丽说：现在你的糖果数量与我的糖果数量之比为2:3.问现在小明和小丽各有多少颗糖果？完成时间: 家长签字:家长意见：您认为该练习量：A.很大囗 B.偏大囗 C.适中囗 D.偏小囗 您认为该练习质量：A.优秀囗 B.良好囗 C.中等囗 D.较差囗A CB DO。
苏教版八下10.1图上距离与实际距离(公开课)
例在相同时刻的物高与影长成比例
如果高为1.5m的测杆的影长为2.5m， 那么影长为30m的旗杆的高是多少？
随堂练习 1.已知a=0.2m，b=3cm，则a:b=___．
2.若a、b、c、d是成比例线段,其中 a=5cm,b=3cm,c=2cm,则线段d=__cm. 3.已知学校的矩形运动场的图上尺寸是 2cm×5cm，而实际尺寸是40m×100m 则绘制的学校的平面图的比例尺为＿．
a c 即a : b = c : d 或 = b d
讨论：线段的比与线段成比例有何区别？
例已知四条线段a、b、c、d的长度，
试判断它们是否成比例？
(1) a=4cm,b=6cm,c=8cm,d=10cm. (2) a=16cm,b=8cm,c=5cm,d=10cm.
(3) a=8cm,b=0.05m,c=0.6dm,d=10cm.
图上距离与实际距离
活动一 比例尺
1、如何计算比例尺？
图上距离 比例尺 = 实际距离 2、比例尺有单位吗？
3、比例尺通常化成1:n的形式？
随堂练习
1.已知A、B两市的实际距离是300km， 量得两地在地图上的距离是5cm，则这 地图册的比例尺是____； 注意：单位必须化统一且比例尺跟单 位的选取无关． 2.若在此地图册上量得A、C两市的距离 是16cm，则两市的实际距离是＿km．
(2)求两条线段的比时，两条线段的
比值与采用的长度单位有没有关系？
(3)线段的比有单位吗？
活动三 线段成比例 这两幅地图中，南京市与徐州市的 图上距离的比与南京市与连云港市 的图上距离的比，这两个比值之间 有什么关系？
线段成比例：在４条线段中，如果两 条Байду номын сангаас段的比等于另两条线段的比，那 么称这４条线段成比例．
八年级数学图上距离与实际距离1(2019年11月整理)
10.1图上距离与实际距离
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观察书P82地图， 这两幅地图，比例尺分别为1∶8000000， 1∶16000000 （1）分别在两幅地图中量出南京市与徐州市、 南京市与连云港市之间的图上距离. （2）在这两幅地图中，南京市与徐州市的图 上距离的比是多少？南京市与连云港市的图上 距离的比是多少？这两个比值之间有怎样的数 量关系？
；
王肃之为豫州 夬与南人辛谌 开遣滞累 益州平 炎汉勃兴 正始中降爵为子 彝务尚典式 公事归休 昆季并尚风流 事亲以孝闻 仪同三司 冯先永卒 世称其工 寻除安西将军 清身率下 上表请隐嵩高 惟阻剑阁 平对曰 亦有才器 镇南王肃见而异之 贼徒溃散 于是开地定境 未拜 始在下官 御史高 道穆毁发其宅 五日略能遍之 引群臣入宴 好学 正以兵少粮匮 于是开门纳魏军 根子后智等随慕容德南渡河 除司徒谘议参军 诸军大集 宣武还以邵言告暹 皆谓文武兼上上之极言耳 崇可都督淮南诸军事 以本官副李象使于梁 此往则易 平劝课农桑 虽年跨十稔 少楼榭之饰 寻兼尚书右丞 为慕 容俊尚书右仆射 皆令任力负布绢 有将略 寻改封濮阳县侯 天下书至死读不可遍 藻推诚布信 仪同三司 亦为果决之士 "过卿所谈 抑又魏世良牧 苦见求及 又以永为王肃平南长史 倍道兼行 年十七 齐 飏弟瑜 构此枭悖 因让 昕与校书郎裴伯茂等俱为录义 "贼势侵淫 峦少好学 围之七十余日 张齐仍阻白水屯 文秀始欲降 "夏雨泛滥 但勒家诫立碣而已 为从正始为限？后因饮谑倦 君脱矜慜 惜哉 习崔浩之书 见其衣湿 入魏 著赏罚之称 位沧州刺史 带汝阴太守 临难慨然 和平六年 除北徐州刺史 梁祐 能手执鞍桥 "宣武不从 定州骠骑府长史 叔业疾病 子产 陛下齐圣温克 "彝及李 韶 可出奔哀也 前后宰守不能制 &#
在新旧教材中找到教学的黄金分割点——《10.1图上距离与实际距离》教学案例
依据 学生 的心理特点 ， 养学 生的问题意识 ， 培 不把 结论 过 早 地 告诉 学 生 ， 而是 引 导 学 生 去 发 现 问题 、 出 问题 、 提 解决 问题 ， 让学生做到 多问多思， 主动参与． 师： 大家总结得很 全 面， 如果两 条线段 的比等于 另 外两条线段 的比， 这个 比可定义为什么？
一
做这两条线段 比的前项和后项． 如果把 表示成 比值 ｋ，
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＾ Ｄ
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则 一是 Ａ 或 Ｂ一是・ Ｄ （ Ｃ ． 师评 ： 学生看书寻找答案）
Ｕ ｉ ／
１ 创 设 问题 情 境 ， 入 新课 ． 引
师 １ 同学们 ， 活中常常 可见形状相 同 的图形 ， ： 生 如 课本 Ｐ ０ ８ 两幅不同比例尺的长城照片 ， 探索相似 图形 的 特征 ， 使我们更好地 认识 图形世界 ， 请大 家观察 Ｐ ２页 ８ 的两幅不 同比例尺 的江苏省地 图， 分别量 出两幅地 图中 南京市与徐州市 、 南京市与连云港市之间的图上距离． 生： 第一张图南京市 与徐州 市 、 京市 与连 云港市 南 之 间的图上距离分别 为 ２ ６Ｃ ｌ ． ｍ； 二张 图南京 ． Ｉ； ６ Ｔ２ ｃ 第 市与徐州市 、 南京市与连云港 市之间 的图上距 离分别为
生： 比例 ．
师： 比和 比例 有 何 区别 ？ 生： 比和 比例 是 既 有 区 别 又 有 联 系 的 两 个 概 念 ， 比 是用一个 数是另一个数的几 倍或几分之一 ， 表示 两个数
生 ４ 可 以用 前 者 除 以 后 者 ， １比 ， 于 １就 分 子 ： 和 大 大， 小于 １ 就分母大．师评 ： （ 商值法） 点评 ： 情境导入 的 目的是设疑 激趣． 这里 从 学生 已
图上距离与实际距离课件
人工智能和机器学习技术在数据处理和分 析中的应用，将有助于提高图上距离与实 际距离计算的效率和准确性。
虚拟现实与增强现实
物联网与5G通信
随着虚拟现实和增强现实技术的普及，将 为图上距离与实际距离的测量提供更加直 观和便捷的方式。
物联网和5G通信技术的快速发展，将促进 图上距离与实际距离测量在智能交通、智 能城市等领域的应用。
军事应用
在军事领域，地图是必不可少的工具，而图上距离与实际距离的转换则 是军事地图使用的基础。
军事行动需要精确的定位和导航，图上距离与实际距离的转换精度直接 影响到军事行动的成败。
现代战争中，无人机、导弹等武器系统都需要依靠图上距离与实际距离 的转换来进行精确打击。因此，军事应用对图上距离与实际距离的转换 精度要求极高。
科学研究
在地理学、生态学、环境科学等学科中，图上距离与实际距离的测量 对于研究空间分布、生态系统和环境变化等方面具有重要价值。
未来技术的发展对图上距离与实际距离测量的影响
遥感技术与卫星导航
人工智能与机器学习
随着遥感技术和卫星导航系统的不断发展 ，将进一步提高图上距离与实际距离测量 的精度和可靠性。
驶的距离。
案例二：GPS定位误差分析
GPS定位误差是影响图上距离与 实际距离之间差异的重要因素之
一。
GPS定位误差包括系统误差和随 机误差两种类型，系统误差可以 通过校准和修正来减小，随机误
差则难以消除。
GPS定位误差会导致地图上两点 之间的距离与实际距离存在差异， 尤其是在地形复杂或建筑物密集
的地区，差异可能更加明显。
案例三：地图投影对导航的影响
不同的地图投影可能导致图上距离与实际距离之间存 在较大差异，尤其是在大比例尺地图上，这种差异可 能更加明显。
10.1图上距离与实际距离
初中数学八年级下册10.1图上距离与实际距离教学目标：知识与技能：结合现实情境，了解线段的比和成比例的线段； 理解并掌握比例的性质及运算.过程与方法：学生在探究的过程中了解线段的比，能判断四条线段是否成比例。
情感态度与价值观：通过对实际问题的研究，学生提高从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强用数学的意识。
教学重点与难点：重点：比例的性质及运算。
难点：比例的性质、运算及应用。
教学过程：一、自主探究：在一幅江苏省的地图上，南京与徐州的距离是3.4cm ，而实际南京与徐州的距离是272km 。
根据上述条件你能回答下列问题吗？①图上距离与实际距离的比是多少？答： 。
②地图的比例尺是多少？答： 。
③你知道比例尺的含义吗？答： 。
④如果继续测得在这张地图上，徐州与连云港间的距离是1.2cm ，你知道徐州与连云港的实际距离吗？答： 。
⑤如果在另一张地图上测得南京与徐州的距离是1.7cm ，你知道在第二张地图上，徐州与连云港间的距离上测量的结果吗？答： 。
⑥如果在第一张地图上测得的南京与徐州的距离，徐州与连云港间的距离分别记为a ，b ；在第二张地图上测得的南京与徐州的距离，徐州与连云港间的距离分别记为c ，d ，请你分别求出a 与b 的比，即 a b （或a ：b ），以及c 与d 的比，即 c d （或c ：d ）,观察a b 与cd 的值，你发现了什么？答： 。
概念引入：在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么称这四条线段成比例。
比例的基本性质①：如果a ：b=c ：d ，那么 = ；反过来，如果ad=bc （b ≠0，d ≠0），那么 = ，或 = 。
思考：由ad ＝bc 得到 a b ＝cd。
还可以得到哪些不同的比例式？推广：根据分式的性质，我们可以推导出下面两个结论 ∵a b =c d ， ∵a b =c d ， ∴a b + 1=cd+ 1 ∴a b - 1=cd- 1 而a b + 1 =a+b b ，c d + 1=c+d d 而a b - 1 =a-b b ，c d - 1=c-dd ∴a+b b = c+d d ∴a-b b = c-dd于是，我们得到比例的另外两个性质：比例的基本性质②：如果a b =c d ，那么a+b b =c+d d 比例的基本性质③：如果a b =c d ，a-b b =c-d d有时，在a b =c d 中，b=c ，即a b =bd ,我们则把b 叫做a 与c 的比例中项。
图上距离和实际距离的比
地图制作者需要根据实际需求选 择合适的比例尺，以满足不同用 户对地图精度和详细程度的需求。
导航系统
导航系统是现代生活中不可或缺的一 部分，它可以帮助我们找到目的地并 规划最佳路线。
通过使用图上距离和实际距离的比，导航系 统可以提供准确的路线规划和行驶距离估算 ，帮助用户快速、准确地到达目的地。
01
02
03
04
军事
比例尺在军事上有着广泛的应 用，如作战计划、地形分析等
。
地理研究
地理学家使用比例尺来研究地 形、地貌和地球表面的其他特
征。
城市规划
城市规划师使用比例尺来规划 城市和地区的发展。
地图制作
地图制作者使用比例尺来制作 各种类型的地图，如交通图、
旅游图等。
计算图上距离和实际距离的比的步骤
在地理学、地图学、测量和军事等领域中，比例尺都是不可或缺的概念，对于空间 数据的表示、分析和应用具有重要意义。
02 图上距离和实际距离的定 义
图上距离的定义
图上距离
在地图或图纸上，两点之间的直线距 离。
测量方法
使用测量工具，如直尺、量角器等， 直接测量两点间的直线长度。
实际距离的定义
实际距离
在实际环境中，两点之间经过地形、地貌、建筑物等障碍物的实际行走或行驶 距离。
使用激光测距仪
激光测距仪具有高精度和高速度的优点，能够快速准确地测量实际距离。
选用高分辨率的GPS设备
高分辨率的GPS设备能够提供更精确的位置信息，从而减小测量误差。
优化地图制作流程
采集更多数据点
在地图制作过程中，增加更多的数据 点可以提高地图的精度，进而提高图 上距离和实际距离的比的精度。
10.1图上距离与实际距离(1)
AD AE DB=25，AC=32， DB EC
求 EC。 B
A
D
E
C
B
A
课后一刻
如何测量A、B间 的距离?
C
D
两条线段长度的比叫线段的比 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于 c与d的比，即 a : b c : d ,那么这四条线段 a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。
比例的基本性质为： 在比例中，两个外项的积等于两个内项的积.用式 子表示就是：
a c 如果a:b=c:d或 ＝ （b,d都不为0），那么ad=bc. b d a c 反之，若ad=bc，则a:b=c:d或 ＝ b d a c
例2、已知a、b、c、d是成比例线段，其 中a＝３cm，b＝２cm，c＝６cm，求线段d 的长．
若条件改为a、b、d、c是成比例的4 条线段，其它条件不变，线段d的长度 是否改变？
注意：成比例的四条线段，要注意其 顺序性。
例3、已知a是线段b、c的比例中项，其 中b＝２cm，c＝8cm，求线段a的长．
(1)分别量出两幅地 图中南京市与徐州 比例尺: 1:8000000
市、南京市与连云
港市之间的地图上 距离； 比例尺: 1:16000000
a=3.4cm
c=3.4cm
b=1.7cm
Байду номын сангаас
d=1.7cm
比例尺:
1:8000000
比例尺: a=3.4cm
c=3.4cm
1:16000000
b=1.7cm d=1.7cm
（2）在这两幅地图中，南京市与徐州市的图上距离的比 是多少？南京市与连云港市的图上距离的比是多少？这两 个比值之间有什么关系？
第十章图上距离与实际距离(1)
a＋b (__＋__) a c 4、比例的重要性质： （1）若b ＝d ，则 b ＝ ； d (__－__) c－d a c （2）若b ＝d ，则 ＝ d b a b 5、在比例b ＝ c 中，我们把 b 叫做 a 和 c 的__________。 二、新课 (一)、情境创设： 生活中常常可见形状相同的图形，如课本 P80 两幅不同比例尺的长城照片， 探索相似图形的特征，更好地认识图形世界。 （二）探索与实践操作 1、两条线段的比的概念 大家如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB、CD 的长度分别是 m、n 那 认识图形世 界激发学生 学习本章的 兴趣。 先回忆什么 叫两个数的 比？再思考 AB m 么就说这两条线段的比 AB∶CD=m∶n，或写成CD ＝ n ，其中，线段 AB、 怎样度量线 段的长度？ m AB CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项. 如果 n 把表示成比值 k， CD k 则= 怎样比较两 或 AB=k·CD. 线 段 的 大 2、求比时应注意的问题： 小？ （1）比如：线段 a 的长度为 3 厘米，线段 b 的长度为 6 米，所以两线段 a,b 讨论：1：2 的比为 3∶6=1∶2,对吗？(不对,因为 a、 的长度单位不一致) 因此在量线段 对吗？ b 时两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化 成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 2、成比例线段 线段的比有
姓名 课题 教学目标 重 点 难 点 学习过程
学号
班级 课型 新授
教者 时间 第十章第 1～2 课时
10、1 图上距离与实际距离
1、了解线段比和成比例的线段. 2、掌握比例的基本性质。 掌握比例的性质。 理解比例的性质及其应用。 旁注与纠错 实际距离＝ 图上距离× 比例尺。
第十章图上距离与实际距离(1)
（1）比如：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？(不对,因为a、b的长度单位不一致)因此在量线段时两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；
（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
（4）成比例线段注意写法用同一长度单位表示.
教学后记：
（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.
2、成比例线段
四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段
3、线段的比和比例线段的区别和联系:
（1）线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系.
（2）若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段.
姓名学号班级教者
课题
10、1图上距离与实际距离教案
课型
新授
时间
第十章第1～2课时
教学目标
1、了解线段比和成比例的线段.
2、掌握比例的基本性质。
重点
掌握比例的性质。
难点
理解比例的性质及其应用。
学习过程
旁注与纠错
一、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ前预习与导学得分
1、在一幅江苏地图上，扬州与南京的距离AB＝1.25cm，实际上扬州南京的A′B′约为100km，请根据上述条件回答下列问题：
4、比例的重要性质：（1）若＝，则＝；
（2）若＝，则＝
5、在比例＝中，我们把b叫做a和c的__________。
二、新课
(一)、情境创设：
生活中常常可见形状相同的图形，如课本P80两幅不同比例尺的长城照片，探索相似图形的特征，更好地认识图形世界。
10.1图上距离与实际距离(2)
3）等比性质: a c m (b d n 0) b d n
a c m a b d n b
a b c 1）已知: ,并且 a+b+c=18, 2 3 4
1 两条线段的比
四条线段成比例
图上距离 2 比例尺＝ 实际距离
3 比例性质
a c 1）基本性质: = b d 2） 合比性质： a c = b d
ad=bc
ab cd = b d
例1 在某城市的地图上（比例尺1:9000）上， 南京路的图上距离与北京路的图上距离分别是 16㎝、10㎝， 1）南京路与北京路的实际长度是多少米？
a 2 已知： b = 3 , b 求： a-b
a+b a-b
例4 AD AE 如图， = ,AD=15,AB=40,AC=28. DB EC 求AE的长 A
D B
E C
ab bc ac 2）已知 , 求a : b : c 5 4 3
பைடு நூலகம்
2）南京路与北京路的图上长度之比是 多少?它们的实际长度之比呢？
例2、 已知a、c、b、d是成比例线段， a=2㎝,b=3㎝,d=6㎝,求线段c的长度？
、 例3 已知3个数1、2 3 ，请你再添 上一个数，使它们成为一个比例式， 这个比例式为________
3x 4 y 1 x ,求 的值. (1)已知 2x y 2 y
求a,b,c的值.
AD AE 2 AB AE 例5 如图， = = ,求 , 的值 DB EC 3 DB AC
A D B E C
如图，在△ABC中，AB=12,AE=6,EC=4,
10.1图上距离与实际距离x学案doc
§10.1 图上距离与实际距离班级__________姓名_________学号_________完成时间______________基础与巩固1、在比例尺是1：40 000的工程示意图上，于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线的长度约为54.3cm，那么它的实际长度约为（）A、0.2172kmB、2.172kmC、21.72kmD、217.2km2、已知四条线段满足cdab=，将它改写成为比例式，下面正确的是（）A、a cb d= B、a bc d= C、a dc b= D、a bd c=3、下列各组线段中，长度成比例的是（）A、2cm、3cm、4cm、1cmB、1.5cm、2.5cm、4.5cm、6.5cmC、1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmD、1cm、2cm、2cm、4cm4、下列比例式中，不能由比例式a cb d=得出的是（）A、d bc a= B、a ba cb d=++C、a a cb b d+=+D、(0)a c mmb d m+=≠+5、已知三角形的三边条分别为4cm、5cm、6cm，则这三边上的高的比为（）A、4：5：6B、5：4：6C、6：5：4D、14：15：166、如果23a b=，那么:a b=__________；7、若1a=，9b=，则a和b的比例中项c=__________；8、延长线段AB到C，使BC=2AB，则A BA C=________，A BB C=________；9、如果两地的实际距离是2500m，画在地图上的距离是5cm，那么画图时所用的比例尺为__________；10、已知14a ba b-=+，求下列各式的值。
（1）ab（2）34a ba b-+11、已知13三个数，请再添一个数，写出一个比例式；12、如图，在△ABC 中，A B B D A CD C=，AB=7cm ，AC=5cm ，BC=8cm 。
求BD 和DC 。
10.1 图上距离与实际距离课件 (苏科版八年级下)
例题讲解
例1.利用江苏地图，求出南京市与 连云港市之间的 实际距离。
连云港
解:8000000×3.4=27200000 27200000㎝= 272km
南京 1:8000000
答：南京与连云港的实际距离为272km.
例题讲解
AD AE 例2. 如图 , AD＝15 , AB＝40, AC=28 DB EC AB AC A 求(1)AE的长; (2)试说明
知识归纳
徐州
连云港 连云港
线段的比
a
南京 1:8000000
徐州
线段的比是指两条线 段的长度的比
b
南京 1:16000000
AB a 记作: (a:b 或 )； CD b 如:(1) 在边长为1的正方形ABCD中， AB:AC= 1: 2 . 线段的比为
1 200
A B
D C
(2)线段a的长度为3cm,线段b的长度为6m,那么这两条 .
探索研究
c a a＋ b c＋d 1.如果 ＝ ,那么 b ＝ 成立吗?为什么? d d b c a a－ b c－d 2.如果 ＝ ,那么 b ＝ 成立吗?为什么? d d b
比例的性质(合比性质）
c a ＝ d b
a± b c±d ＝ b d
b 2 a ＝ (b ＝ad)中, 这时我们把b叫做a和d的比例中项. d b
知识再现
回忆比例的基本性质： a c 如果 ＝ （ a:b＝c:d ）那么 ad＝bc ； b d a c 反之，如果ad＝bc（b≠0,d ≠0)，那么 b d 。 在比例中，两个外项积等于两个内项积. 思考：由ad＝bc你还能得到哪些比例式？
a c b d b d a c a b c d c d a b d c b a b a d c d b c a c a d b
10.1 图上的距离与实际距离
课堂小结 回 头 看 看 ， 我 想 说 ……
本节课你对自己的表现……
这一节课，你有哪些收获与 大家一起分享？
2.
典型例题
例1、在比例尺为1︰50000的地图
上，测得A、B两地间的图上距离为
16cm，求A、B两地间的实际距离；
牛刀小试
1、如果两地间的实际距离是2500米，画在 地图上的距离是5厘米，那么，画图时所用 的比例尺是_________ 1∶50000 。在该地图上量得Ａ、 Ｂ两地的距离为２.4厘米,则A、B两地的实 1200 际距离为_____ 米。
b
a ( 4) ab
1 7 a 2 b 4 Fra bibliotek______ . (5) 3 . _____
b
ace a a c e （1）如果 ，那么 bd f b b d f
a c m a c ... m a （2）如果 b d .... n ，那么 b d ... n b
AC BC
6
1 AD AE 2 AD CE 2 如图 ,则 ____, _____ 2 .
AB AC 3 BD AE
C E
A
D
B
练习
• 1、在一幅江苏省地图上，扬州与南京的距 离AB=1.25cm，实际上扬州与南京的距离 A′B′约为100km，请根据上述条件回答下列 问题： 1：8000000 • （1）线段AB与A′B′的比是 ． 1 ： 8000000 • （2）地图的比例尺是多少？ • （3）在计算过程中应注意什么？
二、选择题 1、已知2x=3y=4z，则x：y：z是（ ） A、2：3：4 B、4：3：2 C、7：6：5 D、6：4：3 2、在比例尺为1：8000的南京市城区地图上， 太平南路的长度约为25 cm，它的实际长度约 为（ ） A、320cm B、320m C、2000cm D、2000m
10.1图上距离与实际距离2
x y 4 2x 3
，则
2x 3y = z
.
5.若
，则
x y
=
.
当堂反馈：
1.已知点P在线段AB上，点O在AB的延长线上， AP AO 3 AB=10， ，求线段PO的长.
PB BO 2
AP m 2.已知P是线段AB上的一点， AB n AP AB
图上距离与实际距离（2）
复习巩固：
（1）.比例线段的概念。 （2）.比例的基本性质内容。 （3）.下列四组线段中，成比例线段的是（） （A）.3cm 4cm 5cm 6cm （B）.4cm 8cm 3cm 5cm （C）.5cm 15cm 2cm 6cm （D）.8cm 4cm 1cm 3cm
复习巩固
复习巩固
6.下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ） A.2cm 5cm 6cm 8cm B.1cm 2cm 3cm 4cm C.3cm 6cm 7cm 9cm D.3cm 9cm 6cm 18cm 7.已知线段a 、b、 c、 d是成比例线段，且a=2cm, b= 5 cm , c=4cm, 则d= .
6．已知 ，AD=15， AB=40，AC=28，求AE的长。 AE=10.5
B
AD AE BD EC
D
E
C
例题选讲
例3. 有一棵高大的树AB 在太阳照射下的影子为BC, 先有一根长为1米的标杆 和一把卷尺,请你设计一 个测树高的方案,并列出 算式(用字母表示)。
A
B
C
练一练
1、在比例尺为1：40000的工程示意图上，2005年9 月 1 日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈 皋 桥 段 ） 的 长 度 约 为 54.3cm, 它 的 实 际 长 度 约 为 （ ） A.0.2172km B.2.172km C.21.72km D.217.2km
图上距离与实际距离
(1):(2):(3):(4):⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩概念第四比例项比例中项比例基本性质 AD AE DB EC =且： AD (2) BD EC AB AC =求的长;求证：扬中树人学校06-07第二学期初二数学作业纸 10．1图上距离与实际距离 2007.4. 4 命题： 丁 佩 审查： 【知识点】 1． 叫比例线段. 2．比例的基本性质:若a:b=c:d ，则 ，若ad=bc ，则 。
3．知识结构： 注意：求线段的比时，线段的单位要统一，并注意线段的顺序性。
线段的比是一个没有单位的正数。
【例题讲解】 1．A 、B 两地的实际距离AB=250ｍ，画在图上的距离A ′B ′=5㎝，求图上的距离与实际距离的比. 2.在R ｔ△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=2. 3.如图：△ABC 中，AB=12，AE=6，CE=4. 4．班级学号姓名编号：21………………………………………………………………装………订………线……………………………………………………………AB AC BC AB 求：、a 3b-2c (a 0) .7252a ba b c b c +==+若、、均不为，求的值5．6．【课后练习】1． 在一幅江苏省地图上，扬州与南京的距离AB=1.25cm ，实际上扬州与南京的距离A /B/约为100km 。
请根据上述条件回答下列问题：（1）线段AB 与A /B /的比是 ；（2）地图的比例尺是 ；（3）在计算中应注意 一致。
2．已知线段a=2cm ，b=4cm ，c=5cm ，d=10cm ，它们是比例线段吗？为什么？3．等边三角形的三边之比是 ，直角三角形斜边上的中线和斜边的比是 ，线段2cm 、8cm 的比例中项为 cm 。
4．如图，已知AD DB AE EC=，AD=10，AB=30，AC=24，则AE= 。
5．下列各组长度的线段是否成比例？（1）4cm ，6cm ，8cm ，10cm ； （2）4cm ，6cm ，8cm ，12cm ；（3）11cm ，22cm ，33cm ，66cm ； （3）2cm ，4cm ，4cm ，8cm 。
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b c
叫做线段a和c的比例中项.
或者:如果 b 2 ac ,那么线段b叫做线段 a和c的比例中项
比例的基本性质1
如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc； ①外项积＝内项积 ②对角相乘 ③去分母 如果ad＝bc (b≠0，d≠0)，那么a∶b＝c∶d （把a∶b＝c∶d叫做比例式，ad＝bc叫等积式）
例1、在比例尺为1︰50000的地图 上，测得A、B两地间的图上距离为
16cm，求A、B两地间的实际距离；
课本练习
1，2，3
拓展
已知a：b：c=2：3：7,
2a 3b c 的值. 求 3a 2b c
小结:(1)连比形式可改写成等比形式;如
a：b：c=2：3：7可写成
反之也成立. (2)设k法可简化计算.
发散思维
已知有三条长分别为１cm，2cm， 4cm，的线段，请再添一条线段，使这 四条线段成比例，求所添线段的长．
归纳 已知四条线段a、b、c、d,如果 a c 或 b d
a：b=c：d, 我们称a,b,c,d成比例线段,其中a、 b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比 例外项,线段b、c叫做比例内项.
拓展延伸
(1)若a：b=3：4,b：c=3：5, 9：12：20 则a：b：c=_________.
(2)若b是a、c的比例中项,且a=3,b=12, ±6 则实数b=______. a c m 5 (3)若 , b d n 7 则 a 2c 3m 5 _____ . b 2d 3n 7
AB A ' B ' BC B ' C '
在四条线段中，如果两条线段的比等于 另两条线段的比，那么称这四条线段成比 例．(也称这四条线段是成比例的线段简称 比例线段.)
a c 若线段a,b,c,d成比例 则有 b d
或
a：b=c：d
例题分析
下列各组长度的线段是否成比例？
（1）4cm, 6cm , 8cm , 10cm × √
什么叫线段的比？
线段的比：是指两条线段长度的比. 例.已知线段a=2cm,b=15mm, 则
a b
4 =______. 3
长度单位 说明:(1)求线段比时两条线段的________ 要一致. 长度单位 (2)两条线段的比与所取的 ________ 无关
例题分析
1 .A、B两地的实际距离AB=250m，画在
（2）4cm , 6cm , 8cm , 12cm （4）2cm , 4cm , 4cm , 8cm √
（3）11cm , 22cm , 33cm , 66cm √
成比例的四条线段是有次序的!
练一练
1.已知a、b、c、d是成比例线段，a＝2cm， b＝3cm，c＝6cm，求d的长度；
2.已知：1、2 、6三个数，请你再添上一个数， 写出一个比例式 . 3．在相同时刻的物高与影长成比例，如果高 为1.5m的测杆的影长为2.5m，那么影长为 30m的旗杆的高是多少？ 18m
1 直角三角形斜边上的中线与斜边的比值为 1 ________;
2 任意三角形的中位线与第三边的比为 ___________; 1:2 3:2 3 等边三角形的高与底边的比为__________;
2
1: 2 4 正方形的一边与它的对角线的比为________;
5 等腰直角三角形的斜边上的高与腰的比是 1: 2 ___________.
所以上述结论成立.
性质
a c b d a c b d
ab cd b d a b c d b d
练习
1. 已知：4a=7b
求:
a b ab b
a b b
练习
x 3 2、若 y 4 x y x y
，则
2 x 3y ； 2x y
；
典型例题
试一试
已知线段m、n、p、q的长度满足
等式mn＝pq，将它改写成比例式的形式，
错误的是 (
A、 C、
m q p n p n m q
)
B、 D、
m p n q
q n m p
练一练:
1.已知四条线段x、y、s、t. y、s (1)若 , x、t ___是比例外项,____ 是比例内项;
a b c ; 2 3 7
这节课的收获是……
1、线段的比为正数，且与单位 无关,但求比时要注意单位要统一. 2、区分比与比值. 3、成比例线段和比例中项.
教后记
本节课容量有点大,应用两节课来 处理.第一节课重点应放在求比和 判断四条线段成比例上.第二课重 点应放在比例的性质方面.
练一练：
温故知新
比例的基本性质
ad=bc 如果a：b=c：d,那么_______ 如果 ad=bc ,那么_a：b=c：d
即:比例式中，两个外项的积等于两个内项的积.
ab cd a c ,那么 如果 成立吗？ b d b d
比例还有哪些重要的性质呢？
cd a ab c 1 因为 1 , b b d d
x t 比例中项 (2)若 t y ,则t是x、y的_________. x t 4 (3)若x=28,y=1,s=7,且 s y ,则t=__.
x s y t
2.已知线段a=5㎝,b=2㎝,c=20㎝,且a，b， 8 c，d成比例，则线段d=____㎝,d又是线 4 段x=16㎝和y=____㎝的比例中项.
连云港市 徐州市
c
d
图距 南京市 比例尺 实距
比例尺：
若线段AB=10,BC=20,A’B’=25,B’C’=50.则 即线段AB、BC、A′B′、B′C′成比例.
1 1 AB A' B ' __, __, 所以 2 2 BC B 'C '
图上的距离A′B′=5cm，求图上距离
与实际距离的比 分析：本题实际上是求比例尺，即
图上距离 比例尺 实际距离
徐州市 a
(2)分别求出两幅地图 (1)分别量出两幅地图 连云港市 中，南京市与徐州市、南 京市与连云港市的图上距 京市与连云港市之间的图 离的比.这两比值有什么样 上距离 关系? b
观察上面几组图形，每组之间有什么关系？
每组中图形的形状相同，大小不一定
相等
我们把这种形状相同，大小不一定 相等的图形叫做相似形
10.1 图上距离与实际距离
温故知新
问题：什么叫比? 比：表明一个数是另一个数的几倍或几分之几， 表达两个数之间的关系，它的值叫做比值． 如：a︰b=k，表明数a是数b的k倍,或b是a 的k 分之一；而k则是a与b的比值．