2019-2020学年河北省唐山一中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年河北省唐山一中高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合，集合
，则C B A =( ) A.
B. (3,+∞)
C.
D.
2. 三个数a =70.3,b =0.37,c =ln0.3的大小关系是( ) A. a >b >c
B. a >c >b
C. b >a >c
D. c >a >b 3. 函数y =x 2−1x 的图象是( )
A. B.
C. D.
4. 幂函数f(x)=(a 2−2a −2)x 1−a 在(0,+∞)上是减函数，则a =( )
A. −3
B. −1
C. 1
D. 3 5. 已知函数f (x )=√x 的定义域为(1,2)，则函数f(x 2)的定义域是( ) A. (1,2)
B. (1,4)
C. R
D. (−√2,−1)∪(1,√2)
6. 在下列区间中，使函数f(x)=ln (x +1)−2x 存在零点的是( )
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,e)
D. (3,4) 7. 设f(x)是R 上的偶函数，且当时，f(x)=x(1+√x 3)，
则当时，f(x)等于( ) A. x(1+√x 3)
B. −x(1+√x 3)
C. −x(1−√x 3)
D. x(1−√x 3) 8. 函数f(x)在单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1⩽f(x −2)⩽1的x 的取值范围是( )
A. [−2,2]
B. [−1,1]
C. [0,4]
D. [1,3] 9. 函数f(x)=x +4x+1在[−12,2]上的值域为( )
A. [−3,152]
B. [3,4]
C. [3,152]
D. [4,15
2]
10. 已知函数f(x)={(3a −2)x +6a −1,x <1a x ,x ≥1
，若对∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，那么实数a 的取值范围是( )
A. (0,1)
B. (0,23)
C. [38,23)
D. [3
8,1) 11. 若函数f(x)=log 1
2
(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )
A. [43,3]
B. [43,2]
C. [43,2)
D. [43,+∞) 12. 已知函数
，若函数y =|f(x)|+k 有三个零点，则实数k 的取值
范围是( ) A. k ≤2 B. C. −2≤k <−1 D. k ≤−2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 方程x 2+mx +1=0的两根，一根大于2，另一根小于2的充要条件是______ ．
14. 若方程|3x −1|=m 有两个解，则m 的取值范围是_________．
15. 若关于x 的不等式x 2−4x −m ≥0对任意x ∈(0, 1]恒成立，则m 的最大值是_________．
16. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2+mx +4<0恒成立，则m 的取值范围是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 计算下列各式的值：
(1)(235)0+2−2(214
)−12−(0.01)0.5 (2)2
log 214+lg 1
20−lg5+(√2−1)lg1．
18. 已知集合A ={x|x 2−4x −5≤0}，函数y =ln(x 2−4)的定义域为B ．(Ⅰ)求A ∩B ；
(Ⅱ)若C ={x|x ≤a −1}，且A ∪(∁R B)⊆C ，求实数a 的取值范围．
19.已知函数f(x)=log a(1+x)，g(x)=log a(1−x)，其中a>0且a≠1，设ℎ(x)=f(x)−g(x)．
(1)求函数ℎ(x)的定义域；
(2)判断ℎ(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若f(3)=2，求使ℎ(x)<0成立的x的集合．
20.设函数f(x)=a x−(k−1)a−x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若0<a<1，且不等式f(mt2−mt)+f(2−mt)<0对于任意t∈R恒成立，求m的取值范
围．
21.已知火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和．在不考虑空气
阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为y=k[ln(m+x)−ln(√2m)]+ 4ln2(其中k≠0).当燃料重量为(√e−1)m吨(e为自然对数的底数，e≈2.72)时，该火箭的最大速度为4km/s．
(1)求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式y=f(x)；
(2)已知该火箭的起飞重量是544吨，则应装载多少吨燃料才能使该火箭的最大飞行速度达到
8km/s，顺利地把飞船发送到预定的轨道？
22.设函数f(x)是R上增函数，对于任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求f(0)；
(2)证明f(x)为奇函数；
(3)解不等式1
2f(x2)−f(x)>1
2
f(3x)．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：
【分析】
本题考查集合的基本运算，属于基础题．
先化简集合A，B，再求∁B A．
【解答】
解：集合A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，
集合B={x|2x+1>1}={x|x>−1}，
则∁B A=[3,+∞)．
故选A．
2.答案：A
解析：
【分析】
本题考查比较大小，由指数函数和对数函数的图象可以判断a=70.3，b=0.37，c=ln0.3和0和1的大小，进而即可得到结果．
【解答】
解：由指数函数和对数函数的图象可知：
70.3>1，0<0.37<1，ln0.3<0，
所以ln0.3<0.37<70.3．
故选A．
3.答案：A
解析：
【分析】
本题主要考查了函数图象的应用，属于基础题．
用排除法先判断函数为奇函数根据y<0即可得．
解：函数y=x2−1
是奇函数，排除B，C；
x
时，x2−1<0，
当x=1
2
<0，图象在x轴的下方．
∴y=x2−1
x
排除D；
故选A．
4.答案：D
解析：
【分析】
本题考查了幂函数，考查了幂函数的性质，属于容易题．
根据幂函数的性质计算即可．
【解答】
解：幂函数f(x)=(a2−2a−2)x1−a，
则a2−2a−2=1，解得a=3或a=−1，
当a=3时，f(x)=x−2在(0,+∞)上是减函数，
当a=−1时，f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数(舍)，
故a=3．
故选D．
5.答案：D
解析：
【分析】
此题考查了函数的定义域，属于基础题．
f(x)的定义域为(1,2)，则f(x2)中x2的取值范围为(1,2)，即可求出f(x2)的定义域．【解答】
解：∵f(x)的定义域为(1,2)，
∴f(x2)中x2的取值范围为(1,2)，
即1<x2<2，解得x∈(−√2,−1)∪(1,√2)，
故选D.
6.答案：B
解析：
本题考查零点存在性定理，属于较易题．
只要在区间上的端点的函数值异号即可．
【解答】
解：f(1)=ln2−2=ln 2e 2<ln1=0， f(2)=ln3−1=ln 3e >ln 1=0，
所以函数 f(x)=ln(x +1)−2x 的零点所在的大致区间是(1,2)．
故选B ． 7.答案：C
解析：
【分析】
本题考查利用函数奇偶性求函数解析式的问题，属于基础题．
由题意设，则，利用给出的解析式求出f(−x)，再由偶函数的定义，即f(x)=f(−x)求出f(x)即可．
【解答】
解：∵当
时，f(x)=x(1+√x 3)， ∴设，则
， ∴f (−x )=−x(1+√−x 3)=−x(1−√x 3)，
∵函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，
∴f(x)=f(−x)，
∴f (x )=−x(1−√x 3
)．
故选C ． 8.答案：D
解析：
【分析】
本题主要考查了运用奇函数的性质结合函数的单调性解决不等式恒成立问题，首先根据函数f(x)为
奇函数，f(1)=−1，得到f(−1)=1，再根据f(x)在R 上为减函数，得到当−1≤x ≤1时，
−1≤f(x)≤1，最后解−1≤x −2≤1不等式即可．
【解答】
解：∵函数f(x)奇函数且f(1)=−1，
∴f(−1)=1，
又∵f(x)为R 上的减函数，
∴当−1≤x≤1时，−1≤f(x)≤1，
∴要使−1⩽f(x−2)⩽1，即使−1≤x−2≤1，解得1≤x≤3，
故选D．
9.答案：C
解析：
【分析】
本题考查了利用对勾函数求值域，属于基础题．
由题可知f(x)=x+1+4
x+1
−1，由对勾函数性质得出单其调性及最值，即可得出值域．【解答】
解：依题意，f(x)=x+4
x+1=x+1+4
x+1
−1，
由对勾函数性质可知，f(x)在[−1
2
,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
故当x=1时，函数f(x)有最小值3，因为max{f(−1
2),f(2)}=15
2
，
故所求值域为[3,15
2
]，
故选C．
10.答案：C
解析：
【分析】
本题考查分段函数的单调性，属于中档题．
由于分段函数单调递减，故每一段函数都递减的，且在分界点，左边的函数值不小于右边的函数值．【解答】
解：因为对∀x1,x2∈R，且x1≠x2都有f(x1)−f(x2)
x1−x2
<0成立，
所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，
x<1时，f(x)=(3a−2)x+6a−1单调递减，
故3a−2<0，a<2
3
，
x≥1时，f(x)=a x单调递减，故0<a<1，
且满足3a−2+6a−1≥a，解得a≥3
8
，
综上所述，a的范围为[3
8,2
3 )．
故选C．11.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查合函数的单调性.解题时需结合二次函数的单调性，注意定义域．
【解答】 解：设，−1<x <5，
因为函数f(x)=log 12
(−x 2+4x +5)在区间(3m −2,m +2)内单调递增， 所以3m −2≥−1且m +2≤5，
且根据复合函数的单调性，可得：{3m −2≥23m −2<m +2
． ∴43
≤m <2 故选C ．
12.答案：D
解析：
【分析】
本题考查根的存在性及个数的判断，作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题． 由题意可得|f(x)|=−k ≥0，进而可得k ≤0，作出图象，结合图象可得答案．
【解答】
解：由y =|f(x)|+k =0得|f(x)|=−k ≥0，
所以k ≤0，作出函数y =|f(x)|的图象，
由图象可知：要使y =−k 与函数y =|f(x)|有三个交点，
则有−k ≥2，即k ≤−2，
故选D ．
)
13.答案：(−∞,−5
2
解析：解：设f(x)=x2+mx+1，则由方程x2+mx+1=0的两根，一根大于2，另一根小于2，可得f(2)=5+2m<0，求得m<−5
，
2
).
故答案为：(−∞,−5
2
设f(x)=x2+mx+1，则由题意可得f(2)=5+2m<0，由此求得m的范围．
本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．
14.答案：(0,1)
解析：
【分析】
本题考查函数与方程，属于基础题．
由已知函数y=|3x−1|和y=m的图象有两个交点，即可确定m的取值范围．
【解答】
解：作出y=|3x−1|和y=m的图象如图，由图象知0<m<1．
故答案为(0,1)．
15.答案：−3
解析：
【分析】
本题主要考查了不等式恒成立问题以及一元二次函数最值的求解，属于基础题．
首先利用分离参数法将不等式进行变形，然后结合二次函数的单调性求解即可．
【解答】
解：由题意可得x2−4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，
令y=x2−4x，
则只需要y min≥m即可，
而函数y=x2−4x图象为开口向上，以x=2为对称轴的抛物线，
所以该函数在(0,1]上为减函数，
故其在x=1处取得最小值−3，
所以m≤−3，
故答案为−3．
16.答案：m≤−5
解析：
【分析】
本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．分离参数转化为函数的最值问题是解决此类问题的常用方法．
不等式x2+mx+4<0对x∈(1,2)恒成立，等价于mx<−x2−4对x∈(1,2)恒成立，即m<
−(x+4
x )对x∈(1,2)恒成立，求出x+4
x
最小值即可．
【解答】
解：∵不等式x2+mx+4<0对x∈(1,2)恒成立，∴mx<−x2−4对x∈(1,2)恒成立，
即m<−(x+4
x
)对x∈(1,2)恒成立，
令y=x+4
x ，x∈(1,2)，则函数y=x+4
x
在x∈(1,2)上是减函数．
∴4<y<5，∴−5<−(x+4
x
)<−4，∴m≤−5．
故答案为m≤−5．
17.答案：解：(1)原式=1+1
4×(2
3
)−2×(−12)−0.1
=1+1
6−1
10
=16
15
．
(2)原式=1
4+lg
1
20
5
+1
=
1
4
−2+1
=−3
4
．
解析：(1)利用指数运算性质即可得出．
(2)利用指数与对数运算性质即可得出．
本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.答案：解：(Ⅰ)由x2−4x−5≤0，得：−1≤x≤5．
∴集合A={x|−1≤x≤5}．
由x2−4>0，得：x>2或x<−2．
∴集合B={x|x>2或x<−2}．
∴A∩B={x|2<x≤5}．
(Ⅱ)∵集合B ={x|x >2或x <−2}．
∴∁R B ={x|−2≤x ≤2}．
∴A ∪(∁R B)={x|−2≤x ≤5}．
∵C ={x|x ≤a −1}，A ∪(∁R B)⊆C ，
∴a −1≥5，解得：a ≥6，
故得a 的取值范围为[6,+∞)．
解析：本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集、不等式、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
(Ⅰ)分别求出集合A ，B ，由此能出A ∩B ．
(Ⅱ)求出集合B ={x|x >2或x <−2}，∁RB ={x|−2≤x ≤2}，从而A ∪(∁R B)={x|−2≤x ≤5}.再由C ={x|x ≤a −1}，A ∪(∁R B)⊆C ，能求出a 的取值范围．
19.答案：解：(1)要使函数有意义，
则{1+x >01−x >0
，即−1<x <1， 故ℎ(x)的定义域为(−1,1)；
(2)ℎ(−x)=log a (−x+1)−log a (1+x)=−[log a (x+1)−log a (1−x)]=−ℎ(x)
故ℎ(x)为奇函数．
(3)∵f(3)=2，
∴log a (1+3)=log a 4=2，
∴a =2，
∴ℎ(x)=log 2(1+x)−log 2(1−x)，
∵ℎ(x)<0，
∴log 2(x +1)<log 2(1−x)，
∴0<x +1<1−x ，得−1<x <0，
∴使ℎ(x)<0成立的x 的集合为(−1,0).
解析：本题考查了对数函数的性质，函数奇偶性的判断，单调性的应用，属于中档题．
(1)根据真数大于零列不等式组求出定义域；
(2)根据奇偶函数的定义判断；
(3)利用对数的单调性列出不等式组求解．
20.答案：解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)=a0−(k−1)a0=1−(k−1)=0，
∴k=2，
验证：当k=2时，f(x)=a x−a−x，
f(−x)=a−x−a x=−f(x)，
∴f(x)是奇函数；
(2)由(1)知f(x)=a x−a−x(a>0且a≠1)，
由0<a<1得：y=a x在R上单调递减，y=a−x在R上单调递增，
故判断f(x)=a x−a−x在R上单调递减，
对于不等式f(mt2−mt)+f(2−mt)<0，
由奇函数f(x)得到f(−x)=−f(x)，
所以f(mt2−mt)<−f(2−mt)=f(mt−2)，
又f(x)=a x−a−x在R上单调递减，
∴mt2−2mt+2>0对t∈R恒成立，
∴m=0或{m>0
Δ<0
⇒0<m<2，
综上可得m的取值范围为0≤m<2．
解析：本题考查了指数函数，二次函数的性质，函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．
(1)由f(x)是定义域为R的奇函数，利用f(0)=0即可求出k的值；
(2)利用指数函数的单调性判断f(x)=a x−a−x在R上单调递减，得到mt2−2mt+2>0对t∈R恒成立，利用二次函数的性质即可求出m的取值范围．
21.答案：解：(1)依题意把x=(√e−1)m，y=4代入函数关系式y=k[ln(m+x)−ln(√2m)]+4ln2，解得k=8，
所以所求的函数关系式为y=8[ln(m+x)−ln(√2m)]+4ln2，
整理得y=ln(m+x
m ) 8 .
(2)设应装载x吨燃料方能满足题意，此时m=544−x，y=8，
代入函数关系式y=ln(m+x
m )
8
得ln544
544−x
=1，
解得x≈344．
即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道．
解析：本题考查函数解析式的求解，考查利用解析式解决实际问题，属于中档题．
(1)依题意，把x=(√e−1)m，y=4代入函数关系式即可求出k值，从而可求函数解析式；
(2)设应装载x吨燃料方能满足题意，此时m=544−x，y=8，代入(1)中函数解析式中，即可求解．22.答案：解：(1)由题设，令x=y=0，
恒等式可变为f(0+0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0；
(2)证明：令y=−x，
则由f(x+y)=f(x)+f(y)得f(0)=0=f(x)+f(−x)，
即f(−x)=−f(x)，
故f(x)是奇函数；
(3)∵1
2f(x2)−f(x)>1
2
f(3x)，
f(x2)−f(3x)>2f(x)，
即f(x2)+f(−3x)>2f(x)，
又由已知f(x+y)=f(x)+f(y)得：f(x+x)=2f(x)，
∴f(x2−3x)>f(2x)，
由函数f(x)是增函数，不等式转化为x2−3x>2x，即x2−5x>0，
∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．
解析：本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
(1)利用已知条件通过令x=y=0，可求f(0)；
(2)通过函数的奇偶性的定义，直接证明f(x)是奇函数；
(3)利用已知条件转化不等式，通过函数的单调性直接求解不等式1
2f(x2)−f(x)>1
2
f(3x)的解集即
可．。