《二次函数》课件

一二
元次
二函
次数
方与
程
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的横坐
标即一元二次方程ax2+bx+c =0的根
抛物线
与x轴
的公共
点情况
有两个公共点⇔∆> 0
有一个公共点⇔∆= 0
没有公共点⇔∆< 0
利用图象法求一元二次方程的根
抛物线
拓 与直线
展 的公共
点个数
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标
羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x
=-2(x-10)2+200(0＜x＜20).
∴当x=10时，S有最大值，此时S=200.
∵200＞187.5，∴张大伯的设计不合理.
应当设计羊圈与墙垂直的两边长为10 m，
与墙平行的一边长为20m.
3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个
2
2
1 2 1
3 2
2
x - (2x-30) = − x +60x-450.
2
2
2
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作
DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F
处，DF交BC于点G.
(3) 当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
(1) 请你求出矩形羊圈的面积；
解：(1)由题意，得羊圈的长为25 m，
宽为(40-25)÷2=7.5(m).
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)
(2) 请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接
答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.
解：(2) 设羊圈与墙垂直的一边长为x m,
则与墙平行的一边长为(40-2x) m,
月的利润情况如图所示，该图可以近似看为抛物线的一
部分，请结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式.
解：(1) 因图象过原点，
所以设函数解析式为y=ax2+bx，
a+b=13,
则
解得a=-1,b=14.
4a+2b=24
故所求二次函数的解析式为y=-x2+14x.
3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个
系可能是( C )
A. m＜p＜q＜n
y=(x-p)(x-q)+2
B. m＜p＜n＜q
y=(x-p)(x-q)
C. p＜m＜n＜q
D. p＜m＜q＜n
m
p
n
q
2.张大伯准备用40 m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了
节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房
屋一面长25 m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.
直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m，该
运动员身高1.9 m，在这次跳投中，球与头顶上方的距
离为0.25 m，则运动员跳离地面的高度是(
)
A. 0.1 m
B. 0.2 m
C. 0.3 m
D. 0.4 m
解：设抛物线的解析式为 y=ax2+3.5．
由图知图象过点(1.5，3.05)．
∴2.25a+3.5=3.05，解得a=-0.2，
经试销发现，销售量 y(件)与销售单价 x(元)符合一次函
数 y＝kx＋b，且 x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的解析式；
65k+b=55,
解：(1)根据题意，得
75k+b=45
解得k=-1,b=120.
故所求一次函数的解析式为 y=-x+120.
2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间
有一个公共点 y＞0，x0之外的所有 y＞0，无解；y＜0，
实数；y＜0，无解 x0之外的所有实数
x0
y＞0，所有实数； y＞0，无解；
没有公共点 y＜0，无解
y＜0，所有实数
利用二次函数解决实际问题
图形面积
销售利润
抛物线形
……
……
实际问题
目标
实际问题
的答案
归纳
抽象
二次函数
y=ax2+bx+c
利用二次函数的
∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W 随x的增大而增大，
而60≤x≤60(1+45%)，即60≤x≤87，
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作
月的利润情况如图所示，该图可以近似看为抛物线的一
部分，请结合图象，解答以下问题：
(3) 若照此经营下去，请你结合所学
的知识，对此款电脑的经营状况(是
否亏损？何时亏损)做预测分析．
解：(3) 没有利润，即y=-x2+14x=0，
解得x1=0(舍去)，x2=14.
所以第15个月，改公司开始亏损.
DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F
处，DF交BC于点G.
(2) 设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
解：(2) ∵∠F=∠A=45°,CBF=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.
1
1
2
∴ S =S△DEF-S△GBF= DE - BF2 =
DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F
处，DF交BC于点G.
(1) 用含有x的代数式表示BF的长；
解：(1) 由题意，
得EF=AE=DE=BC=x ，AB=30.
∴BF=2x-30.
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，
∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作
3 2
解：(3) S= − x +60x-450
2
3
= − (x-20)2+150.
2
3
∵a= − ＜0,15＜x＜30，
2
∴当x=20时，S有最大值，最大值为150.
4.一位运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线
是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大
高度3.5 m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面
与一元二次方程 ax2+bx+c=0根的关系
二次函数 y=ax2
一元二次方程
一元二次方程
2＋bx＋c=0 根
＋bx＋c的图象
ax
ax2＋bx＋c=0 的根
和x轴的公共点
的判别式(b2-4ac)
b2-4ac > 0
有两个公共点 有两个不等的实数根
有一个公共点 有两个相等的实数根
没有公共点
没有实数根
b2-4ac = 0
《二次函数》
知识梳理
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴的公共点有三种
情况:
有两个公共点，有一个公共点，没有公共点.
当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有公共点时，
公共x＋c=0 的根.
∴抛物线的解析式为 y=-0.2x2+3.5．
设球出手时，运动员跳离地面的高度为h m.
∵y=-0.2x2+3.5，
∴h+1.9+0.25=-0.2×(-2.5)2+3.5，
∴h=0.1 ．故选A．
能力提升
1.已知二次函数 y=(x-p)(x-q)+2，若 m，n是关于 x 方程
(x-p)(x-q)+2=0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关
图象和性质求解
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，厘清题意.
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，
设出适当的未知数.
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立
二次函数模型，写出二次函数的解析式.
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和
性质等求解实际问题.
b2-4ac < 0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标
与一元二次不等式的关系
二次函数
y=ax2+bx+c的
a＞0
图象与x轴公
共点
y＜0，x1＜x＜x2.
有两个公共点
a＜0
y＞0，x1＜x＜x2.
x1,x2 （x1＜x2） y＞0，x＜x1或x＞x2. y＜0，x＜x1或x＞x2.
回归
转化的
关键
数学模型
(二次函数的图象和性质)
建立恰当的
直角坐标系
能够将实际距离准确
的转化为点的坐标；
选择简便的运算方法.
重难剖析
1.若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，则关于 x 的方
程 x2+mx=7 的解为( D )
A. x1=0，x2=6
B. x1=1，x2=7
C. x1=1，x2=﹣7
5.检：检验结果，进行合理取舍.
最
大
利
润
问
题
建立函数关
系式
总利润=单件利润×销售量或总
利润=总售价-总成本.
确定自变量
的取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利
润
利用配方法、公式法或函数图
象和性质求最大值.
转化
实际问题
(实物中的抛物线形问题)
拱桥问题
运动中的抛
物线形问题
月的利润情况如图所示，该图可以近似看为抛物线的一
部分，请结合图象，解答以下问题：
(2) 该公司在经营此款电脑过程中，第
几月的利润最大？最大利润是多少？
解：(2) y=-x2+14x=-(x-7)2+49.
当x=7时，y最大值=49，
即第7个月的利润最大，为49万元.
3.一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个
销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销
发现，销售量 y(件)与销售单价 x(元)符合一次函数 y＝kx＋
b，且 x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之
间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利
润，最大利润是多少元？
解：(2) W=(x-60)(-x+120)= -x2+180x-7 200= -(x-90)2+900,
D. x1=﹣1，x2=7
解：∵二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，
∴

−
2
=3，解得m=－6，
∴关于 x 的方程 x2+mx=7可化为 x2－6x－7=0，
即(x+1)(x-7)=0，解得x1=－1，x2=7．故选D．
2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期
间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，