福州八中高三第四次质检考试理科数学试题及答案

2013.12.16
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若复数ai
i a i a z ++--=13)2(2007
为纯虚数，则的值为
A ．i
B ．1
C ．-1
D ．-i
2. 若0.3
2
12
1,0.3,log 2,,,2a b c a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则的大小关系为
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c b a >>
D ．b a c >>
3. 若实数a ，b ，c ，满足对任意实数x ，y 有 x ＋2y －3≤ax ＋
by ＋c ≤x ＋2y ＋3，则a ＋2b －3c 的最小值为
A.－6 B .－4 C. －2 D. 0
4. 由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 A ．72
B ．60
C ．48
D ．12
5.若圆04222=+-+y x y x 与直线02=+-a y x 相离，则实数a 的取值范围是 A.a >8或a <－2
B.－2<a <8
C.a >0或a <－10
D.－10<a <0
6.已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量
*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是
A ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列
B ．若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列
C ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若*n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列
7.已知椭圆22
:14
x y E m +=，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E
截得的弦长与:1l y kx =+被椭圆E 截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．20kx y +-= B ．0kx y k +-= C ．10kx y --=
D ． 0kx y k ++=
8.若O 是平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，且满足()OP OC CB CA λ=++(R λ∈)，则P 点的轨迹一定过△ABC 的 A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂
心
9.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22
221(0,0)x y m n m n -=>>有相同的焦点(,0)c -和(,0)c .若c 是,a m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中
项，则椭圆的离心率是
A ．1
2
B ．14
C D ．
3
10.锐角三角形ABC 中，若2A B =，则下列叙述正确的是
①sin3sin 2B C =; ②3tan tan 122B C =; ③64B ππ<<; ④a
b
∈.
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．④①
二、填空题：5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应
的位置上.
11.设1)n 的展开式中各项系数之和为A ，各项的二项式系数
之和为B ，如A+B=272，则展开式中含x 项的系数为 .
12.已知函数001
1()sin ,[0,],cos ([0,])33
f x x x x x x ππ=-∈=∈，给出下面四个命题：①()f x 的最大值为0()f x ；②()f x 的最小值为0()f x ；③()f x 在0[0,]x 上是减函数；④()f x 在0[,]x π]上是减函数.其中真命题的序号是 ．
13. 如果有穷数列
,
)(,,,21为正整数n a a a n 满足条件
1121,,,a a a a a a n n n ===- ，即),,2,1(1n k a a k n k ==+-，我们称其为“对称数
列”. 设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中4321,,,b b b b 是等差数列，且21=b ，1642=+b b ，依次写出{}n b 的每一项______.
14. 若函数)()(R x x f y ∈=满足)()2(x f x f =+，且
]
1,1[-∈x 时，
)(,)(x g y x x f ==是偶函数，且0>x ，x x g 3log )(=，则函数)(x f y =图
像与函数)(x g y =图像的交点个数为 .
15. 如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A 、B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3,,,n .利用这两组同心圆可以画出以A 、B 为焦点的双曲线，若其中经过点M 、N 、P 的双曲线的离心率分别记为,,M N P e e e ，则它们的大小关系是 ________ （用“<”连接）.
三、解答题：本大题六个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分13分）
已知a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），a 与b 之间有关系|k a +b |=3|a －k b |，(k ≥2).
（1）用k 表示a ·b ;
（2）求a ·b 的最小值，并求此时a ·b 的夹角的余弦值. 17. （本小题满分13分）
已知实数a 满足1＜a ≤2，设函数f (x )＝1
3x 3－
12
a +x 2＋ax ．
(Ⅰ) 当a ＝2时，求f (x )的极小值；
(Ⅱ) 若函数g (x )＝4x 3＋3bx 2－6(b ＋2)x (b ∈R) 的极小值点与
f (x )的极小值点相同，求证：
g (x )的极大值小于等于10．
18.（本小题满分13分） 设函数()cos(2)cos 2,.3
f x x x x R π
=--∈
(Ⅰ)求()f x 在(0,)2
π
上的值域；
(Ⅱ)记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若
()1,3,f A a b c ===求的值.
19.（本小题满分13分）
已知函数()2f x x mx n =++的图像过点()13，，且()()11f x f x -+=--对任意实数都成立，函数()y g x =与()y f x =的图像关于原点对称.
(Ⅰ)求()f x 与()g x 的解析式；
(Ⅱ)若2
()()()x F x e g x f x x λ⎡⎤=-+⎣⎦在[-2，0]上是增函数，
求实数λ的取值范围.
20.（本小题满分14分）
设首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 7
＝－2，S 5＝30．
(Ⅰ) 求a 1及d ； (Ⅱ) 若数列{b n }满足a n ＝
1232
23n
b b b nb n +++
+ (n ∈N*)，求数列
{b n }的通项公式，并b n 的最大值．
21. （本小题满分14分）
已知直线l 1：x ＝my 与抛物线C ：y 2
＝4x 交于O (坐标原
点
)
，
A 两点，直
x
y O B
A
D
B 1 A 1
D 1
福州八中2013—2014高三毕业班第四次质量检查
数学(理)试卷参考答案及评分标准
三、解答题：
16. （本小题满分13分）解：（1）要求用k 表示a ·b ，而已知|ka+b|=3|a －kb|，故采用两边平方，得 |ka+b|2=(3|a －kb|)2
k 2a 2+b 2+2ka ·b=3(a 2+k 2b 2－2ka ·b) ∴8k ·a ·b=(3－k 2)a 2+(3k 2－1)b 2
a ·
b =
2
2
2
2
(3)(31)8k a k b
k
-+-…………………………3分
∵a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，
∴a 2=1， b 2=1，…………………………………………4分
∴a ·b =k
k k 813322-+-=k k 41
2+………………………………6分
（2）∵当k ≥2时，函数21
()4k f k k
+=为增函数
∴a ·b 的最小值为
8
52412)2(2=⋅+=f ，…………………………………………9分
又∵a ·b =| a|·|b |·cos<a ，b>，|a|=|b|=1
∴58
=1×1×cos<a ，b> ………………………11分
∴cos<a ，b>=
5
8
，此时a 与b 的夹角余弦值为
5
8
. ……………………13分
所
以， f (x )的极小值为 f (2)＝
23
．………………………………………………6分
(Ⅱ) 解：f ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＋a ＝(x －1)(x －a )．…………………………7分
由于a ＞1，
所以f (x )的极小值点x ＝a ，则g (x )的极小值点也为x ＝a ． 而g ′ (x )＝12x 2＋6bx －6(b ＋2)＝6(x －1)(2x ＋b ＋2)， ……………………8分
所以22
b a +=-
，
即b ＝－2(a ＋1)． …………………………………………10分
又因为1＜a ≤2，
所以，g (x )极大值＝g (1)＝4＋3b －6(b ＋2) ＝－3b －8＝6a －2≤10．
故g (x )的极大值小于等于10． …………………………13分
18. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)x x x f 2cos )3
2cos()(--=π
x x x 2cos 3
sin
2sin 3
cos 2cos -+=π
π
x x 2cos 2
1
2sin 23-=
)6
2sin(π
-
=x . ………………………………4分
)2,0(π∈x ，)6
5,6(62π
ππ-∈-∴x ，
]1,21()62sin(-∈-∴πx ，即)(x f 在(0,2
π）的值域为]1,21
(- . ………
6分
(Ⅱ)由（I ）可知，)6
2sin()(π
-=A A f ，
1)6
2sin(=-∴π
A ， …………
………….7分
π<<A 0 ， 6
116
26
π
π
π
<
-
<-
∴A ， 3
,2
6
2π
π
π
=
=
-
∴A A . …………
…………9分
A bc c b a cos 2222-+= ， ……………
………11分
把3a b ==代入，得到2320c c -+=，
1
=∴c 或2=c . ……………………13分
19.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题意知：m=2，n=0， ∴2()2f x x x =+ ………………………………2分
设函数()y f x =图象上的任意一点()00Q x y ，关于原点的对称点为P(x ，y), 则00x x y y =-=-，，……………………………………4分
因为点()()00Q x y y f x =，在的图像上， ∴222,2y x x y x x -=-=-+
∴2()2g x x x =-+……………………………………………………6分
(Ⅱ) x x x e x F x 2)2()(2⋅-+-=λ
∵()F x 在[]2,0-是增函数，即2()(2)20x F x e x λ'=-+-≥在[]2,0-恒成立.
亦即22(2)x e x λ≤-+在[]2,0-上恒成立. 即2
min 2(2)x e x λ⎡⎤≤-+⎣⎦在
[]2,0-恒成立. ………………8分
令2()(2)x h x e x =-+，而2()(22)x h x e x x '=--+……………………10分 当[]2,0-时，2220x x --+>，从而2()(22)0x h x e x x '=--+> ∴
h(x)
在
[]
2,0-为增函数，所以
[]2min 2
()(2)h x h e
=-=-
…………………12分 故
2
1e λ≤-
，实
数
λ的取值范围是
21,e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
. ………………13分 20.（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：由题意可知
1154530,262,
a d a d ⨯+
=+=-⎧
⎪⎨
⎪⎩得 ……………………3分
110,
2.
a d ==-⎧⎨
⎩ ………………………………………………5分
b n ＝－6n+30－
14
n 14306n n ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭,由
n ∈N*知，当n ≥2时，
14306n b n n ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭为递减数列，又
b 1＝10，2143012112b ⎛⎫
=-+
= ⎪⎝
⎭
，所以，b n 的最大值是11.…14分
21. （本小题满分14分）(Ⅰ) 解: 设B (x 1，y 1)， D (x 2，y 2)， 由2
,
4,
x my m y x =+=⎧⎨
⎩ 得2440y my m --=，
由Δ0>，得1m <-或0m >，
且y 1＋y 2＝4m ， y 1y 2＝－4m ．………………………………2分
又由2
,4,
x my y x ==⎧⎨⎩ 得y 2
－4my ＝0， 所以y ＝0或4m ．故A (4m 2，4m )．………………………………4分
由 | BD |＝2 | OA |，得
(1＋m 2)(y 1－y 2)2＝4 (16m 4＋16m 2)， 而 (y 1－y 2)2＝16m 2＋16m ， 故m
＝
13
． …………………………………………………… 6分 (Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得，
x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2m ＝4m 2＋2m ． 所以212
2
S S ＝
22242
2
121244()()
m m x x y y ⋅+-
＝
224
2228(42)(44)
m m m m m m ++＝
3
2
4(1)(21)
m m m ++＝2
411(1)(2)
m m +
+
． (9)
高三数学（理）第四次质检考试答案 第3页 共4页
分
＝t，
令1
m。