六年级奥数-第一讲.分数的速算与巧算.教师版

第一讲分数的速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找
通项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利
用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨
一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
a b
⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1
(1)(2)(3)
n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++
1111
[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11
a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ （2）
2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项
(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1
(1)(1)3
n n n =
-⨯⨯+ (2) 1
123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4
n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+
二、换元
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
三、循环小数化分数
0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990
ab =⨯=
； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：
例：
110=11
2020+
=()()11+=()()11+=()()11+=()()
11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：
11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==+
+++=11
A B
+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。

例如：选1和2，有：
11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015
+==+=++++ 本题具体的解有：
1111111111011110126014351530
=+=+=+=+ 例题精讲
模块一、分数裂项
【例 1】
11111
123423453456678978910
+++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式111111131232342343457898910⎛⎫
=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=
【巩固】 333
(1234234517181920)
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式1111111
3[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
113192011139
1231819201819206840
⨯⨯-=-==
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 2】 计算：5719
1232348910
+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．
【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差
数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的
2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算． 原式3234316
1232348910
+++=
+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫
=⨯++++⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
31111111122129102334
910⎛⎫⎛⎫
=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭
3111122290210⎛⎫⎛⎫
=
⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7114605=-- 2315= 也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以
()()()()()()
2323
121212n n n n n n n n n +=+
⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()
2
12n n +⨯+与
()()
3
12n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
【巩固】 计算：57
1719
1155234345
891091011⨯++
+
+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（
）
【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719
234345891091011++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
571719
234345891091011++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 2334910
23434591011+++=+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111
342445*********
=++++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1
111113445
10112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭
1111
11111111111113445
10112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭
3155=
所以原式31
115565155=⨯=．
【巩固】 计算：34512
12452356346710111314
++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、
分母都乘以分子中的数．即：
原式222
2
34512123452345634567
1011121314
=+++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公
式：2
3154=⨯+，2
4264=⨯+，2
5374=⨯+……
【解析】 原式2222
345121234523456345671011121314=++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 15426437410144
1234523456345671011121314
⨯+⨯+⨯+⨯+=++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111234345456
1112134444123452345634567
1011121314⎛⎫
=++++ ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫
+++++ ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
1111111223343445111212131111111234234523453456
1011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
⎛⎫+-+-++- ⎪
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭
111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯1175
8308616
=-=
【例 3】
12349
223234234523410
+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式12349
223234234523410=+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 213141101
22323423410----=++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111
12223232342349234910
=-+-+-++-
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 13628799
12349103628800
=-=
⨯⨯⨯⨯ 【例 4】 1111
11212312100
++++
++++++ 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手，
通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112
(11)1112
2
==+⨯⨯，
112(12)21223
2==+⨯+⨯，……， 原式2222120099
2(1)1
122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【巩固】 23450
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)
++++
⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋50
12251275⨯
＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-
11275）＝12741275 【巩固】 234100
1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)
++++
⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++ 【解析】 2111(12)112=-⨯++，311
(12)(123)12123
=-
+⨯+++++，……， 10011
(1299)(12100)129912100
=-
+++⨯+++++++++，所以 原式1
112100=-+++
15049
150505050=-=
【巩固】 2310
1112(12)(123)(1239)(12310)
----
⨯++⨯++++++⨯++++（） 【解析】 原式23410
1()133********
=-++++⨯⨯⨯⨯
11111
1111336610
4555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭
11155⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
155= 【例 5】 222222111111
31517191111131
+++++=------ .
【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22
()()a b a b a b -=-⨯+，
原式111111(
)()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-⨯ 1113()214214
=-⨯= 【巩固】 计算：2222222235715
12233478++++
⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式22222222
22
2222222132438712233478
----=++++⨯⨯⨯⨯ 2222222111111112233478=-+-+-++-
2118=-63
64
=
【巩固】 计算：2222222222
3151711993119951
3151711993119951
++++++++++=----- ． 【解析】 原式22222
22222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2229972446
19941996⎛⎫
=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭
111111997244619941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭1
199721996⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭
9979971996= 【巩固】 计算：2222
1235013355799101
++++=⨯⨯⨯⨯ ．
【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-，2
41-，
261-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后
进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
原式222
22
222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭
222211111111142141611001⎛⎫
=⨯++++++++
⎪----⎝⎭
11111504133557
99101⎛⎫
=⨯+++++
⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭
1111111
115014233557
99101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯-+-+-++
- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
11150142101⎡⎤⎛⎫=
⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯6312101
= 【巩固】 224466881010
133********
⨯⨯⨯⨯⨯++++
⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 （法1）：可先找通项22211
1111(1)(1)
n n a n n n n ==+=+---⨯+ 原式11111
(1)(1)(1)(1)(1)133********=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯
11555(1)552111111
=+⨯-=+=
（法2）：原式288181832325050
(2)()()()()3355779911
=-+-+-+-+-
61014185065210453579111111
=+
+++-=-= 【例 6】 111
3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999
+++
++⨯++⨯+⨯⨯+ 【解析】 11
211112()1112(1)(2)12(1)(1)(1)2312
n n n n n n n n ++===⨯-++++++⨯+⨯⨯++
原式＝11111111()()()()223344519992000⎡⎤-+-+-++-⨯⎢⎥⎣⎦＝1000999100011=- 【巩固】 计算：111
112123122007
+++⋯
+++++⋯ 【解析】 先找通项公式1211
2()12(1)1n a n n n n n ===-++⨯++
原式111
12(21)3(31)2007(20071)
222
=++++⨯+⨯+⨯+
222212233420072008=++++
⨯⨯⨯⨯ 200722008=⨯ 2007
1004= 【巩固】 1111
33535735721
++++
+++++++ 【解析】 先找通项：()()
()111
1352122132
n a n n n n n ===+++++⨯++⨯，
原式111111
132435469111012
=++++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1
11111133591124461012⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11111121112212⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 175264= 【例 7】 12123123412350
2232342350
++++++++++⨯⨯⨯⨯
++++++ 【解析】 找通项(1)(1)2(1)(1)21
2
n n n
n n a n n n n +⨯⨯+==
+⨯⨯+-- 原式2334455623344556410182814253647
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有
原式2334455648494950505114253647475048514952⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯35023215226=⨯= 【例 8】 22222222222223333333333333
11212312341226
11212312341226
++++++++⋯+-+-+⋯-++++++++⋯+ 【解析】
22222333(1)(21)
122212116()(1)123(1)31
4
n n n n n n a n n n n n n n ⨯+⨯+++⋯++===⨯=⨯+⨯+++⋯+⨯++ 原式=211111111[()()()()]31223342627⨯+-+++-+=2152(1)32781
⨯-=
【巩固】 222
1111112131991⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解析】 22
221(1)(1)1(1)1(1)1(2)n n n a n n n n ++=+==
+-+-⨯+ 原式223398989999
(21)(21)(31)(31)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯
+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 223344559898999929949131425364999710098110050
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 9】 计算：2222222399
2131991
⨯⨯⨯=---
【解析】 通项公式：()()()()
()
22
1111112n n n a n n n n ++==+++-+，
原式22334498989999
(21)(21)(31)(31)(41)(41)(981)(981)(991)(991)⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯
+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯- 2233445598989999
31425364999710098⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 22334498989999132435979998100=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯29999110050
=⨯= 【巩固】 计算：222
222129911005000220050009999005000
+++=-+-+-+
【解析】 本题的通项公式为2
21005000
n n n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母
()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----⎡⎤⎣⎦，可以看出如果把n 换成
100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个
2
2505050005000
-+．将项数和为100的两项相加，得
()()()()22
2222222100100220010000
2100500010050001005000
1001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+，
所以原式249199=⨯+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=⨯=）
【例 10】 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯2222221021121111212015
4132124
【解析】 虽然很容易看出321⨯＝3121-，541⨯＝5
1
41-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项
那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有
)12()1(6
32112
222+⨯+⨯++++n n n n
＝ ．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？
⎪⎭⎫
⎝⎛+++++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯2
22222102112111
12120154132124 ＝⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯21111015321321162120154132124 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯212220156413421242120154132124
＝⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯++⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯⨯2122201212015641541342132124
＝⎪⎭⎫
⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯2220164142124 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++⨯+⨯⨯111013212116 ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⨯11116＝1160．
模块二、换元与公式应用
【例 11】 计算：3333333313579111315+++++++
【解析】 原式()3333
33333123414152414=++++
++-++
+
()
()2
23331515181274
⨯+=
-⨯++
+
22576002784=-⨯⨯
8128=
【巩固】 132435911⨯+⨯+⨯+⨯ 【解析】 原式()()()()()()21213131101101=-++-++
+-+
()()()
()()2222222222213110123109
1231010
101121
103756
=-+-++-=+++-=++++-⨯⨯=
-=
【巩固】 计算：1232343458910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯
【解析】 原式()()()()
2222
221331441991=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-
()333323492349=++++-++++ ()()2
123912349=+++
+--+++
+
245451980=-=
【例 12】 计算：23456111111
1333333
++++++
【解析】 法一：利用等比数列求和公式。

原式71113113
⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
-
713264
1132
729⎡⎤⎛⎫=-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 法二：错位相减法．
设23456111111
1333333S =+
+++++ 则23451111133133333S =++++++，61333S S -=-，整理可得364
1729
S =．
法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1， 所以可以采用
“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，
2345622222222333333S =+
+++++，则运用“借来还去”的方法可得到61233S +=，整理得到364
1
729
S =． 【例 13】 计算：22222222(246100)(13599)
12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
【解析】 原式222222222
(21)(43)(65)(10099)
10-+-+-+⋅⋅⋅+-=
(21)(21)(43)(43)(65)(65)(10099)(10099)
100
+⨯-++⨯-++⨯-+⋅⋅⋅++⨯-=
12349910050501
501001002++++⋅⋅⋅++=
==
【巩固】 ⑴()2
314159263141592531415927-⨯=________；
⑵2
2
1234876624688766++⨯=________．
【解析】 ⑴ 观察可知31415925和31415927都与31415926相差1，设31415926a =，
原式()()()
2
2
2
1111a a a a a =--+=--=
⑵ 原式22
12348766212348766=++⨯⨯
()2
21234876610000100000000=+==
【巩固】 计算：22222221234200520062007-+-++-+
【解析】 原式2222222
2007200654321=-++-+-+ (20072006)(20072006)(20052004)(20052004)(32)(32)1=-⨯++-⨯+++-⨯++ 2007200620052004321=+++++++
()1
20071200720150282
=⨯+⨯=
【例 14】 计算：2222222222
12233445200020011223344520002001+++++++++⋅⋅⋅+
⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式2222222222
122334452000200112122323343445452000200120002001=++++++++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1223344520002001
2132435420012000=++++++++⋅⋅⋅++
2132435199920012000
()()1223344200020002001
⎛⎫⎛⎫=+++++++⋅⋅⋅+++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 200020002000
222224000
20012001=++++⋅⋅⋅++=个2相加
【例 15】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-⨯-⨯÷÷-=⎡⎤⎣⎦ ．
【解析】 原式()()20078.5 1.58.5 1.5101600.3=-+-÷÷-⎡⎤⎣⎦()2007108.5 1.5101600.3=-⨯-÷÷-⎡⎤⎣⎦
()200771600.3=-÷-12.50.3=-12.2= 【巩固】 计算：53574743⨯-⨯= ．
【解析】 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式()()()()552552452452=-⨯+-+⨯-()
2222
552452=---
()()225545554555451000=-=-⨯+=
【巩固】 计算：1119121813171416⨯+⨯+⨯+⨯= ． 【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式(
)()()()2
2
2
2
2
2
2
2154
15315215
1=-+-+-+-
()2
2
2
2
2
1541234=⨯-+++
90030870=-= 其中2222
1234+++可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式
()()2221
121216
n n n n +++=++进行计算．
【巩固】 计算：1992983974951⨯+⨯+⨯++⨯= ． 【解析】 观察发现式子中每相乘的两个数的和都是相等的，可以采用平方差公式． 原式()()()()()()5049504950485048501501=-⨯++-⨯+++-⨯+
()()()22222250495048501=-+-++-
()222250491249=⨯-++
+
()222250491249=⨯-+++
21
50494950996
=⨯-⨯⨯⨯
25049492533=⨯-⨯⨯ ()492510033=⨯⨯-
492567=⨯⨯
82075=
【巩固】 看规律 3211=，332123+=，33321236++=……，试求3 3.3
6714+++
原式()()3 3.33 3.3
1214125=+++-+++()()221231412345=++++-++++
()()22105151051510515=-=-+9012010800=⨯=
【例 16】 计算：1111111111
(1)()(1)()2424624624+
+⨯++-+++⨯+ 【解析】 令1111246a +++=，111
246
b ++=，则：
原式11
()()66a b a b =-⨯-⨯-
11
66ab b ab a =--+
1()6a b =-11
166=⨯=
【巩固】 11111111111111
(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++
【解析】 设111234a =++，则原式化简为：111
1(1555
a a a a +(+)(+)-+)=
【巩固】 11
1111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解析】 设111111213141a +++=，111
213141
b ++=，
原式115151a b a b ⎛
⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11
5151ab a ab b =+--
1
()51a b =-
111
5111561=⨯=
【巩固】 1111111111111111
())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（
【解析】 设111157911A +++=，111
7911
B ++=，
原式111313A B A B ⎛
⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11
1313A B A A B B =⨯+-⨯-
()1
13
A B =-
111
13565=⨯=
【巩固】 计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解析】 设111112345A ++++=，11112345
B +++= 原式=1166A B A B ⎛⎫⎛⎫⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭=1166A B A A B B ⨯+⨯-⨯-⨯=1166A B ⨯-⨯ 16=⨯(A B -)16= 【巩固】 2
1239123911292391234
1023410223103410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⨯-++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 设123923410t =++++，则有22211111(1)222222t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+⨯-+-=+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ 【巩固】 21239123911239239()()(1)()23410234102234103410
+++++++++⨯-+++++⨯+++ 【解析】 设123923410t =++++，则有22211111(1)()()222222
t t t t t t t t t +⨯-+-=+-+--= 【巩固】 计算11112111311143114120092009
++++++++++ 【解析】 设3N =+11412009++. 原式=112N ++11111N
++=121N N ++111N N ++ =112121N N N N ++=++. 【巩固】 (7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+) 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，
则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯ (a b -)
10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=
【巩固】 计算(10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+)
【解析】 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设0.450.56a =+，0.450.560.67b =++，
有原式=(1a +)b ⨯-(1b +)0.67a b ab a ab b a ⨯=+--=-=
三、循环小数与分数互化
【例 17】 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数．
【解析】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736≈
方法二：0.1+0.125+0.3+0.161131598990=+++111188=+530.736172
== 【巩固】 ⑴ 0.540.36+= ；
⑵
191.21.2427•••⨯+= 【解析】 ⑴ 法一：原式5453649489990999011990-=+=+=． 法二：将算式变为竖式：
可判断出结果应该是··0.908，化为分数即是
9089899990990
-=． ⑵ 原式224191112319201199927999279=⨯+=⨯+= 0.5444440.3636360.908080+
【巩固】 计算：0.010.120.230.340.780.89+++++
【解析】 方法一：0.010.120.230.340.780.89+++++
1121232343787898909090909090
-----=+++++ 11121317181909090909090=+++++= 21690
方法二：0.010.120.230.340.780.89+++++
=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.010.020.030.040.080.09+++++
=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)⨯ 12.12790
=+⨯ 2.10.3 2.4=+=
【巩固】 计算 （1）0.2910.1920.3750.526-++ （2）0.3300.186⨯
【解析】 （1）原式29119213755265999990999990--=+++291375521191999990+-=+6663301999990
=+=
（2）原式3301861999990-=⨯330185999990⨯=⨯581
= 【例 18】 某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【解析】 由题意得：1.23 1.230.3a a •-=，即：0.0030.3a •=，所以有：3390010
a =．解得90a =， 所以1111.23 1.23909011190
a ••=⨯=⨯= 【巩固】 将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?
【解析】 0.027×0.17967227179672117967248560.00485699999999937999999999999
=⨯=⨯== 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．
【例 19】 有8个数，0.51，23,59,0.51,2413,4725
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?
【解析】 2=0.63,5=0.59,240.510647≈,13=0.5225
显然有0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6即
241352<051<0.51<<<472593，8个数从小到大排列第4个是0.51，所以有241352<<<0.51<0.51<<<472593
口口．(“□”，表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列第4个数是0.51．
【例 20】 真分数
7
a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少? 【解析】 1=0.1428577， 27=0.285714，37=0.428571，47=0.571428，57=0.714285， 67
=0.857142．因此，真分数7
a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以.=0.8571427
a ，即6a =． 【巩固】 真分数7
a 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？ 【解析】 我们知道形如7
a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857+++++和一个不完整142857+++++组
成。

()903912457833421÷+++++=，而21276=-，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为
67
，所以6a =。

【巩固】 真分数7
a 化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？ 【解析】 我们知道形如7
a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，200963345÷=，因此只需判断当a 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得3a =。

【例 21】 20022009和1287
化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________. 【解析】 如果将20022009和1287
转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们 发现2002112009287
+=，而10.9⋅=，则第100位上的数字和为9. 【巩固】 纯循环小数0.abc 写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数_________abc =
【解析】 如果直接把0.abc 转化为分数,应该是999
abc ,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我们将999分解质因数得: 3999337=⨯,这个最简分数的分母应小于58,而且大于29,否则该分数就变成了假分数了,符合这个
要求的999的约数就只有37了,因此,分母应当为37,分子就是583721-=,也就是说
210.999372737abc abc abc ===⨯,因此2127567abc =⨯=. 【例 22】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立． （1）()()()()()()()()11111111111102020=+=+=+=+=+； （2）()()
11110=- 【解析】 单位分数的拆分，主要方法是从分母N 的约数中任意找出两个数m 和n ，有：
111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B
+==+=++++， 从分母n 的约数中任意找出两个m 和n (m n >)，有：
111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B
-==-=---- （1） 本题10的约数有：1，10，2，5．
例如：选1和2，有：11212111010(12)10(12)10(12)3015
+==+=+⨯+⨯+⨯+； 从上面变化的过程可以看出，如果取出的两组不同的m 和n ，它们的数值虽然不同，但是如果m 和n 的比值相
同，那么最后得到的A 和B 也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有24410C +=种，但是其中
比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下： 1111111111110202011110126014351530
=+=+=+=+=+． （2）10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：
152********(52)10(52)10(52)615
-==-=-⨯-⨯-⨯- 另外的解让学生去尝试练习．
【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立． ()()()()()()
111111110=--=++ 【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式521--和连加式521++．
则：()()()()()()
11111111041020804016=--=++ 如果选10、5、2，那么有：1111111103615173485
=--=++． 另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到()()()111110=++，根据前面的拆分随意选取一组，比如111101260
=+，再选择其中的一个分数进行拆分，比如
1111213156=+，所以1111101360156
=++． 【例 23】 ()()()()()()()()()()1111111111145=+=-=++=-- 【解析】 ()()()()()()()()()()
11111111111457212018304051358191545=+=-=++=--
【巩固】 110=()()11--()1=()()()
111++ 【解析】 ()()()()()()
11111111041020804016=--=++ 注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.
【例 24】 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。

【解析】 小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个，分母为17的真分数相加，和等于
11621531489()()()()81717171717171717++++++++==1712
-。

类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。

因此，所求的和是
13151711111311711912312912222222222
---------+++++++++ 11123568911145922
=+++++++++= 【巩固】 分母为1996的所有最简分数之和是_________。

【解析】 因为1996=2×2×499。

所以分母为1996的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499的倍数，499与3×499。

因此，分母为1996的所有最简真分数之和是
11995319935011495997999()()()()11149819961996199619961996199619961996++++++++=++⋯+= =11235689112++++++++=1592
【例 25】 若1112004a b
=+，其中a 、b 都是四位数，且a<b ，那么满足上述条件的所有数对（a,b ）是 【解析】 2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501，满足题意的分拆有：
1121120042004(12)2004(12)60123006
=+=+++ 1131120042004(13)2004(13)80162672
=+=+++ 1231120042004(23)2004(23)50103340
=+=+++ 1341120042004(34)2004(34)46763507
=+=+++ 【巩固】 如果1112009A B
=-，A B ，均为正整数，则B 最大是多少？
【解析】 从前面的例题我们知道，要将1N 按照如下规则写成11A B
-的形式： 111()()()m n m n N N m n N m n N m n A B
-==-=----，其中m 和n 都是N 的约数。

如果要让B 尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的n 尽可能地小而m 尽可能地大，因此应当m 取最大的约数，而n 应取最小的约数，因此2009m =，1n =，所以20092008B =⨯.
课后练习：
练习1.
123456121231234123451234561234567
+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式13141516171121231234123451234561234567
-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111121212312312341234567
=+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11112121234567=+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 115040
=- 50395040
= 练习2. 12389(1)(2)(3)(8)(9)234910
-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- 【解析】 通项为：2(1)111
n n n n n n a n n n n +-=-==+++， 原式22222
123489346789362882345910
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯= 练习3. 计算：333313599++++=___________． 【解析】 与公式()()
222333112124n n n n ++++=++=相比，333313599++++缺少偶数项，所以可以先
补上偶数项．
原式()()333333312310024100=++++-+++
()2233331100101212504
=⨯⨯-⨯+++ 22322111001012505144=⨯⨯-⨯⨯⨯ ()
22250101251=⨯-⨯ 12497500=
练习4. 计算：1111111111112200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【解析】 令111232007a =+++，111232008
b =+++， 原式()()1112008
a b b a b ab a ab b a =+⨯-+⨯=+--=-= 练习5. ⑴ ····110.150.2180.3111⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭
； ⑵ ()2.2340.9811-÷ (结果表示成循环小数) 【解析】 ⑴原式151218231190
9909111--⎛⎫=+⨯⨯ ⎪⎝⎭371111123456790.01234567999311181999999999=⨯⨯=== ⑵23422322.23422990990-==，980.9899=，所以23298242222.2340.982119909999090
-=-==， ()
22122.2340.98111110.090.020.113901190-÷=÷=+=+=
月测备选
【备选1】计算：23993!4!100!
+++= . 【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
原式23991231234123100
=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 314110011231234123100
---=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112123123123412399123100=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1112123100=-⨯⨯⨯⨯⨯112100!=- 【备选2】计算：222222221223200420052005200612232004200520052006
++++++++⨯⨯⨯⨯ 【解析】 （法1）：可先来分析一下它的通项情况，
2222(1)(1)1(1)(1)(1)1n n n n n n n a n n n n n n n n
++++==+=+⨯+⨯+⨯++ 原式= 213243542005200420062005()()()()()()122334452004200520052006
++++++++++++ 2005200520052401020062006
=⨯+= （法2）：22222(1)2211122(1)(1)
n n n n n a n n n n n n n n ++++===+=+⨯+++⨯+ 【备选3】计算：333
12320061232006+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 【解析】 原式()212320061232006+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+1232006=+++⋅⋅⋅+()12006200612
=⨯⨯+2013021= 【备选4】计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947
b +=， 原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【备选5】计算200920091199900999909901
⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ (结果表示为循环小数) 【解析】 由于10.0000199900=，10.0000199990
=， 所以110.000010.000010.000000009009919990099990-=-=， 而9009917139901919901=⨯⨯=⨯，
所以，2009200911110.00000000900991200999900999909901
9901⎛⎫-⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭ 0.000000000000911120090.0000000000100120090.00000002011009=⨯⨯=⨯=。