2024八年级数学下册第19章四边形19-3矩形菱形正方形1矩形新版沪科版

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求：(1)对角线的长； 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC=BD， OA=OC=OB=OD. 又∵∠ BOC=120°，∴∠ AOB=60° . ∴△ AOB 是等边三角形 ，∴ OA=AB=6. ∴ BD=AC=2OA=2×6=12.
有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 .
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求证：
知1－练
(1) △ BDE ≌△ FAE；
证明： ∵ AF ∥ BC，∴∠ AFE= ∠ DBE. ∵ E 是线段 AD 的中点，∴ AE=DE， 又∵∠ AEF= ∠ DEB，∴△ BDE ≌△ FAE(AAS) .
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(2) 四边形 ADCF 为矩形．
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证明： ∵△ BDE ≌△ FAE，∴ AF=BD， ∵ D 是线段 BC 的中点， ∴ BD=CD，∴ AF=CD， 又∵ AF ∥ CD，∴四边形 ADCF 是平行四边形， ∵ AB=AC， D 是 BC 的中点，∴ AD ⊥ BC， ∴∠ ADC=90°，∴平行四边形 ADCF 为矩形．
2. 此性质与“直角三角形中 30°角所对的直角边
等于斜边的一半” 都是解决线段倍分关系的重
要依据，但后者只在含30°角的直角三角形中才
成立，而 “直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半”适用于所有直角三角形，更具一般性 .
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知2－讲
说明： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是 根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的 . 将矩形 沿某条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半的模型 .
对角线的关系
=
1 2
×180°
=90°，
知3－练
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∴∠ BGC=90° . 同理可得∠ AFB= ∠ AED=90°， ∴∠ GFE= ∠ FEH= ∠ FGH=90°， ∴四边形 EFGH 是矩形.
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矩形
边的性质
定义
角的性质
性质 矩形
判定
边的关系 角的关系
对角线的性质 直角三角形斜边 上的中线的性质
边AC 的中点， E 为 BD 上一点， F 为 CE 的中
点．若 AE=AD，DF=2，则 BD 的长为(
)
A. 2 2
B. 3
C.2 3
D. 4
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解题秘方：本题考查直角三角线斜边上的中线的 性质、三角形的中位线，解答本题的 关键是求出 AD 的长．
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解： ∵ D 为斜边 AC 的中点， F 为 CE 的中点， DF=2，∴ AE=2DF=4. ∵ AE=AD，∴ AD=4. 在 Rt △ ABC 中， D 为斜边 AC 的中点，
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特别提醒 1. 矩形的判定和性质互为逆定理 . 2. 矩形判定的常见思路 从角的角度证明：
(1)四边形 有三个直角矩形； (2)平行四边形有一个直角矩形. 从对角线的角度证明： (1) 平行四边形对角线相等矩形； (2)四边形对角线互相平分且相等矩形.
知3－讲
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例4 如图 19.3-8，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC， E， F 两点在边 BC 上， AB ∥ DE， AF ∥ DC，且四边 形AEFD 是平行四边形 .
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证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ CD，∴∠ ABC＋∠ BCD=180° . ∵ BG 平分∠ ABC， CG 平分∠ BCD，
∴∠
GBC=
1 2
∠
ABC，∠
GCB=
1 2
∠
BCD，
∴
∠
GBC＋
∠
GCB=
1 2
∠
ABC＋
1 2
∠
BCD=
1 2
(∠
ABC＋∠
BCD)
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例2 如图 19.3-2，在矩形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交 于点 O，∠ BOC=120°， AB=6.
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解题秘方：紧扣“矩形的角、对角线的性质” 进 行计算 .
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解法提醒 矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三
角形；另外，矩形的对角线与两邻边构成四个 直角三角形 . 矩形中的有关计算通常需要用到 等腰三角形或直角三角形的有关知识 .
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2.直角三角形斜边上的中线的性质的逆命题(拓展)
知2－讲
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三
角形是直角三角形 .
数学语言： 如图 19.3-4，在△ ABC 中，
∵
CD=BD=AD=
1 2
AB，
∴∠ ACB=90°，即△ ABC 是直角三角形 .
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例3 [ 中考·宁波 ] 如图 19.3-5，在 Rt △ ABC 中， D 为斜
∴ AD=BE， AD=FC.
又∵四边形 AEFD 是平行四边形，
∴ AD=EF. ∴ AD=BE=EF=FC. ∴ BC=3AD.
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(2)当 AB=DC 时，求证： ▱ AEFD 是矩形 .
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证明： ∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形， ∴ DE=AB， AF=DC. ∵ AB=DC，∴ DE=AF. 又∵四边形 AEFD 是平行四边形， ∴四边形 AEFD 是矩形 .
1.性质 2 的推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 数学语言： 如图 19.3-3，在 Rt △ ABC 中， ∵∠ ACB=90°， AD=BD， ∴ CD=12 AB (或 CD=AD=BD ) .
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特别提醒
知2－讲
1. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个
面积相等的等腰三角形 .
∴
BD=
1 2
AC=AD=4.
答案： D
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技巧点拨 1. 若题目中出现了一边的中点，往往需要用到
中线，若又有直角，往往需要用到直角三角 形斜边上的中线的性质 . 2. 在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边 上的中线，从而利用直角三角形斜边上的中 线的性质把问题转化为等腰三角形的问题， 利用等腰三角形的性质解决 .
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解题秘方：本题考查了矩形的判定，全等三角形 的判定和性质，等腰三角形的性质 . 正确地识别图形是解题的关键．
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解法提醒 由定义来判定矩形，要在平行四边形的基
础上，证明有一个角是 90°，若在四边形的前 提下，则需先证是平行四边形，再证明有一个 角是 90°，矩形的定义既是矩形的性质也是矩 形的判定 .
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1.矩形必须具备两个条件：
(1)它是一个平行四边形；
(2) 它有一个角是直角.这两个条件缺一不可.
2.由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，
但平行四边形不一定是矩形.矩形的定义可以
作为判定一个四边形是矩形的一种方法 .
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2. 性质 矩形的性质如下表：
图形
性质
知1－讲
数学表达式
性质1 矩形 ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
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方法点拨
知3－练
证明一个平行四边形为矩形的两种方法：
一种是证明有Leabharlann 个角是直角，另一种是证明两条对角线相等 .
本例采用的是对角线相等的方法 . 若采用有一 个
角是直角的方法，可证 DE=DC， 结合EF=FC，利用
“等腰三角形三线合一”可得∠ DFE=90° .
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例5 如图 19.3-9， ▱ ABCD 的四个内角的平分线分别相 交于点 E， F， G， H. 求证： 四边形 EFGH 是矩形 .
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解题秘方：题中证明矩形是建立在四边形基础上 的，且都与角相关，可从证直角入手 进行判定 .
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知3－练
思路点拨 要判定一个四边形是矩形，通常选用“有三个
角是直角的四边形是矩形”来证明；也可以先判定它 是平行四边形，再根据平行四边形成为矩形应满足的 条件，证明有一个角是直角或对角线相等即可 .
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(2) BC 的长；
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解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABC=90° .
∴ BC= AC2－AB2 = 122－62= 108 =6 3 . (3)矩形 ABCD 的面积 .
S 矩形 ABCD=AB·BC=6× 6 3 =36 3 .
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知识点 2 直角三角形斜边上的中线的性质 知2－讲
知2－练
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知识点 3 矩形的判定
知3－讲
1. 判定定理 1 对角线相等的平行四边形是矩形 . 数学表达式： 如图 19.3-6，在 ▱ ABCD 中，∵ AC=BD， ∴ ▱ ABCD 是矩形 .
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2. 判定定理 2 三个角是直角的四边形是矩形 . 数学语言： 如图 19.3-7，在四边形 ABCD 中， ∵∠ A= ∠ B= ∠ C=90°， ∴四边形 ABCD 是矩形 .
(2)矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三 角形，矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角 形，分成四个面积相等的等腰三角形，因此有关矩形的计 算问题经常转化到直角三角形和等腰三角形中来解决 .
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例1 [ 中考·遂宁 ] 如图 19.3-1， 在△ ABC 中， AB=AC， 点 D， E 分别是线段 BC， AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF．
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解题秘方：紧扣“平行四边形”这一前提，从 “对角线相等 (或有一直角) ”入手进 行证明 .
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(1) AD 与 BC 有何数量关系？请说明理由 .
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解： BC=3AD. 理由如下：
∵ AD ∥ BC， AB ∥ DE， AF ∥ DC，
∴四边形 ABED 和四边形 AFCD 都是平行四边形 .
的四个角都是 ∴∠ DAB= ∠ DCB=
直角
∠ ADC=∠ ABC =90°
性质2 矩形 的对角线相等
∵
四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC=BD，
OA=OC=OB=OD
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴
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知1－讲
特别提醒： (1)利用矩形的性质可以证明线段相等或 存在倍分关系、直线平行、角相等等 .
第十九章 四边形
19.3 矩形、菱形、正方形
第1课时 矩形
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
矩形的定义及其性质 直角三角形斜边上的中线的性质 矩形的判定
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 矩形的定义及其性质
知1－讲
1.定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 .
感悟新知
特别提醒